第三章中值定理与导数应用第一节微分中值定理
第一节 微分中值定理 第三章 中值定理与导数应用
定义1.1如果存在x，的某个邻域 U(x),使得 VxU(x,),都有f(x,)≥f(x),则称x为 f(x)的极大值说明(1)极大值、极小值可以有多个：（2）极大值未必大于极小值：不能出现（3）极值点一定出现在区间内部在区间端点处
0 0 0 0 0 ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) . . 1 1 x U x x U x f x f x x f x 如果存在 的某个邻域 使得 都有 则 称 为 定 的极大值 义 (1) 极大值、极小值可以 ; 说 有多个 明 (2) 极大值未必大于极小值; , . (3) 极值点一定出现在区间内部 不能出现 在区间端点处
费马引理如果 f(x)满足(1)x是极值点H(2) 在x, 可导，则 f(x)=0.罗尔定理如果 f(x)满足（1)在闭区间[a,b|连续(2) 在开区间 (a,b) 可导,(3) f(a)= f(b),则存在E(a,b),使得 f'(E)=0注：一般情形下，定理结论中导数函数的零点是不易找到的.罗尔定理的三个条件缺一不可
注： 一般情形下, 定理结论中导数函数的零点 是不易找到的. 罗尔定理的三个条件缺一不可. 0 0 0 ( ) (1) , (2) , ( ) 0. f x f x x x = 如果 满足 是极值 则 点 在 可导 费马引理 [ , ] ( , ) ( ( ) (1) , (2) , (3) , ( ( , ), ( ) 0 ) . a b a b f x a b f f a f b = = 如果 满足 在闭区间 连续 在开区间 可导 则存 罗 在 使得 理 ） 尔定
罗尔定理的条件与结论1.x=0,1. f (x) =x, 0<x≤1.函数 f(x)在闭区间[0,11 的左端点 x =0 处间断不满足闭区间连续的条件，尽管 f(x）在（0,1)可导，f(0)= f(1)，但显然没有水平切线
罗尔定理的条件与结论 x f x x x 1, 0, 1. ( ) , 0 1. = = ( ) [0,1] , , ( ) (0,1) , (0) (1), . f x 0 f x f f x = = 函数 在闭区间 的左端点 间断 尽 处 不满足闭区 管 在 可导 但显然没有 间连续 条件 水平切线 的
罗尔定理的条件与结论-1≤x<0.一x,2. f(x)=0≤x≤1.x,函数 f(x)在x =0 处不可导，尽管 f(x)在闭区间[-1,1] 连续，f(-1)= f(1),但显然没有水平切线
罗尔定理的条件与结论 , 1 0, 2. ( ) , 0 1. x x f x x x − − = ( ) , ( ) [ 1,1] , ( 1) ( ) 0 1 , . f x f x f x − − f = = 函数 尽管 在闭区间 连续 但显然没有水 在 不可导 平切线 处
罗尔定理的条件与结论3. f (x) = x.函数 f(x)满足在闭区间[0,1] 连续，在开区间(0,1)可导，但不满足f(0)= f(1)，也没有水平切线
罗尔定理的条件与结论 3. ( ) . f x x = ( ) [0,1] , (0, ( 1) , 0) (1), . f x f f = 函数 满足在闭区间 连续 在开区间 可导 但不满足 也没有水平切线
例1 不求 f(x)= x(x-1)(x-2)(x-3) 的导数说明f'(x）=0有几个根，并指出它们所在的区间解：f(x)在[0,1],[1,2],[2,3]都连续,在(0,1),(1,2),(2,3)都可导f(0) = f(1) = f(2) = f(3),:: f(x) 在(0,1),(1,2),(2,3)内至少各存在一个根. f'(x)=0 有且仅有三个根,分别在(0,1),(1,2)(2,3) 内
1 ( ) ( 1)( 2)( 3) , ( ) 0 , . f x x x x x f x = − − − = 不求 的导数 说明 有几个根 并指出它们所在 的区间 例 ( ) [0,1],[1,2],[2,3] , (0,1),(1,2),(2,3) , (0) (1) (2) (3), f x f f f f = = = 在 都连续 在 都可导 解 f x( ) (0,1),(1,2),(2,3) , 在 内至少各存在一个根 ( ) 0 , (0,1),(1,2), (2,3) f x = 有且仅有三个根 分别在 内
拉格朗日中值定理若函数 f(x)满足拉格朗日中值定理(1)在闭区间[a,b连续，(2)在开区间(a,b)可导则存在E(a,b), 使得 f(b)-f(a)= f'()(b-a)证明作辅助函数f(b)- f(a)(x-a)l,F(x) = f(x)-[f(a) +b-a则F(x）满足罗尔定理条件
拉格朗日中值定理 ( ( ) (1) , (2) , [ , ] ( , , ( ) ( ) ( ) . ) ), ( ) a b a f x f b f b a b − − a f b a = 若函数 在闭 拉格朗日中值定 满足 则 区间 连续 在开区 理 存 得 间 可导 在 使 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )], ( ) . f b f a F x f x f a x a b a F x − = − + − − 作辅助函数 则 满足罗 证 尔定理条件 明
推论1如果函数 f(x),在区间 I上的导数恒为 0.则f(x）在区间I上是常函数推论2如果函数 f(x)与 g(x),在区间I 上满足f'(x)=g'(x),则在区间 I上，f(x)=g(x)+C（C为常数)
( ), 0, ( ) . 1 f x I f x I 推 如果函数 在区间 上的导数恒为 则 在区间 上是常函数 论 ( ) ( ), ( )= ( ), , ( )= ) C . 2 ( C f x g x I f x g x I f x g x + 如果函数 与 在区间 上满足 则在区间 上 （ 为 推 常数） 论
例2证明当0<α<β时β-αβ-α<arctanβ-arctanα 1+ β?1+α2证明令 f(x)= arctanx,则 f(x)在[α,βI连续,在(α,β)可导:(α,β),使得β-αarctanβ-arctanα=1+52由0<α<β得β-αβ-α<arctanβ-arctanα<.1+α?1+ β2
2 2 0 , arctan arcta . 1 1 2 n − − − + + 例 证明当 时 证明 令 f x x ( ) arctan , = 则 f x( ) [ , ] , ( , ) , 在 连续 在 可导 2 ( , ), arctan arctan = , 1 − − + 使得 2 2 0 arctan arctan < . 1 1 − − − + + 由 得