《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 多元函数积分学 8.2二重积分的计算

第二节一重积分的计算

第二节 二重积分的计算

一、直角坐标系下二重积分的计算1.积分区域可以表示为D=((x,y)/y(x)≤y≤y,(x),a≤x≤b)的形式—一X型区域y特点过[a,b]上任一点x,所作的平行于轴的直线，与D的边界至多有两个交点yi(xo), y2(xo)yi()V=bx

y o a b x 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) 0 x 一 、直角坐标系下二重积分的计算 1 2 {( , ) | ( ) ( ) 1. D x y y x y y x a x b , } X =     积分区域可以表示为 的形式—— 型区域. 0 1 0 2 0 [ , ] , ( ), ( ). a b x y D y x y x 过 上任一点 所 作的平行于 轴的直线 与 的边界至多有两个交点 特点

Z曲顶柱体体积x.V-z= f(x,y)V=[A(x)dxA(x)-J[rn (x )s ar.Oy0xhy2(x)y,(x)X2-即JJ f(x,y)do=Jna) f(x, )dy dc.1D

A(x) z f x y = ( , ) 1 y x( ) 2 y x( ) x 曲顶柱体体积 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . b y x a y x D f x y d f x y dy dx    =     即    2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) . b a b y x a y x V A x dx f x y dy dx =   =       

习惯写成：[J (x,y)do[' dx mf(x,y)dy一二重积分二次积分（累次积分）

二重积分 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . b y x a y x D f x y d dx f x y dy  =    习惯写成: 二次积分（累次积分）

例1计算二重积分xdxdy，其中，区域D由直线Dx+y=1,x=0,y=0围成解J xdxdy= I' dxJ"xdy=J'(x-x*)dxx+y=l0x

, 1, 0, 1 , 0 . D xdxdy D x y x y + = = = 计算二重积分 其中 区域 由直线 围成 例 1 1 0 0 1 2 0 d d d d ( )d 1 . 6 x D x x y x x y x x x − = = − =     解 o x y 1 1 x y + =1

2.积分区域可以表示为D=((x,y)/x,(y)≤x≤x,(y),c≤y≤d)的形式一一Y型区域r=x,(y)特点过[c,d]上任一点y.所作的平行于x轴的直线，与D的边界至多有两个交点x,(yo), x2(yo)x=x,(y)x

1 2 {( , ) | ( ) ( ) 2. D x y x y x x y c y d , } Y =     积分区域可以表示为 的形式—— 型区域. 0 1 0 2 0 [ , ] , ( ), ( ). c d y x D x y x y 过 上任一点 所 作的平行于 轴的直线 与 的边界至多有两个交点 特点 x y o c d 1 x x y = ( ) 2 x x y = ( )

大AZz=f(x,y)曲顶柱体体积z= f(xyV = J" A(y)dyAy)yd- [ (x )ax o.olgYDx(y)x,(y)(x,)d=[) (x,)即0-I'fro) (x,y)d

曲顶柱体体积 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . d x y c x y D d x y c x y f x y d f x y dx dy dy f x y dx    =     =      即 z f x y = ( , ) 2 x y( ) 1 x y( ) y A(y) 2 c d 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) . d c d x y c x y V A y dy f x y dx dy =   =       

sin y例2dxdy，其中,计算二重积分区域D由直线yD=×,=2x,=元围成ydxdyaydr解元'sin yly= 1.0元x

sin , , , 2 2 , . D y dxdy D y y x y x y = = =  计算二重积分 其中 区域 由直线 围成 例 0 2 0 d d d d 1 si si i 2 1. n n y s n y D y y x y y x ydy y y   = = =     解  O  x y

一、利用极坐标计算一重积分一二重积分从直角坐标到极坐标的转换公式[ f(x, y)do =( f(pcos , psin)pd pdeDD该公式从左到右做x= pcos0被积函数了哪些变化？右边y=psino的被积函数是谁？da = pdpde

二重积分从直角坐标到极坐标的转换公式 ( , ) ( cos , sin ) D D f x y d f d d         =   该公式从左到右做 了哪些变化？右边 的被积函数是谁？ x    cos y    sin d d d      被积函数 二、利用极坐标计算二重积分

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