第七节空间曲线
第七节 空间曲线
一、空间曲线的一般方程两平面的交线是直线两不同的曲面 S,,S，如果相交，其交线就是曲线设两不同的曲面S, : F(x,y,z) = 0, S, :G(x, y,z)= 0F(x,y,z)= 0,空间曲线的一般方程G(x, y,z) = 0.0x
y x z o 1 s 2 s C ——空间曲线 的一般方程 一 、空间曲线的一般方程 1 2 , , , 两平面的交线是直线 两不同的曲面 S S 如 交线 果 相交 其 就是曲线. 1 2 S F x y z S G x y z : ( , , ) 0, : ( , , ) 0 = = 设两不同的曲面 ( , , ) 0, ( , , ) 0. F x y z G x y z = =
x2+=7例1方程组(A.B不同时为0）表示怎样Ax + By = D的曲线？解x2+2=z2表示圆锥面Ax+By=D表示平行于z轴的平面所给方程组表示圆锥面与平面的交线
y x z o 2 2 2 , 1 ( , 0 ) ? x y z A B Ax By D + = + = 例 方程组 不同时为 表示怎样 的曲线 2 2 2 解 x y z + = 表示圆锥面, 所给方程组表示圆锥面与平面的交线. Ax By D + = 表示平行于z轴的平面
z=/4-x2-y例2方程组表示怎样的曲线？(x-1)2+y2 =1 变形为x2+ y2+z2= 4,解 将z=/4-x2-y2因此 z= /4-x2-y半径为2表示球心在原点，的上半球面1(x-1)2+ 2=1表示母线平行于z轴，以xOy面上的单位圆周为准线的柱面所给方程组表示这两个曲面的Vx交线
2 2 2 2 4 , ? ( 1) 1 2 z x y x y = − − − + = 例 方程组 表示怎样的曲线 2 2 2 2 2 2 2 4 4, 4 , 2 , z x y x y z z x y = − − + + = = − − 将 变形为 因此 表示球心在原点 半径为 的上半球面 解 所给方程组表示这两个曲面的 交线. x y z 2 2 ( 1) 1 , x y z xOy − + = 表示母线平行于 轴 以 面上的单位圆周为 准线的柱面
二、空间曲线的参数方程空间曲线C上任一点的坐标x,V,z都是参变量t的函数：x = x(t),a≤t<≤b.y = y(t),z = z(t),称为曲线C的参数式方程
二、空间曲线的参数方程 , , ( ), ( ), . ( ), . C x y z t x x t y y t a t b z z t C = = = 空间曲线 上任一点的坐标 都是参变量 的 函数: 称为曲线 的参数式方程
x = Rcosot,例3方程组y=Rsinのt,(R>0,b>0,t>0)表示怎样z = bt,的曲线？解 x,y始终满足 x2 + y2= R2,它可以看成空间一动点在圆柱面x2+2=R2上以角速度の绕z轴旋转，同时以线速度b沿z轴正向上升的轨迹X这条曲线称为螺旋线
cos , 3 sin , ( 0, 0, 0) , ? x R t y R t R b t z bt = = = 例 方程组 表示怎样 的曲线 2 2 2 2 2 2 , , , . x y x y R x y R z b z + = + = 始终满足 它可以看成空间一动点在圆柱面 上以角速度 绕 轴 旋转 同时以线速度 沿 轴正向 上升的轨迹 解 这条曲线称为螺旋线. y z x o
三、空间曲线在坐标面上的投影z =f(x,y)X该边界决定投影形状和大小的是投影的边界，福就是S的边界曲线在xOy平面上的投影
z f x y = ( , ) x y z S o 三、空间曲线在坐标面上的投影 , S xOy . 决定投影形状和大小的是投影的边界 该边界 就是 的边界曲线在 平面上的投影
F(x,y,z) = 0,从方程组消去变量z得到一元方程G(x,y,z) = 0投影柱面H(x,y) = 0曲线C在坐标面xOy上的投影曲线方程为H(x,y)= 0,投影曲线z = 0
——投影柱面 ( , , ) 0, ( , , ) 0 F x y z z G x y z = = 从方程组 消去变量 得到二元方程 H x y ( , ) 0 = ——投影曲线 曲线C xOy 在坐标面 上的投影曲线方程为 ( , ) 0, 0. H x y z = =