第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数我们曾有多少的理想和承诺在经历几次求导的考验之后就面自全非甚至荡然无存？有没有那么一个誓言，叫做 f(x)=e*?
第三节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 我们曾有多少的理想和承诺， 在经历几次求导的考验之后就面目 全非甚至荡然无存? 有没有那么一 个誓言，叫做 ( ) ?x f x e =
隐函数的导数隐函数由方程 F(x,J)=0 所确定的函数形如y= f(x)的函y=y(x)称为隐函数.数称为显函数隐函数的显化 F(x,y)=0=→ =f(x)
隐函数的导数 F x y y y x y f x ( , ) 0 ( ) . ( ) . = = = 由方程 所确定的函数 称为隐函数 形如 的函 数称为 隐函 显函数 数 隐函数的显化 F x y y f x ( , ) 0 ( ). = =
例l求由e+xy-e=0确定的隐函数=y(x)在点x=0处的导数解将方程两边同时对x求导得e". y'+ y+xy'= 0,x+ey将x=0代入原方程得y=1。=-
y e y y xy + + = 0, y y y x e = − , + y e xy e y y x x= 0 ( 0 . 1 求由 + − = = 确定的隐函数 ) 在点 处的导数 例 解 将方程两边同时对 x 求导得 将 x y = = 0 1, 代入原方程得 x= y e 0 1 = −
例2 求由x＋+sin=0确定的隐函数=(x)一的二阶导数解将方程两边同时对x求导得1+ y'+ cos y· y'= 011 + cos y将上式两边对x再求导得=-siny. y'sin y1(1+ cos y)2(1+ cos y)3
1 cos 0, + + = y y y y y 1 , 1 cos = − + x y y y y x sin ) . 2 求由 + + = = 0 ( 确定的隐函数 的二阶导数 例 解 将方程两边同时对 x 求导得 将上式两边对 x 再求导得 y y y y y y 2 3 sin sin . (1 cos ) (1 cos ) − = = + +
对数求导法f(x) = u(x)(r)In f(x) = v(x)· Inu(x),两边对x求导得f'(x)v(x)u(x) =v(x) Inu(x)+f(x)u(x)v(x)u(x)f'(x)= u(x)"(x)v(x). Inu(x)+u(x)
对数求导法 ln ( ) ( ) ln ( ), f x v x u x = 两边对 x 求导得 f x v x u x v x u x f x u x ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) = + v x v x u x f x u x v x u x u x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) = + v x f x u x ( ) ( ) ( ) , =
例3求函数y=x*(x>0)的导数解将方程两边取对数得将上式两边同时对x求导得= Inx +1.=lnx+x:xy' = y(lnx+1l)= x*(lnx+1)
x 例3 求函数 y x x = ( 0) . 的导数 解 将方程两边取对数得 y x x x y x 1 1 = + = + ln ln 1, x = + = + y y x x x (ln 1) (ln 1). 将上式两边同时对 x 求导得
(x-1)(x-2)例4 求函数y=(x>5)的导数/(x-3)(x-5)解将方程两边取对数得Iny=xlnx,In y ==[In(x -1)+ In(x -2)- In(x -3)- In(x -5)]将上式两边同时对x求导得(x-3r-2?(x-1)(x-2)x-2V(x-3)(x-5)x-3x一
x x y x x x ( 1)( 2) ( 5) . ( 3 5 4 )( ) − − = − − 例 求函数 的导数 解 将方程两边取对数得 ln ln , y x x = y y x x x x 1 1 1 1 1 1 , 2 1 2 3 5 = + − − − − − − 将上式两边同时对 x 求导得 y x x x x 1 ln [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 5)], 2 = − + − − − − − y y x x x x 1 1 1 1 2 1 2 3 5 = + − − − − − − 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) . 2 1 2 3 5 ( 3)( 5) x x x x x x x x − − = + − − − − − − − −
由参数方程所确定的函数的导数x=p(t)设方程组确定了y是x的函数(y-y(t)且 '(t)± 0, 则函数 y= (x) 的导数为Yu)--0+
由参数方程所确定的函数的导数 x= t y x y= t t y y x ( ) . ( ) ( ) 0, ( ) = 设方程组 确定了 是 的函数 且 则函数 的导数为 dy t y x dx t ( ) ( ) . ( ) = =
x=acost例5设确定了函数 =f(x)y=asint歡求业(asint)'acostdy解=-cott.dx (acost)-asint
x a t y f x y a t dy dx cos ( ), si . 5 n = = = 确定了函数 求 例 设 dy a t a t = = t dx a t a t ( sin ) cos cot . ( cos ) sin = = − − 解
x =arctant例6设确定了函数 y= f(x)[y= In(1+t2)歡求业2tdy_ [n(1+t)_ 1+t?解= 2t.dx(arctant)1 + t?
x t y f x y t dy dx 2 arctan ( ), ln(1 ) 6 . = = = + 例 设 确定了函数 求 t dy t t = t dx t t 2 2 2 2 [ln(1 )] 1 2 . (arctan ) 1 1 + + = = + 解