第五节空间直线
第五节 空间直线
一、空间直线的一般方程平面元，元，交线的方程为7元Ax+By+Cz+D =0元2A,x+ B,y+C,z+ D, = 0.y0对应变量的系数不成比例
一 、空间直线的一般方程 对应变量的 系数不成比例 1 2 平面 , 交线的方程为 x y z o 1 2 l 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0. A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + =
二、空间直线的点向式方程与参数方程过点 M,(xo,yo,z)且平行于非零向量s(m,n,p)的直线方程为X-Xo - y- Yo-z-ZoM.MMmnPy0直线的点向式方程（对称式方程）s =(m,n,p)方向向量直线的一组方向数
0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) M x y z s m n p 过点 且平行于非零向量 的直线方程为 直线的一组方向数 s x y z o l M0 M M M0 二、空间直线的点向式方程与参数方程 直线的点向式方程 （对称式方程） s m n p = ( , , ) ——方向向量 0 0 0 x x y y z z m n p − − − = =
-x, - y- yo _ z-zo =t, 则设mpnx = mt +x直线的参数式方程y=nt + yoz/ pt + zos =(m,n,p)M =(xo,yo,zo)
0 0 0 , x x y y z z t m n p − − − 设 = = = 则 直线的参数式方程 0 0 0 x mt x y nt y z pt z = + = + = + s m n p = ( , , ) 0 0 0 0 M x y z = ( , , )
x+y+z+2=0例1将直线分别用点向式方程[2x-y+3z +10= 0和参数式方程表示解 令 x=0 知该直线过 (0,1,-3);ki= 4i-j-3k该直线的方向向量s=13福z+3V：该直线的点向式方程为.x = 4t,参数方程为y=1-t,z = -3 + 3t
2 0 2 3 10 1 0 . x y z x y z + + + = − + + = 将直线 分别用点向式方程 和参数式方程表示 例 解 令 x=0 (0,1, 3), 知该直线过 − 1 3 = . 4 1 3 x y z − + = − − 该直线的点向式方程为 1 1 1 4 3 . 2 1 3 i j k s i j k = = − − − 该直线的方向向量 4 , 1 , 3 3 . x t y t z t = = − = − + 参数方程为
z-4x-2 y-3例2求直线与平面2x+y+z-6=02的交点解所给直线的参数式方程为x=2+t, y=3+t, z=4+2t.代入平面方程得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6 = 0解得 t=-1,所求交点为(1,2,3)
x t y t z t = + = + = + 2 , 3 , 4 2 , 解 所给直线的参数式方程为 代入平面方程得 2(2 ) (3 ) (4 2 ) 6 0, + + + + + − = t t t 所求交点为(1,2,3). 解得 t= 1, − 例2 求直线 与平面 的交点. 2 6 0 x y z + + − = 2 3 4 = 1 1 2 x y z − − − =
例3求与两平面x-4z=-7和2x-y-5z=3的交线平行且过点（2,-3,4)的直线方程解所求直线方向向量为iik 0 -4=-4i-3j-k,S=12 -1 -5y+3x-2Z-4所求直线方程为34
解 所求直线方向向量为 4 7 2 5 3 (2, 3 3 ,4) x z x y z − = − − − = − 例 求与两平面 和 的交线 平行且过点 的直线方程. 2 3 4 = . 4 3 1 x y z − + − = 所求直线方程为 1 0 4 4 3 , 2 1 5 i j k s i j k = − = − − − − −
例4求过两点 P(xi,J1,z,), P,(x2,2,z2)的直线方程解所求直线方向向量为P,P, =(x -X1, J2 - J, Z2 - z1,),：所求直线方程为x-x_y-yiNx-xV2 - Vi直线的两点式方程
解 所求直线方向向量为 1 1 1 1 2 2 2 2 例4 求过两点 P x y z P x y z ( , , ), ( , , ) 的直线方程. 所求直线方程为 1 2 2 1 2 1 2 1 P P x x y y z z = − − − ( , , , ), 直线的两点式方程 1 1 1 2 1 2 1 2 1 = . x x y y z z x x y y z z − − − = − − −
三、两直线的夹角X-x2-y- J2_ z-z2X-xi-y-Ji- z-z1与直线1：直线1：mn,k,m,n,k,的夹角余弦为mm, +n,n, +kk,cosΦ =m+n +kim+n +k,l Il2 =m,m, +n,n, +k,k, =0;m=n=ki /, ←二mznz k
三、两直线的夹角 1 2 直线 l l ： 1 1 1 与直线 ： 1 1 1 x x y y z z m n k − − − = = 2 2 2 2 2 2 x x y y z z m n k − − − = = 的夹角余弦为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos m m n n k k m n k m n k + + = + + + + 1 1 1 1 2 2 2 2 // . m n k l l m n k = = 1 2 1 2 1 2 1 2 l l m m n n k k ⊥ + + = 0;
与号学号2+例5求直线1--的夹角！一解 3, =(1,-4,1), 3, =(2,-2,-1),1. 2 +(-4) · (-2) +1· (-1)cos@=+(-4) +1. /2*+(-2)*+(-1"： 所求夹角 =芸
1 2 解 s s = − = − − (1, 4,1), (2, 2, 1), 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) 1 cos , 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1) 2 + − − + − = = + − + + − + − = . 4 所求夹角 1 2 例5 求直线 l l : : 与 的夹角. 2 2 2 1 x y z + = = − − 3 1 4 1 x y z + = = −