《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.5微积分基本公式

第四节定积分的概念与性质

第四节 定积分的概念与性质

例设某物体作变速直线运动已知速度v(t)v(t)是时间段[T,T]上t的一个连续函数求物体在这段时间内经过的路程T2变速直线运动中路程为v(t)dt.三另一方面这段路程可表示为s(T) -s(T)v(t)dt = s(T,)- s(T), 其中 s(t) = v(t)

2 1 ( ) . T T v t dt 变速直线运动中路程为  2 1 另一方面这段路程可表示为 s T s T ( ) ( ) − . 2 1 2 1 ( )d ( ) ( ), ( ) ( ). T T  = v t t s T s = − T s t v t   其中 1 2 , ( ) ( ) [ , ] , . v t v t T T t 设某物体作变速直线运动 已知速度 是时间段 上 的一个连续函数 求物体在这段时间内经过的路程 例

v(t)dt = s(T,)- s(T)江如果能从 v(t) 求出 s(t),定积分v(t)dt运算就可转化为减法运算 s(T,）-s(T)定积分的计算有捷径可寻

定积分的计算有捷径可寻 2 1 2 1 ( )d ( ) ( ) T T v t t s T s T = −  2 1 2 1 ( ) ( ), ( )d ( ) ( ). T T v t s t v t t s T s T − 如果能从 求出 定积分  运算就可转化为减法运算

积分上限函数设f(x)在[a,b]中可积，则定积分D(x)=[, f(t)dt, x E[a,b]称为积分上限函数注：一定要分清Φ(x)的自变量x与积分变量 t

积分上限函数 ( ) [ , ] , ( ) ( )d , [ , ] . x a t t f x a b  =  x f x a b  设 在 中可积 则定积分 称为积分上限函数 ( ) . x x t ： 一定要分清 的 注 自变量 与积分变量

设 f(x)eC[a,b]定理1（微积分基本定理）则积分上限函数 Φ(x)= f(t)dt 在[a,b]上可导，且0(x) =( (0)d) = (x), (a<x<b)

( ) ( ) [ , ], ( ) ( )d [ , ] , ( ) ( )d ( ), ( ) 1( ) . x a x a f x C a b x f t t a b x t x f f a t x b   =   = =      设 则 定理 微积分基 积分上限函数 在 上可导 且 本定理

证 Vx, E[a,b],D(x)-(x,)= [, f(t)dt -[, f(t)dt= f(t)dt=F(5)(x-x)(在x,与x之间)Φ(x)-Φ(x).:. Φ'(x,)= limx-→>xox-xo= lim f()5→xo= f(x)

0 lim ( ) x f   → = 0 = f x( ). 0 0 ( ) ( ) ( )d ( )d x x a a  −  = − x x f t t f t t   0 0 0 ( )d ( )( ) ( ) x x = = − f t t f x x x x    在 与 之间 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x x x x → x x  −    =  − 0 证   x a b [ , ]

推论()是" f()dt=- (x); dr(x)(2)f(t)dt = f [p(x)]:p'(x);dxd) ()d(3)dr= f[b(x)]b'(x) - f [a(x)]a(x)

d ( ) (2) ( )d [ ( )] ( ); d x a f t t f x x x  =     ( ) ( ) d (3) ( )d d [ ( )] ( ) [ ( )] ( ). b x a x f t t x = − f b x b x f a x a x    d (1) ( )d ( ); d a x f t t f x x = −  推论

例1 设 F(x)=[e-" dt. 求 F(x)解 F(x)=e-r.VY例2 设 F(x)= [。sint'dt. 求 F'(x)解 F(m)=sin(M)元sinx2/x

2 0 1 ( ) . ( ) x t F x e dt F x − =  例 设  求 2 ( ) . x F x e− 解  = 2 0 2 ( ) sin . ( ) x F x t dt F x =  例 设  求 ( ) 2 1 ( ) sin 2 sin . 2 F x x x x x  =  = 解

例3 设 F(x)=[, Intdt. 求 F'(x)解 F'(x)=Ine*.e* -Inx?.2x=e.ex -4xlnx

2 3 ( ) ln . ( ) x e x F x tdt F x =  例 设  求 2 ln ln 2 4 ln . ( ) x x x e e x e x F x  x − = −  =  解

costdt1例4习求lim1x-→0sin°xcostdtcostdt1解lim= limtosin°xx-→0x-→02x -cosx2.2x1 - cosx= limlim6r53x4x-→0x-→0x2= limx→0 3x4

2 2 0 6 0 cos lim . s n 4 i x x x tdt → x −  例 求 2 2 2 2 0 0 6 6 0 0 2 2 5 4 0 0 4 4 0 cos cos lim lim sin 2 cos 2 1 cos lim lim 6 3 1 2 lim . 3 6 x x x x x x x x tdt x tdt x x x x x x x x x x → → → → → − − = −  − = = = =   解