第六节格林公式
第六节 格林公式
定义1如果区域D内任一条封闭曲线所围成的区域简只含有D中的点，，则称D为单连通区域.单地说，单连通区域是指没有“洞”的区域否则称为复连通区域定义2如果平面区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成边界曲线的正方向规定为与上述方向当沿边界行走时区域总在左边，记为L.相反的方向称为负方向
, . 1 , , D D D 定义 单连 如果区域 内任一条封闭曲线所围成的区域 只含有 中的点 则称 为 简 单地说 单连通区域是指没有“洞”的区域 否则称 通区域 为复连通区域. , . 2 . , D L − L 如果平面区域 的边界 是由一条或几条光 滑曲线所组成 边界曲线的正方向规定为: 当沿边界行走时区域总在左边 与上述方向 相反的方向称为负方向 记为 定义
定理1，且若函数 P(x,y),Q(x,y)在闭区域D上连续，有连续偏导数，则有aQd5(% -%) do- I Pat+Quv.(1)2这里，L是区域D的边界，分段光滑，取正方向公式(1)称为格林公式
( , ), ( , ) , , (1) , d d , , d . 1 L D Q P P x Q y P x y Q x x y y D L D − = + 定 若函数 在闭区域 上连续 且 有连续偏导数 则有 这里 是区域 的边 理 界 分段光滑 取正方向. 公式(1)称为格林公式
例1 计算dΦ,(x-2y)dx +(3x+4y)dy,其中L:折线x=y与x=1围成的三角形区域取正方向解由格林公式[, (x - 2 y)dx +(3x + 4 y)dy= [[ [3 -(-2)]dxdyO= 5]] dxdyD= 5
1 ( 2 )d (3 4 )d , : 1 L x y x x y y L x y x − + + = = 计算 其中 折线 与 围成的三角形区域取 例 正方向. , ( 2 )d (3 4 )d [3 ( 2)]d d 5 d d 5. L D D x y x x y y x y x y − + + = − − = = 解 由格林公式
例2计算, ydx +(Vy + sin x)dy，其中L:余弦曲线y=cosx上从 A(0,1)到 B(,0)的一段有向弧解有向线段BO：y=0,OA:x=0,[, ydx +(Vy + sin x)dy=(di0+0a +Juo+Jo )ydx +(Vy + sin x)dy=-J],(cosx-1)dxdy+ J' Vydy + J:odx2--f, dx J.* (cos x - 1)dy32=--J (cos x-1)cos xdx-31-1
d ( sin )d , : cos (0, 0) 2 2 1) ( , L y x y x y L y x A B + + = 计算 其中 余弦曲线 上从 到 的一 例 段有向弧. 0 2 1 0 cos 2 0 0 2 0 : 0, : 0, d ( sin )d ( ) d ( sin )d (cos 1) 0 2 (cos 1) 3 2 (cos 1)cos 3 1 π . 3 4 L L BO OA AO OB D x BO y OA x y x y x y y x y x y x dxdy ydy dx dx x dy x xdx + + = = + + = + + + + = − − + + = − − − = − − − = − 解 有向线段
曲线积分与路径无关的条件定理2设函数 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上有则曲线积分「Pdx+Qdy与路连续偏导数，径无关的充要条件是ao_ap(x,y)e D.axay
曲线积分与路径无关的条件 d d , ( 2 ( , ) , ) , ( = , . , ) L Q P P x Q P x y x y Q y x D y D y x + 设函数 在单连通区域 上有 连续偏导数 则曲线积分 与路 径无关的充要条件是 定理
例3计算[,ydx+(x+y")dy，其中L的起点和终点分别为(0,0),(1,3)apaQapaQ解且在xOy面连续，1.axaxaydy所求曲线积分与路径无关，可按折线计算J, ydx +(x + y")y = "odx + f'(1+ y')dy= 12
2 d ( )d , ( 3 0,0), (1,3). L y x x y y L + + 例 计算 其中 的起点和终点 分别为 1 3 2 2 0 0 1, , , , , d ( ) 0d (1 )d 12. L P Q P Q xOy y x y x y x x y y x y y = = + + = + + = 且 在 面连续 所求曲线积分与路径无关 可按折线计算 解