第二节向量的坐标与用坐标研究向量
第二节 向量的坐标与用坐标研究向量
一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系竖轴Z过原点O作互相垂直的三条数轴福K三个坐标轴的正方向符合右手系纵轴横轴以i，i,k分别表示与x,,z轴正向具有相同方向的单位失量
一 、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 过原点O作互相垂直的三条数轴， 三个坐标轴的正方向符合右手系. y x z i j k 横轴 纵轴 竖轴 以 i j k x y z , , , , 分别表示与 轴正向具有相同方向 的单位矢量. . o
E71zOx面yOz面五IVIyxOy面VIVIxVII空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅶ x o y z xOy 面 yOz 面 zOx 面 空间直角坐标系共有八个卦限. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
1.空间中点的坐标空间中的点P有序数组(x,y,z)C(2)P(x,y,z)BO)0xA()
1. 空间中点的坐标 空间中的点 P 有序数组 ( , , ) x y z
特殊点的坐标的特点坐标面上的点 A,B,C.坐标轴上的点 P,Q,R原点0(0,0,0)
坐标面上的点 A B C , , . 坐标轴上的点 P Q R ,. 原点 O(0,0,0). 特殊点的坐标的特点
向量的坐标点的向径：以原点0为起点、点P为终点的非零向量OP称为点P的向径7点的向径是起点固定在原点的特殊的向量约定原点0的向径为零向量P(x, y,z)OP向径与其终点一一对应J0X将向径的终点坐标定义为该向径的坐标如点 P的坐标为（x,y,z)，则向径 OP的坐标为(x,y,z), 记为 OP =(x, y,z)或 OP(x,y,z)
向量的坐标 O P P OP 以原点 为起点、点 为终点的非零 向量 称 点的向径： 为点 的向径. 点的向径是起点固定在原点的 特殊的向量. 约定原点 O 的向径为零向量. 向径与其终点一一对应. 将向径的终点坐标定义为该向径的坐标. ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , ). P x y z OP x y z OP x y z OP x y z = 如点 的坐标为 则向径 的坐标为 记为 或
设为空间中的任意非零向量，将它平移使其起点为坐标原点，这样，向量就对应唯一一个向径定义该向径的坐标为向量的坐标记为 a =(x,y,z)或a(x,y,z)aP(x,y,z)
, , , , a a a 设 为空间中的任意非零向量 将它平移使其起点 为坐标原点 这样 向量 就对应唯一一个向径 定义该向径的坐标为向量 的坐标. 记为a x y z a x y z = ( , , ) ( , , ). 或
例1写出以点 A(2,-1,3),B(1,-2,-2)为起点和终点的向量的坐标，并求出z轴上与 A,B两点等距酒离的点解 AB =(1- 2, -2 -(-1),-2 - 3)=(-1,-1,-5),设 z轴上的点 M(0,0,z)，则 MA =MB[(0 -2) +(0 +1)° +(z-3)= /(0 -1)2 +(0 +2)° +(z +2)解得Z2: 所求点为 M(0,0,号
1 (2, 1,3), (1, 2, 2) , , . A B z A B 写出以点 − − − 为起点和终点 的向量的坐标 并求出 轴上与 两点等距 离的点 例 解 AB = − − − − − − = − − − (1 2, 2 ( 1), 2 3) ( 1, 1, 5). 设 z M z MA MB 轴上的点 (0,0, ), . 则 = 2 2 2 2 2 2 (0 2) (0 1) ( 3) (0 1) (0 2) ( 2) , z z − + + + − = − + + + + 1 . 2 解得 z = 1 (0,0, ). 2 所求点为 M
记i =(1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1)设空间任意点 P(x,y,z)，则OP =(x,J,z)= OA+ AD+ DP = OA+OB + OC= xi + yi + zk.CPBD
记 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). 设空间任意点 P x y z ( , , ), 则 OP x y z OA AD DP OA OB OC = = + + = + + ( , , ) = + + xi yj zk
向量的运算1.线性运算?=(ax, ay, a,)=ai+a,j+a,kb=(br, by, b,)=bi+b,j+b,k,a+b=(a, +b,)i+(a, +b,)j+ (a, +b,)k=(ax +br, a, +by, a, +b,).a-b=(ax-b,)i+(a,-b,)j+ (a, -b,)k=(ax -br, a, -by, a, -b,)
( , , ) , x y z x y z a a a a a i a j a k = = + + ( , , ) , x y z x y z b b b b b i b j b k = = + + ( ) ( ) ( ) x x y y z z a b a b i a b j a b k + = + + + + + ( , , ). x x y y z z = + + + a b a b a b ( ) ( ) ( ) x x y y z z a b a b i a b j a b k − = − + − + − ( , , ). x x y y z z = − − − a b a b a b 1. 线性运算 向量的运算