《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.1不定积分的概念与性质

第四章一元函数积分学第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 一元函数积分学

原函数的概念定义设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数 F(x),对任何 x E I,均有F'(x)= f(x) 或 dF(x) = f(x)dx则称函数 F(x)为 f(x)在区间I上的原函数若 F(x)为 f(x)在区间 I上的原函数，则函数 f(x)的全体原函数为 F(x)+C（C为任一常数)原函数存在定理区间I上连续函数一定有原函数

原函数的概念 ( ) , ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . f x I F x x I F x f x dF x f x dx F x f x I   = = 设 是定义在区间 上的函数 若存在函 数 对任何 均有 或 则称函数 为 在区间 定 上的 义 原函数 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ). F x f x I f x F x C C + 若 为 在区间 上的原函数 则函数 的全体原函数为 为任一常数 区间 I 上连续函数 原函数存在定理： 一定有原函数

不定积分的概念定义如果在某区间I上的函数 f(x）存在原函数则称f(x)为可积函数，并将 f(x)的全体原函数记为(f(x)dx.称它是函数 f(x)在区间I内的不定积分若 F(x)为 f(x)的原函数，则/f(x)dx=F(x)+C(C 为任意常数)

不定积分的概念 ( ) , ( ) , ( ) ( ) . ( ) I f x f x f x f x dx f x I  如果在某区间 上的函数 存在原函数 则称 为可积函数 并将 的 记为 称它是函数 在 定义 全体原函数 区间 内的不 定积分. ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ). F x f x f x dx F x C C = +  若 为 的原函数 则 为任意常数

[d,[例1 求[dx.1+x解[dx=-I+C,dx = arctanx + C1+x

2 2 1 1 1 , . 1 dx dx x +x 例 求   2 1 1 dx C, x x = − + 解  2 1 arctan . 1 dx x C +x = + 

例2 设曲线通过点（1,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的方程解设该曲线方程为 y= f(x)，则 f'(x)=一X[-dx = In x| + C,: f(x)=福x由曲线通过点（1,0）知 C=0,：所求曲线方程为 y=Inx

(1,0), , . 2 设曲线通过点 且曲线上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标的倒数 求此曲 线的方程 例 1 y f x f x ( ), ( ) , x 解 设该曲线方程为 = = 则  1 f x dx x C ( ) ln , x  = = +  由曲线通过点 (1,0) 0, 知 C =  = 所求曲线方程为 y x ln

基本不定积分公式(1)[kdx=kx+C（k是常数);tu+1(2) [ xdx =+C(μ±-l);μ+10t(3) [a*dx =[e*dx = e* + C+C,Inaaxx = In|x|+C(4)(5)cosxdx = sin x + C美(6)sin xdx = -cos x + C

1 (1) ( ); (2) ( 1); 1 (3) , ln (4) ln (5) cos sin (6) sin cos x x x x kdx kx C k x x dx C a a dx C e dx e C a dx x C x xdx x C xdx x C     + = + = +  − + = + = + = + = + = − +        是常数 基本不定积分公式

基本不定积分公式(7) sec' xdx = tanx+ C;(8) f csc’ xdx = -cotx+C;(9)1sec x tan xdx = sec x + C;(10) Jesexcot xdx=-csex+C;(11)dx = arctanx + C:XT(12)dx = arcsinx + C1 - x2

2 2 2 2 (7) sec tan ; (8) csc cot ; (9) sec tan sec ; (10) csc cot csc ; 1 (11) arctan ; 1 1 (12) arcsin . 1 xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C dx x C x dx x C x = + = − + = + = − + = + + = + −       基本不定积分公式

不定积分的性质[J (x)dx] =[ f(x)dx= f(x).性质1性质2[F'(x)dx = F(x)+C.性质3JIf(x)± g(x)dx=[ f(x)dx± [ g(x)dx性质4[kf(x)dx = k] f(x)dx

不定积分的性质 1 ( ) ) ( ) ( . d f x dx f x dx f x dx    = = 性质     2 F x dx F x C ( ( ) ) . = + 性质  3 [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx  =  . 性质    4 kf x dx k f x dx ( ( ) ) . = 性质  

求例3ax-cosx单解ldxcosx-x-dx- cosxdx/1x中= arcsinx - sinx + C

2 1 3 cos . 1 - x dx x     −   例 求  2 1 cos 1 - x dx x     −   解  2 1 cos 1 - dx xdx x = −   = − + arcsin sin . x x C

例4 求[-(2-号)n,J(2-)s解-1(2x-)a= x2 - In|x|+ C

2 1 4 x dx 2 . x     −   例 求  2 1 x dx 2 x     −   解  1 2x dx x   = −      2 = − + x x C ln