教学建议学习目标第一章函数与极限函数$1.1$1.2极限的概念$1.3极限的四则运算法则与函数的连续性81.4复利与贴现
§1.1 函数 §1.2 极限的概念 §1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性 §1.4 复利与贴现 教学建议 学习目标 第一章 函数与极限
$ 1.2极限的概念一．数列的极限二．函数的极限三．无穷小与无穷大
一. 数列的极限 二. 函数的极限 §1.2 极限的概念 三. 无穷小与无穷大
数列的极限.案例1《庄子.天下篇》“一尺之,日取其半，万世不竭实际上，每天一尺截后剩下的棒战国时期哲的长度是（单学家:庄周位为尺）：即“一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这12第1天剩下样的过程可以无限地进第2天剩下22行下去.”1第3天剩下23第21天剩下P2097152
一 . 数列的极限 案例1 战国时期哲 学家:庄周 “一尺之棰， 日取其半， 万世不竭” 《庄子 • 天下篇》 一尺 即“一根长为一尺的棒 头，每天截去一半，这 样的过程可以无限地进 行下去.” 实际上，每天 截后剩下的棒 的长度是（单 位为尺）： 第3天剩下 3 ； .； 2 1 第1天剩下 ； 2 1 2 2 1 第2天剩下 ； 第21天剩下 ； 2097152 1 2 1 21 =
11第22天剩下41943041第n天剩下这样，我们就得到一列数2n11112222,2′22n22这一列数就是一个数列.随着时间的推移，剩下的棒的长度越来越短.显然，当天数无限增大时，剩下的棒的长度将无限缩短，即剩下的棒的长度接近于数0.这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为极限.并记作L=0lim2n->0
第 n 天剩下 ； n 2 1 .； .； 这样，我们就得到一列数 第22天剩下 ； 4194304 1 2 1 22 = , 2 1 , n , 2 1 2 , 2 1 , 21 , 2 1 22 , 2 1 . 这一列数就是一个数列. • 随着时间的推移，剩下的棒的长度越来越短.显然, 当天 数无限增大时, 剩下的棒的长度将无限缩短, 即剩下的棒的长 度接近于数0. • 这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为 极限.并记作 0. 2 1 lim = → n n
一般地，按正整数顺序排列的无穷多个数，称为1. 数列数列，数列通常记作，，.第一项第n项，也称为通项或一般项第二项2.数列的极限设数列定义1.2Ji，J2，J3，::,Jn若当n无限增大时,V,趋向于常数A,则称数列Vn以A为极限，记作lim y,=A 或 y→A (n→o)nα有极限的数列称为收敛数列.没有极限的数列称为发散数列
• 一般地，按正整数顺序排列的无穷多个数, 称为 数列, 数列通常记作 定义1.2 设数列 1. 数列 , , , , , , 第一项 y1 y2 y3 yn 第二项 第 n 项, 也称为通项或一般项 2.数列的极限 , , , , , , y1 y2 y3 yn 若当 无限增大时, 趋向于常数 , 则称数列 以 为 极限，记作 n n y A n y A yn A n = → lim 或 y → A (n → ). n 有极限的数列称为收敛数列.没有极限的数列称为发散数列. : n y
收敛数列举例数列++1.:1，1+1,1+2n1无限接近于数0，所以y,=1+1当n无限增大时，由于nn无限接近于数1，因此数列以1为极限即lim(1+ l)1nn→0
收敛数列举例 当 无限增大时, 由于 无限接近于数0, 所以 无限接近于数1, 因此数列以1为极限. 即 n n 1 n yn 1 =1+ , 1 1 1+ , 2 1 1+ , , 3 1 1+ , , 1 1 n + ) 1. 1 lim(1+ = n→ n : 1 1 n + 数列
发散数列举例(1)数列(2n ):2， 4， 6，， 2n,当n无限增大时,y，=2n也无限增大,它不趋于任何常数，该数列就没有极限注意到V，=2n随着无限增大，它有确定的变化趋势，即取正值且无限增大，对这种情况，我们借用极限的记法表示它的变化趋势，记作l 或 2n→+8 (n→8)lim 2n =+80n->00正无穷大
发散数列举例 当 无限增大时, 也无限增大, 它不趋于任何常 数, 该数列就没有极限. n y n n = 2 2 , 4 , 6 , 2n , lim 2 = + . → n n 2n : (1)数列 注意到 随着无限增大，它有确定的变化趋势， 即取正值且无限增大，对这种情况，我们借用极限的记法 表示它的变化趋势，记作 y n n = 2 或 2n → + (n → ). 正无穷大 ,
发散数列举例同样，对数列\[-n2), ((-1)n)可分别记作lim (-n 2) =-00lim(-1)n =n→>8n>0负无穷大无穷大(2)数列通项为y,=(-1)"，其数值-1和+1上( (-1)n :跳来跳去，也不能接近某一常数，这样的数列也没有极限Yn010n
发散数列举例 lim ( ) , 2 − = − → n n 可分别记作 负无穷大 , 2 同样，对数列 − n ( 1) n: n − lim(−1) = . → n n n 无穷大 (2)数列 通项为 , 其数值 -1 和 +1 上 跳来跳去，也不能接近某一常数，这样的数列也没有极限. ( 1) : n − n n y = (−1) n y 1 −1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
练习1将数列取值计算，列表如下.考察其极限是(1+-)nn否存在数列n1-n当n无限增大时(1+-)"12.000000n102.593742增加得越来越慢1022.7048141032.7169241042.7181461052.7182681062.718280
将数列 取值计算, 列表如下.考察其极限是 否存在. + n n ) 1 (1 1 2.000000 10 2.593742 102 2.704814 103 2.716924 104 2.718146 105 2.718268 106 2.718280 当 无 限 增 大 时 n n n ) 1 n (1+ 练习1 数 列 增 加 得 越 来 越 慢 n n ) 1 (1+
由上表可看出，该数列是单调增加的：若再仔细分析表中的数值会发现，随着n增大，数列后项与前项的差值在减少，而且减少得相当快这表明，数列的通项y,=(1+1)当无限增大时.它将趋n于一个常数有极限，且其极限为e，即可以推出，该数列(1+-)n lim(1 + l) n= e.nn>8e是一个无理数，e=2.718281828459
由上表可看出，该数列是单调增加的; 若再仔细分析表中 的数值会发现, 随着 增大, 数列后项与前项的差值在减少, 而 且减少得相当快. n 这表明, 数列的通项 当无限增大时. 它将趋 于一个常数. n n n y ) 1 = (1+ 可以推出, 该数列 n 有极限, 且其极限为 ,即 n ) 1 (1+ e ) e. 1 lim(1+ = → n n n e 是一个无理数, =2.718281828459. e ．