第四节平面
第四节 平 面
图形与方程一、二元方程F（x,y）=0是曲线C的方程当且仅当它满足曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0;(1)(2）坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上三元方程F(x,J,z)=0是空间图形T的方程，当且仅当它满足图形T上的点的坐标都满足方程F(x,y,z）=0;(1)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在图形T上(2)
一 、图形与方程 ( , ) 0 , (1) ( , ) 0; (2) ( , ) 0 . F x y F x y F x y C C C = = = 二元方程 是 当且仅当它 满足 上的点的坐标都 曲线 的方程 满足方程 坐标满足方程 的点都在 曲 曲线 上 线 ( , , ) 0 , (1) ( , , ) 0; (2) ( , , ) 0 . F x y z F x y z F x y z T T T = = = 三元方程 是 当且 仅当它满足 上的点的坐标都 空间图形 的方程 满足方程 坐标满足方程 的点都在 图 图形 上 形
例1写出与两点 P(1,2,2),P(2,0,3)等距离的点的轨迹解设M(x,y,z)到 P,P, 等距，则|MP|=MP/(x -1) +(y -2) +(z-2) = /(x-2) + y* +(z- 3)整理得 x-y+z=2.所求点的轨迹为 x-y+z=2
1 2 例1 写出与两点 P P (1,2,2), (2,0,3) 等距离的点的 轨迹. 1 2 1 2 解 设M x y z P P MP MP ( , , ) , , , 到 等距 则 = 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 3) , x y z x y z − + − + − = − + + − 整理得 x y z − + = 2. 所求点的轨迹为 x y z − + = 2
例2 写出球心为 M(xo,o,yo),半径为 R的球面方程解 设 M(x,y,z)为球面上任一点，则 MM。=R,(x-x,) +(y-y)+(z-z) = R,整理得所求球面方程(x-x) +(y- yo) +(z-z)= R2
0 0 0 0 例2 写出球心为 M x y y R ( , , ), 半径为 的球面方程. 0 解 设 M x y z MM R ( , , ) , , 为球面上任一点 则 = 整理得所求球面方程 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , x x y y z z R − + − + − = 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . x x y y z z R − + − + − =
平面的方程一1.平面的点法式方程定义1如果一非零向量所在的就称这直线垂直于一个平面个向量为这个平面的法向量平面中的任意一个向量都与该平面的法向量垂直
n x y o z 一 、平面的方程 1. 平面的点法式方程 1 , 如果一非零向量所在的 直线垂直于一个平面 就称这 个向量为这个平面 定义 的法向量. 平面中的任意一个向量都与该平面的法向量垂直
设平面 元 过点 M,(xo,Jo,z),法向量为 n(A,B,C),Zn在平面 元内任取一点 M(x,y,z),M.元则M,M In,n.M,M = 0,0x:. A(x - x)+ B(y-y)+C(z -z) = 0
n x y o z M0 M 0 0 0 0 设平面 过点 M x y z n A B C ( , , ), ( , , ), 法向量为 0 则 M M n ⊥ , 0 n M M = 0, 0 0 0 − + − + − = A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0. 在平面 内任取一点 M x y z ( , , )
平面的点法式方程A(x -x)+B(y- y)+C(z -z)= 0例3求过点(2,-3,0)且与 n =(1,-2,3)垂直的平面方程。解所求平面方程为1:(x -2)-2· (y+ 3)+3. z = 0即 -2+3z-8=0
0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = 平面的点法式方程: 例3 求过点 (2, 3,0) (1 ,3) − = − 且与 n , 2 垂直的平面 方程. 解 所求平面方程为 1 ( 2) 2 ( 3) 3 0, − − + + = x y z 即 x y z − + − = 2 3 8 0
例4求过点 P(1,1,1), P,(-2,1,2), P(-3,3,1) 的平面方程解 P,P, =(-3,0,1),PP =(-4,2,0),ii1= -2i-4j-6k.130n=02所求平面方程为-2 · (x -1) - 4· (y -1) - 6·(z - 1) = 0,即 x+2y+3z-6=0
1 2 3 例4 求过点 P P P (1,1,1), ( 2,1,2), ( 3,3, ) − − 1 的平面 方程. 1 2 1 3 解 P P P P = − = − ( 3,0,1), ( 4,2,0), 3 0 1 2 4 6 . 4 2 0 i j k n i j k = − = − − − − 所求平面方程为 即 x y z + + − = 2 3 6 0. − − − − − − = 2 ( 1) 4 ( 1) 6 ( 1) 0, x y z
2.平面的一般式方程由平面的点法式方程 A(x-x,)+ B(y-yo)+C(z-z)= 0整理得Ax+Bv+Cz+D=0其中 D =-(Ax,+ Byo+Czo).任一形式为 Ax + By+ Cz + D = 0(A,B,C 不全为零)的方程都可化为 A(x-x)+ B(-)+C(z-zo)=0 的形式.设点(xo,Jo,z）为满足 Ax+ By+ Cz + D=0 的任一组解则Ax+By+Cz+D=0可化为A(x -x,)+ B(y- o)+C(z- zo) = 0
2. 平面的一般式方程 整理得 Ax By Cz D + + + = 0, 由平面的点法式方程 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = 0 0 0 其中 D Ax By Cz = − + + ( ). 0 ( , , ) . 任一形式为 A D x By Cz + + + = A B C 不全为零 的方程都可化为 的 形式 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = 0 0 0 ( , , ) , 0 x y z Ax By Cz D + + + = 设点 为满足 的任一组解 则 可化为 Ax By Cz D + + + = 0 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0. − + − + − =
平面的一般式方程Ax +By+ C + D = 0
平面的一般式方程 Ax By Cz D + + + = 0