第四节幂级数
第四节 幂级数
一、函数项级数的概念定义4.1设u,(x)(n =1,2,…)是定义在区间I上的函数，称2.u,(x) =u,(x)-u,(x)+...+u,(x)+..n=l为定义在区间上I的函数项级数8Z若xEI，数项级数u,(x）收敛(发散)，称x,为n=1&u,(x)的收敛(发散)点级数n=l所有收敛点的全体称为函数项级数的收敛域所有发散点的全体称为函数项级数的发散域
一 、函数项级数的概念 1 2 1 ( ) ( 1,2, ) , ( ) ( ) ( ) ( ) . 4.1 n n n n u x n I u x u x u x u x I = = = − + + + 设 是定义在区间 上的 函数 称 为定义 定义 在区间上 的函数项级数 所有收敛点的全体称为函数项级数的 , 所有发散点的全体称为函数项级数的 收敛域 发散域. 0 0 0 1 , ( ) ( ), n n x I u x x = 若 数项级数 收敛 发散 称 为 1 ( ) . ( ) n n u x = 级数 的收敛 发散 点
在收敛域X上，，称为函数级数的和是x的函数，级数的和函数，即8ZS(x) =u,(x), xeX.n=1余项记S,(x)为函数项级数前n项的和,r,(x) = S(x) - S,(x),则在收敛域上有limr,(x) = 0
1 , , , ( ) ( ), . n n X x S x u x x X = = 和 在收敛域 上 函数项级数的和是 的函数 称为 级数的 函数 即 ( ) , ( ) ( ) ( ), lim ( ) 0. n n n n n S x n r x S x S x r x → = − = 记 为函数项级数前 项的和 余项 则在收敛域上有
一幂级数及其收敛性形如定义4.28Zaa,(x-x,)" =a, +a(x-x,)+a,(x-x,)n=0+... +a,(x-x,)" +...的级数称为幂级数.1其中a,a,,…,a,,……称为幂级数的系数当x,=0时,幂级数的形式为Za,x" =a, +ax+a,x'+..十·n=0
二、幂级数及其收敛性 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 4. ( ) ( 2 ) ( ) ( ) . , , , , . n n n n n n a x x a a x x a x x a x x a a a = − = + − + − + + − + 定义 形 的级数称为幂级 其中 称为幂级数 如 的系数 数 0 2 0 1 2 0 =0 , . n n n n n x a x a a x a x a x = = + + + + + 当 时 幂级数的形式为
8x"，当x<1时，该级数收敛,其和例如幂级数江n=1为该级数发散当x≤1时,B1 - x80因此，幂级数x"的收敛域为(-1,1).n=0
1 , 1 , , 1 , 1 , 1 n n x x x x = − 例如幂级数 当 时 该级数收敛 其和 为 当 时 该级数发散. 0 , ( 1,1). n n x = 因此 幂级数 的收敛域为 −
Ea,x"在点定理4.1（阿贝尔定理如果幂级数x.(x ±0)处收敛,则对于满足xx的一切x,x.(x, ± 0)处发散,幂级数都发散注又a,x"，存在0≤R≤8,使得当对任何幂级数当x>R时,该幂x<R时,该幂级数绝对收敛；级数发散.R称为该幂级数的收敛半径，（-R,R)称为该幂级数的收敛区间根据幂级数的收敛居x=土R时幂级数的敛散性域可能是[-R,R、(-R,R][-R,R)或[-R,R]
0 0 0 0 0 0 ( 0) , , ; ( 4.1 , , ) 0 ( ) n n n n a x x x x x x a x x x x x x 如果幂级数 在点 处收敛 则对于满足 的一切 幂级数都绝对收敛 如果幂级数 在点 处发散 则对于满足 的一切 幂 定理 阿贝尔定理 级数都发散. , 0 , , ; , , ( , ) n n a x R x R x R R R R − 对任何幂级数 存在 使得当 时 该幂级数绝对收敛 当 时 该幂 级数发散. 称为该幂级数的 称为该幂级数的 注 收敛半径 收敛区间. = , [ , ] ( , ] [ , ) [ , ] x R R R R R R R R R − − − − 根据 时幂级数的敛散性 幂级数的收敛 域可能是 、 、 或
定理4.2Za,x"的系数满足如果幂级数limnl=p,an-0则(1)当0<p<8时,收敛半径R=(2)当p=0时,收敛半径 R= +o0;(3)当p = 8o时,收敛半径 R = 0
1 lim | | , 1 (1) 0 , ; (2) 0 , ; ( 3 4. , 2 ) 0. n n n n n a x a a R R R + → = = = = + = = 如果幂级数 的系数满足 则 当 时 收敛半径 当 时 收敛半径 当 时 收 半径 定 敛 理
αE(-1)"-1 x"例1求幂级数的收敛域nn=11/ (n+ 1) = 1,n+1=lim解 : p=lim1/ nan-→8n-→00:. R = 1,Za当x=1时,幂级数为该级数收敛nn=12当x=-1时,幂级数为该级数发散所求收敛域为(-1,1]
1 1 1 ( 1) n n n x n − = 例 求幂级数 − 的收敛域. 1 1 1 1 / ( 1) lim lim 1, 1 / 1, ( 1) 1 , , , 1 1 , , , ( 1,1]. n n n n n n n a n a n R x n x n + → → = = + = = = = − = = − − 当 时 幂级数为 该级数收敛 当 时 幂级数为 该级数发散 所求收敛域为 解
8之例2求幂级数的收敛域。n=1a(n+1)!n+1解= 0.: p=limlim0n→o0n→8n!.:. R = +0,所求收敛域为(-80,+80)
1 ! 2 n n x n = 例 求幂级数 的收敛域. 1 1 ( 1)! lim lim 0, 1 ! , ( , ). n n n n a n a n R + → → + = = = = + − + 所求收敛域为 解
82n-2T例3的收敛域求幂级数n=1[2n+]2nun+1(x)x=解: limlim2n+1u,(x)n->80n→8当x1时，即[x>V2时，幂级数发散;80WI当x=/2时，幂级数成为幕级数发散：II80Z当x=-V2时，幂级数成为幂级数发散；n=1：.所求收敛域为(-V2,V2)
2 1 1 2 3 n n n x − = 例 求幂级数 的收敛域. 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) | | 2 1 lim lim , ( ) 2 | | 2 1 1 , 2 , ; 2 1 1 , 2 , ; 2 1 = 2 , , ; 2 1 =- 2 , , ; 2 ( 2, 2 ). n n n n n n n n n n u x x x u x x x x x x x x + + + − → → = = = = − − 当 时 即 时 幂级数收敛 当 时 即 时 幂级数发散 当 时 幂级数成为 幂级数发散 当 时 幂级数成为 幂级数发散 所求收敛域为 解