第四节多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则
一元函数求导法（三大杀手铜）一基本初等函数的求导公式一复合函数求导法则三函数四则运算的求导法则
一元函数求导法(三大杀手锏) • 一 基本初等函数的求导公式 • 二 复合函数求导法则 • 三 函数四则运算的求导法则
在一元函数的求导法则中，求复合函数的导数时，要采取“层层扒皮的方法·对于多元复合函数来说，求它的偏导数又将怎样？
在一元函数的求导法则中，求复 合函数的导数时，要采取“层层扒皮” 的方法．对于多元复合函数来说，求 它的偏导数又将怎样？
复合函数的微分法一1．中间变量均为一元函数时的情形（二套一）定理1 (1)一元函数u=u(t),v= v(t)都在t点可导：(2)函数z= f(u,v)在t对应的点(u,v)有连续偏导数则复合函数z= f[u(t),v(t)在t可导，且dz af duaf dy链式法则Ou dtO dtdt注意到式中各导树图数写法的不同了吗？原因为何？
一、复合函数的微分法 1．中间变量均为一元函数时的情形（二套一） —— 链式法则 注意到式中各导 数写法的不同了 吗？原因为何？ u v z t 树图 (1) ( ), ( ) ; (2) ( , ) ( , ) . [ ( ), ( )] , 1 u u t v v t t z f u v t u v z f u t v t t = = = = 一元函数 都在 点可导 函数 在 对应的点 有连续偏导数 则复合函数 在 定 可导 理 且 . dz f du f dv dt u dt v dt = +
dz设函数z=uv,u=e',v=cost,求例1 dtdzOz du.Oz dv解dtOu dtOv dt= vet + u(-sint)= e'(cost - sint)
u v z t 1 , , cos , . t dz z uv u e v t dt 例 设函数 = = = 求 ( sin ) (cos sin ). t t dz z du z dv dt u dt v dt ve u t e t t = + = + − = − 解
2：中间变量为多元函数时的情形若定理2(1)u=u(x,y),v=v(x,y)都在(x,y)点都存在偏导数(2) z = f(u,v)在(x,y)对应的点(u,v)可微则复合函数z= f[u(t),v(t)在(x,y)可导, 且Oz. QuOz. OvOXaxOu axOv x0Oz OuOz. OvayduOv Qydy链式法则
2．中间变量为多元函数时的情形 —— 链式法则 (1) ( , ), ( , ) ( , ) ; (2) ( , ) ( , ) ( , ) . [ ( ), ( )] ( , ) , 2 u u x y v v x y x y z f u v x y u v z f u t v t x y = = = = 若 都在 点都存在偏导数 在 对应的点 可微 则复合函数 在 定 可导 理 且 , . z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y = + = + x y z u v
上述链式法则可以推广到有三个或三个以上的中间变量时的情形：（三套一或多套一）例如, 设函数z= f(u,v,w),u=u(t),v= v(t),w= w(t)都在t可导，则z= f(u,v,w)在与定理1相似的条件下关于t可导, 且dz.af dvaf dw?f du链式法则一dtQu dtOw dtOv dt树图
上述链式法则可以推广到有三个或三个以上的中 间变量时的情形．（三套一或多套一） t u v w z 树图 —— 链式法则 , ( , , ), ( ), ( ), ( ) , ( , , ) 1 , z f u v w u u t v v t w w t t z f u v w t = = = = = 例如 设函数 都 在 可导 则 在与定理 相似的条件下关于 可导 且 . dz f du f dv f dw dt u dt v dt w dt = + +
3.中间变量既有一元函数又有为多元函数时的情形定理3若(1)u=u(x)在x点可导；(2) v=v(x,y)在(x,y)点存在偏导数(2) z= f(u,v)在对应的点(u,v)可微则复合函数z= f[u(x),v(x,y)在(x,y)可导，且Oz duOz Ov-XOv axOu dxOz OvOvay链式法则
3. 中间变量既有一元函数又有为多元函数时的情形 —— 链式法则 (1) ( ) ; (2) ( , ) ( , ) ; (2) ( , ) ( , ) . [ ( ), ( , , , 3 )] ( ) u u x x v v x y x y z f u v u v z f u x v x y x y = = = = 若 在 点可导 在 点存在偏导数 在对应的点 可微 则复合函数 理 在 可导 定 且 , . z z du z v x u dx v x z z v y v y = + = x y z u v
定理4若(1)z= f(u,x,y)具有连续偏导数：(2)u=u(x,y)具有偏导数：则复合函数z=f[u(x,y),x,具有偏导数，且Ozaf uafaxaxOu dxZXazafaf au0OyOu dy链式法则
—— 链式法则 (1) ( , , ) ; (2) ( , ) ; [ ( , 4 ), , ] , z f u x y u u x y z f u x y x y = = = 若 具有连续偏导数 具有偏导数 则复合函数 具 定 有偏导数 理 且 , . z f u f x u dx x z f u f y u dy y = + = + z u y x y x
zz例2 z = e sin(x + y), 求axay解令u=xy,v=x+ y,则z=e"sinv,&-%+%-Csti-+C.ow= ye* sin(x + y)+e* cos(x + y)= e*[ysin(x + y)+ cos(x + y)l;Oz- z du+-%%%%-csix+.cosv.1= xe* sin(x+ y)+e cos(x +y)= e*[xsin(x+ y)+ cos(x + y)]
2 sin( ), . , xy z z z e x y x y = + 例 求 x y z u v , , sin , sin cos 1 sin( ) cos( ) [ sin( ) cos( )]; sin cos 1 sin( ) cos( ) [ sin( ) cos( u u u xy xy xy u u xy xy xy u xy v x y z e v z z z u v e v y e v x u v x x ye x y e x y e y x y x y z z z u v e v x e v y u v y y xe x y e x y e x x y x y = = + = = + = + = + + + = + + + = + = + = + + + = + + + 解 令 则 )]