第八节多元函数的极值及其求法
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值定义1设函数z=f(x,y)在点 P,(xo,Jo)的某邻域内有定义，如果该邻域内任何异于P的点P(x,J), 都有f(x,y) f(xo,y),则称f(x,y)在P,处有极小值f(xo,y)使函数取得极值的点P.称为函数的极值点
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ); , ( , ) ( , ), ( , ) ( , ). . 1 z f x y P x y P P x y f x y f x y f x y P f x y P P f x y f x y f x y P f x y P = 极大值 设函数 在点 的某邻域内 有定义，如果该邻域内任何异于 的点 都 定 有 则称 在 处有 如果该邻域内任何异于 的点 都有 则称 在 处有 使函数取 值 得极值的点 称 极 为函数的 小 极值点 义 一 、多元函数的极值
例1 函数z(x,)=x2+ 2在点(0,0)处有极小值X
2 2 例1 函数z x y x y ( , ) (0,0) = + 在点 处有极小值
例2 函数z(x,)= /1-x2 - y2在点（0,0)处有极大值
2 2 例2 函数z x y x y ( , ) 1 (0,0) = − − 在点 处有极大值
定理1（极值存在的必要条件）设函数z= f(x,y)在点(x,J)有偏导数,且在点(x，J)处有极值，则有f.(xo,Jo) = f,(xo,yo) = 0.驻点 使f(xo,yo)=f,(xo,yo)=0的点称为函数z=f(x,J)的驻点
0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) 0. 1 ( ) x y z f x y x y x y f x y f x y = = = 设函数 在点 有偏导数 且 定 极值存在的必要条 在点 处有极值 则有 理 件 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) . x y f x y f x y z f x y = = = 驻点 使 的点称为函 的驻点 数
定理2（极值存在的充分条件）设函数z=f(x,y)在点(x,J)的某邻域内连续且有二阶连续偏导数，f(xo,yo)=0，f,(xo,yo）=0,令 frr(xo,yo)= A, fx(xo,Jo)= B, fm(xo,yo)=C,则f(x,J)在(xo，J)是否取得极值的条件如下：(1) AC-B2>0时有极值，且 A0时有极小值(2) AC -B2<0时没有极值(3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 ( , ) ( , ) , ( , ) 0, ( , ) 0, ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) (1) 0 , 0 , 0 . (2) 0 (3) 2 ( ) x y xx xy yy z f x y x y f x y f x y f x y A f x y B f x y C f x y x y AC B A A AC B AC B = = = = = = − − − 设函数 在点 的某邻域内连续且有 二阶连续偏导数 令 则 在 是否取得极值的条件如下： 时有极值 且 时有极大值 时有极小值 时没有极值. 定理 极值存在的充分条件 = 0 , 时可能有极值 也可能没有极值
例3 求函数f(x,y)=x3-3+6x2+3y2+9x的极值f (x, y)= 3x +12x+9 = 0,解解f,(x, y) = -3y2 +6y,得驻点 P(-1,0), P,(-1,2), P(-3,0), P(-3,2),A= fx =6x+12, B= f= 0, C = f = -6y+6,点BC结论AAC-B206极小值点6>036>0P(-1,0)-66>00非极值点-360P4(-3,2)函数的极大值为 f(-3,2)= 4，极小值为 f(-1,0)=-40
3 3 2 2 例3 求 函 数 f x y x y x y x ( , ) 6 9 = − + + + 3 的 极值. 2 2 1 2 3 4 ( , ) 3 12 9 0, ( , ) 3 6 , ( 1,0), ( 1, 2), ( 3,0), ( 3, 2), 6 12, 0, 6 6, xy xx xy yy f x y x x f x y y y P P P P A f x B f C f y = + + = = − + − − − − = = + = = = = − + 解 解得 驻 点 点 A B C AC － B 2 结论 P 1 ( -1,0) 6>0 0 6 36>0 极小值点 P 2 ( -1,2) 6>0 0 - 6 -360 极大值点 函数的极大值为 f f ( 3, 2) 4, ( 1,0) 4 − = − = − 极小值为
多元函数的最值求函数最值的步骤（1）求出函数所有驻点和偏导数不存在的点的函数值（2）求出函数在边界上的最大值和最小值（1）比较得出问题的最大值和最小值
二、多元函数的最值 (1) , (2) , (1) 求出函数所有驻点和偏导数不存在的点的函数值 求出函数在边界上的最大值和最小值 比较得出问题的最大值和最小值. 求函数最值的步骤：
例4在xOy面上求一点，使得该点到两坐标轴及直线3x+4v=50的距离平方和最小解设所求点为（x，J)，则目标函数f(x,y) = x° + y? + (3x+ 4y - 50)2/3° + 426(3x + 4y - 50)-0f(x,y)= 2x+25解8(3x + 4y - 50)0f,(x,y)=2y+25得唯一驻点x= 3,y = 4,根据问题的实际意义，所求最小值一定存在，故所求点为(3,4)
, 3 4 =50 4 xOy x y + 在 面上求一点 使得该点到两坐标轴及直 线 的距离平方和最小. 例 2 2 2 2 2 ( , ), (3 4 50) ( , ) , 3 4 6(3 4 50) ( , ) 2 0, 25 8(3 4 50) ( , ) 2 0 25 3, 4, , , , x y x y x y f x y x y x y f x y x x y f x y y x y + − = + + + + − = + = + − = + = = = 设所求点为 则目标函数 解 得唯一驻点 根据问题的实际意义 所求最小值一定存在 故 所求点为(3 4). 解
三、条件极值1.转化为无条件极值例5衣在附加条件x-y=1下,求函数z=x2+ y2的极值解 将x-=1代入z=x2+ y2得z=2x2-2x+1,解2(x)= 4x-2得x=2,由z()=4>0知函数在附加条件x-y=1下有极小值l.- = l-6-) =-2,无极大值
三、条件极值 1. 转化为无条件极值 2 2 例5 在附加条件 x y z x y − = + = , 1下 求函数 的极值. 2 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 1 2 2 1, 1 ( ) 4 2 , 2 1 ( ) 4 0 =1 2 1 , 2 . x x y x y z x y z x x z x x x z x y z z = = − − = = + = − + = − = = − = = 解 将 代入 得 解 得 由 知函数在附加条件 下有极小值 无极大值