第六节承数的连续性与间断点人和命运的关系就像象 f(x)=x与 f(x)=x的关系． 一开始,你以为命运是你的无穷小量随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐.这时候，若不是以一种卑微的姿态走下去便是结束自己的生命
第六节 函数的连续性与间断点 2 ( ) ( ) . , . , , , . 人和命运的关系就像 f x x f x x = = 与 的关系 一开始 你以为命运是你的无穷小量 随着年龄的增长 你才发现你用尽全力也赶不 上命运的步伐. 这时候 若不是以一种卑微的 姿态走下去 便是结束自己的生命
连续函数的概念自变量 x 在 x,处取得增量 △x = x- x,时,函数 y=f(x)对应的增量为Ay = f(x, + Ax)- f(x,).定义6.1如果 lim Ay=0, 则称 f(x)在x,连续Ar-→0定义6.1如果 lim f(x)= f(x), 则称 f(x)在x→xoX.连续
0 0 0 0 Δ , ( ) Δy ( Δ ) ( ). x x x x x y f x f x x f x = − = = + − 自变量 在 处取得增量 时 函数 对应的增量为 连续函数的概念 0 0 6.1 lim 0, ( ) . x y f x x → 定义 如果 = 则称 在 连续 0 0 0 6.1' lim ( ) ( ), ( ) . x x f x f x f x x → 定 如果 = 则称 在 连续 义
函数的左连续与右连续定义6.2如果 lim f(x)= f(x),则称 f(x)在xoxx左连续定义6.3如果 lim f(x)=f(x,),则称 f(x)在x,右连续定理6.1函数 f(x)在 x，连续的充要条件是 f(x)在x，既左连续又右连续
函数的左连续与右连续 0 0 6 2 lim ( ) ( ), ( ) . . x x f x f x f x x → − 定 如果 = 则称 在 左连续 义 0 0 6 3 lim ( ) ( ), ( ) . . x x f x f x f x x → + 定 如果 = 则称 在 右连续 义 0 0 6.1 ( ) ( ) . f x x f x x 函数 在 连续的充要条件是 在 既左连 定 续又右连续 理
例1 讨论 (x)=[x-1, -2<x<0,0≤x≤3x+1,在x=0 处的连续性解 ： f(0)=1,lim f(x)= lim(x -1)=-1,x-0x-→0lim f(x)± f(O),x-0:. f(x)在x=0 处不连续
1, 2 1 0, ( ) 1, 0 3 0 . x x f x x x x − − = + = 例 讨论 在 处的连续性 解 f (0) 1, = 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1, x x f x x → → − − = − = − 0 lim ( ) (0), x f x f → − = f x x ( ) 0 . 在 处不连续
定义6.4如果 f(x)在区间I内的每一点都连续则称f(x）在区间I连续注如果 f(x)在[a,b]连续是指 f(x)在(a,b)内每一点都连续，在a点左连续，在b点右连续
( ) ( 6.4 ) f x I f x I 如果 在区间 内的每一点都连续 则称 在 定 区间 义 连续. ( ) [ , ] ( ) ( , ) , , . f x a b f x a b a b 如果 在 连续是指 在 内每一点都连续 在 点左连续 在 点 右连续 注
例2 f(x)= sinx 在(-0,+oo) 连续xs,x>0.例3 α为何值时 f(x)=x≤0x+a,在x=0连续解：f(x)在x=0连续f(0)=a,lim f(x) = lim x3 = 0,x-→>0+x-→0+.:. a =0
3 0 0 lim ( ) lim 0, x x f x x → → + + = = f a (0) , = = a 0. 3 , 0, ( , 0 0 . 3 ) x x a f x x a x x = + = 为 在 例 何值时 连续 解 f x x ( ) 0 , 在 = 连续 例2 f x x ( ) sin ( , ) . = − + 在 连续
函数的间断点定义6.4如果f(x)满足下列三个条件之一：(1)在x=x,没有定义，(2) 在 x = x.有定义，但 lim f(x)不存在x-→xo(3) lim f(x)± f(xo),x→x则称 f(x)在x，不连续，x称为 f(x)的不连续点或间断点
函数的间断点 0 0 0 0 0 0 0 ( ) (1) , (2) , lim ( ) , (3) lim ( ) ( ), ( ) . ) 4 , 6 ( . x x x x f x x x x x f x f x f x f x x x f x → → = = 如果 满足下列三个条件之一： 在 没有定义 在 有定义 但 不存在 则称 在 不连续 称为 的不连续点 或 定 间断点 义
-例4 f(x)=在x=1处x-1lim f(x)=lim f(x),x-1tx-1x=1称为 f(x)的可去间断点
1 1 lim ( )= lim ( ), 1 ( ) x x f x f x x f x → → − + = 称为 的可去间断点. 2 1 4 ( ) 1 . 1 x f x x x − = = − 例 在 处
x-1,x0.lim f(x) + lim f(x),x-1+x=1称为f(x)的跳跃间断点
1 1 lim ( ) lim ( ), 1 ( ) x x f x f x x f x → → − + = 称为 的跳跃间断点. 1, 5 0, ( ) 0, 0, 1, 0. x x f x x x x − = = + 例
例6 f(x)= tanx.f(x)在x→元时左右极限都不存在2例7 f(x)=exlim f(x) = 0,x-→0f(x)在 x→0+时极限不存在
( ) 2 f x x 在 → 时左右极限都不存在. 例6 f x x ( ) t = an . 0 lim ( ) 0, ( ) 0 x f x f x x → − + = 在 → 时极限不存在. 1 7 ( ) . x 例 f x e =