第五节函数展开成幂级数
第五节 函数展开成幂级数
一、 泰勒级数如果函数f(x)在x.的某邻域内具有直到n+1阶导数，贝则在此邻域内有f"(x)f(x)= f(x)+ f'(x)(x-x,)+(x - x,)2!f("(x)(x-x)" + R,(x),十n!c(n+1) ()(x-x,)n+1称为f(x）泰勒公式，其中R,(x)=(n + 1)!(在x和x.之间）称为拉格朗日余项
一 、泰勒级数 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( 1) 1 0 0 ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ( ), ! ( ) ( ) , ( )= ( ) , ( 1)! ( ) . n n n n n n f x x n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n f f x R x x x n x x + + + = + − + − + + − + − + 如果函数 在 的某邻域内具有直到 阶 导数 则 泰 在此邻域内有 称为 其中 在 和 之间 称为拉格 勒公 朗日余项 式
x.=0 时的泰勒公式变为f"(0)f(x) = f(0)+ f'(0)x +2!f(n)(0)x" + R,(x),+.+n!c(n+1)().n+1称为麦克劳林公式，其中 R,(x)=(n + 1)!（在0和x之间）
0 2 ( ) ( 1) 1 = 0 (0) ( ) (0) (0) 2 ! (0) ( ), ! ( ) , ( )= , ( 1)! ( 0 ). n n n n n n x f f x f f x x f x R x n f R x x n x + + = + + + + + + 时的泰勒公式变为 称为 其中 在 麦克劳林公 和 之间 式
如果函数f(x)在x.的某邻域内具有任意阶导数则称f"(x)f(x)+ f(x)(x-x,)+)(x-x) +..2!f"(x)(x -x,)" +..Xn!为f(x)泰勒级数f(x)在x,=0时的泰勒级数F(0)+ F(0)x + I"(0)'(0) x" +..2!n!称为f(x）的麦克劳林级数
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) , ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ! ( ) . n n f x x f x f x f x x x x x f x x x n f x + − + − + + − + 如果函数 在 的某邻域内具有任意阶导数 则 为 泰勒级数 称 0 ( ) 2 ( ) =0 (0) (0) (0) (0) 2 ! ! ( ) . n n f x x f f f f x x x n f x + + + + + 在 时的泰勒级数 称为 的麦克劳林级数
定理5.1设函数f(x)在x.的某邻域内有各阶导数则在该邻域内f(x)的泰勒级数收敛到f(x)，即f"(x)(x-xo)f(x) = f(x,)+ f'(x,)(x -x,) +2!f("(x)(x-x,)" +..n!的充要条件是 lim R,(x)=0，x EU(x,)n-80在满足定理5.1的条件下，称f(x)在U(x.）能展成幂级数，展成的幂级数是唯一的
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ! l 5 im ( ) 0, ( 1 ). . n n n n f x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x x x n R x x U x → = + − + − + + − + = 设函数 在 的某邻域内有各阶导数 则在该邻域内 的泰勒级数收敛到 即 的充要条 是 定 件 理 0 5.1 ( ( , , 称 f x U x ) ) 在 能展成 幂级数 展成的 在满足定理 幂级数是 的条件下 唯一的
、函数展开成幂级数1.直接展开的步骤(1)求f (0), f'(O), f"(0), ..., f(n)(0)(1)写出幂级数f"(0)(0n+:f(x)=f(0) + f'(0)x +2!n!并求出收敛半径R；
二、函数展开成幂级数 ( ) ( ) 2 (1) (0), (0), (0), , (0); (1) (0) (0) ( )= (0) (0) 2 ! 1 ! ; . n n n f f f f f f f x f f x x x n R + + + + + 求 写出幂级数 并求出收敛 直接展开的步骤 半径
例1 将f(x)=e展成x的幂级数解 ("(x)=e*, f(m)(0)=1, n=0,1,2,..f(x)的幂级数+++++f(x)=e* =1+x+F:1 / n!anR = lim= lim:8一n-→1 / (n +1)!n-→ aln+1我++…+#+.: f(x)=e* =1+x+x E (-00, +00)
1 ( ) . x 例 将 f x e x = 展成 的幂级数 ( ) ( ) 2 3 1 2 3 ( ) , (0) 1, 0,1,2, , ( ) ( ) 1 , 2! 3! ! 1 / ! lim lim , 1 / ( 1)! ( ) 1 , 2! 3! ! ( , ). n x n n x n n n n n x f x e f n f x x x x f x e x n a n R a n x x x f x e x n x → → + = = = = = + + + + + + = = = + = = + + + + + + − + 解 的幂级数
例2 将f(x)=sinx展成x的幂级数4), 0 ,.,解 f(n)(x)= sin(x +f(2k)(0) =1, f(4k+)(0)=1, f(4k+3) (0)= -1,k = 0,1,2,...,f(x)的幂级数2n+1f(x)=sinx = x -+(-1)3!5!(2n +1)!收敛半径 R = +80，收敛域为(-80,+)
例2 将 f x x x ( ) sin . = 展成 的幂级数 ( ) (2 ) (4 1) (4 3) 3 5 2 1 ( ) sin( ), 0,1,2, , 2 (0) 1, (0) 1, (0) 1, 0,1,2, , ( ) ( ) sin ( 1) , 3! 5! (2 1)! , ( , ). n k k k n n n f x x n f f f k f x x x x f x x x n R + + + = + = = = = − = = = − + − + − + + = + − + 的幂级数 收敛半径 收敛 为 解 域
常见的直接展开的幂级数hcosx =1-:4--..+(-1)+.", x E(-00,+00);(2n)! +217tn+1txIn(1+ x)= x - :.-.. +(-1)"..", x e(-1,1l:23n+1m(m-1)(1+x)" =1+ mx+2!m(m-1)..(m-n-l)xx" +..., x e(-1,1)n!
2 4 2 2 3 1 2 cos 1 ( 1) , ( , ); ln(1 2! 4! (2 )! ( 1) , ( 1,1]; 2 3 1 ( 1) 1 2 ! ( 1) ) ( ( 1 1) , ( 1,1). ! ) m n n n n n x x x x x x n x x x n m m mx x m m m n x x n x + = − + − + − + − + = − + − + − + − + − = + + + − − − + + − + + 常见的直接展开的幂级数
2.间接展开法例2 将 f(x)= sinx展成x一元/ 4的幂级数解 sinx=sinl+(x-)--+mx-V21--) (x-) -.(-1) -)*.22!4!(2n)!-.+(-1 -).m(x-)-(x-) + (x-)3!5!(2n+1)!1+(x-3)-(x-)-(x-2)+(x-3) + (x-)2!3!4!5!收敛半径 R= +o0，收敛域为(-80,+)
2.间接展开法 例2 将 f x x x ( ) sin . = − 展成 / 4的幂级数 2 4 2 3 5 2 1 2 3 sin sin[ ( )] 4 4 2 2 cos( ) sin( ) 2 2 4 4 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 4 4 4 2 2! 4! (2 )! 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 4 4 4 2 4 3! 5! (2 1)! 2 ( ) ( ) ( 1 ( ) 4 4 4 2 4 2! 3! n n n n x x x x x x x n x x x x n x x x x + = + − = − + − − − − = − + − + − + − − − + − − + − + − + + − − − = + − − − + 解 4 5 ) ( ) 4 , 4! 5! , ( , ). x R − + − 收敛半径 = + − + 收敛域为