第三节泰勒中值定理
第三节 泰勒中值定理
如果函数f(x）在含有x，的某泰勒中值定理，则开区间（a,b)内具有直到 n +1 阶的导数,对任一x E(a,b), 有f"(xo)-x,)?+..f(x) = f(x,)+ f'(x,)(x -x,)+2!(x.)(x- x,)" + R, (x).n!()其中, R,(x)=(x-x,)n+1(n + 1)!是x，与x之间的某个值
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( 1) 1 0 0 ( ) ( , ) 1 , ( , ), ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ( ). ! ( ) , ( ) ( ) , ( 1)! . n n n n n n f x x a b n x a b f x f x f x f x x x x x f x x x R x n f R x x x n x x + + + = + − + − + + − + = − + 在含有 的某 开区间 内具有直到 阶的导数 则 对任一 泰勒中值定 有 其中 是 与 之间的 理 如果 数 某个值 函
泰勒公式函数f(x)在x的n 阶泰勒公式I(x)- (x,)+ I'(x,)x-x,)+(c(x-x,) +..2!f(n)(x))(x -x,)" + R,(x).n!带有拉格朗日余项的泰勒公式f(n+I) ()-(x-x)"+1R,(x)=(n + 1)!带有佩亚诺余项的泰勒公式R,(x)=o(x-x,)
0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( )( ) ( ). ! n n n f x x n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n = + − + − + + − + 泰勒公式 函数 在 的 阶泰勒公式 ( 1) 1 0 ( ) ( )= ( ) . ( 1)! n n n f R x x x n + + − + 带有拉格朗日余项的泰勒公式 0 ( )= ( ) . n R x x x n − 带有佩亚诺余项的泰勒公式
麦克劳林公式函数f(x）在x.=0 时的泰勒公式f(n) (0)(x) = (0) + F(0)x + I"(0)2 +....x" + R,(x).2!n!带有拉格朗日余项的麦克劳林公式R, (x)= f(n+)(0x)xn+1,0 e(0,1)(n +1)!
0 ( ) 2 ( ) =0 (0) (0) ( ) (0) (0) ( ). 2! ! n n n f x x f f f x f f x x x R x n = + + + + + 麦克劳林公式 函数 在 时的泰勒公式 ( 1) 1 ( ) ( )= , (0,1). ( 1)! n n n f x R x x n + + + 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
几个初等函数的麦克劳林公式例1函数 f(x)=e的带有拉格朗日余项的麦克劳林公式0x.n+1ex =1+x+0<0<121(n+1)!
几个初等函数的麦克劳林公式 1 ( ) x 函数 f x e = 的带有拉格朗日余项的 麦 例 克劳林公式. 1 1 2 1 1 , 0 1. 2! ! ( 1)! x x n n e e x x x x n n + = + + + + + +
几个初等函数的麦克劳林公式例2 函数 f(x)=sinx 的麦克劳林公式+...+ (-1)*-1x2k-1 + R2k (x2k)sinx =x -(2k -1)!31R2k(x2k)= 0 (x2k)佩亚诺余项拉格朗日余项一sin[0x +(2k +1)2k+1R2k(x2k)=(2k +1)!(0 <0 <1)
几个初等函数的麦克劳林公式 例2 函数 f x x ( ) si = n 的麦克劳林公式 1 3 2 1 2 2 1 ( 1) sin ( ). 3! (2 1)! k k k k x x x x R x k − − − = − + + + − 2 2 2 ( ) ( ). k k 佩亚诺余项 R x = x k 2 2 1 2 sin[ (2 1) ] 2 ( ) , (2 1)! (0 1). k k k x k R x = x k + + + + 拉格朗日余项
几个初等函数的麦克劳林公式例3 函数f(x)=cosx 的麦克劳林公式x2k + R2 (x2k)cosx =1-(2k)!R2k(x2k)=0 (x2k)佩亚诺余项拉格朗日余项R2s (x2*)- cos[0x+(k+1)]_2k+2(2k + 2)!(0<0<1)
几个初等函数的麦克劳林公式 例3 函数 f x x ( ) co = s 的麦克劳林公式 2 4 2 2 2 1 1 ( 1) cos 1 ( ). 2! 4! (2 )! k k k k x x x x R x k − = − + − + + 2 2 2 ( ) ( ). k k 佩亚诺余项 R x = x k 2 2 2 2 cos[ ( 1) ] ( ) , (2 2)! (0 1). k k k x k R x = x k + + + + 拉格朗日余项
利用泰勒公式求极限cosx-e例4求极限lim店xx-→0解cosx=1o(x2!(-号)(-)(一-)
利用泰勒公式求极限 2 2 4 0 cos 4 lim . x x x e → x − 例 求极限 1 1 2 4 4 cos =1 ( ), 2! 4! 解 x x x x − + + 2 2 2 2 2 2 2 1 =1 , 2 2! 2 2 x x x x e − + − + − + −
cosx-Ulimx-→02!lim=x-→012= lim12x-→0
2 2 4 0 2 4 2 4 4 4 4 0 4 4 4 0 cos lim 1 ( ) 1 ( ) 2! 4! 2 8 lim ( ) 1 12 lim . 12 x x x x x e x x x x x x x x x x x → → → − − + + − − + + = − + = = −