第五节渐近线曲线的凹凸性及函数图形的描绘
第五节 曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
曲线的凹凸性与拐点一、函数的凹凸性（一)设曲线 y= f(x)在(a,b)内满足店(1) 对任何 x,y (a,b), (+)≤f(x)+ f(x)22则称曲线在（a,b)内是凹的（下凸的）：(2) 对任何 x,yE(a,b), f( +)≥ f(x)+ f(x,)22则称曲线在（a,b)内是凸的（下凹的）：
一、曲线的凹凸性与拐点 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) , ( , ), ( ) , 2 2 ( , ) ; ( ) ( ) , ( , ), ( ) , 2 2 ( , ) y f x a b x x f x f x x y a b f a b x x f x f x x y a b f a b = + + + + 设曲线 在 内满足: (1) 对任何 则称曲线 函数的凹凸 在 内是 (2) 对任何 则称曲 性(一) 凹的 线在 内是 （下凸的） 凸的（下凹的）
曲线的凹凸性与拐点一曲线的凹凸性（二）设曲线 y= f(x)在(a,b)内各点都有切线如果曲线上每一点的切线都在曲线的下方，则称曲线在（α,b)内是凹的（下凸的），如果曲线上每一点的切线都在曲线的上方，则称曲线在（α,b)内是凸的（下凹的）连续曲线上凹凸区间的分界点称为拐点
一、曲线的凹凸性与拐点 ( ) ( , ) , , ( , ) , , ( , ) y f x a b a b a b 设曲线 = 在 内 各点都有切线 如果曲线上每一点的切线都在 曲线的下方 则称曲线在 内是 如果曲线上每一点的切线都在曲线的上方 则称曲 曲线的凹凸性(二) 凹的 线在 内是 （下凸 的） 凸的（下凹的）. 连续曲线上凹凸区间的分界点称为拐点
函数凹凸性的判别法定理（函数凹凸性判别法(1) 若在(a,b)内 f"(x)>0.则 f(x)在(a,b)上是凹的（下凸的）：(2) 若在(a,b)内 f"(x)< 0,则f(x)在(a,b)上是凸的（下凹的）
函数凹凸性的判别法 (1) ( , ) ( ) 0, ( ) ( , ) ; (2) ( , ) ( ) 0, ( ) ( , ) . a b f x f x a b a b f x f x a b 定理(函数凹凸性判别法) 凹的（ 若在 内 则 在 上是 若在 内 则 在 上是 下凸的） 凸的（下凹的）
例求函数y=x2凹凸区间及拐点解 y'= 3x2, y" = 6x,解y"=0得x=0,当x E(-0,0)时 y"0, 函数是凹的(0,0）是函数的拐点
3 例1 求函数 y x = 凹凸区间及拐点. 2 解 y x y x = = 3 , 6 , 解 y x = = 0 0, 得 当 x y − ( ,0) 0, ; 时 函数是凸的 当 x y + (0, ) 0, 时 函数是凹的. (0,0) 是函数的拐点
例2求函数y=/x凹区间及拐点y=lxi,Jy"=-解当x E(0,0)时 ">0,函数是凸的当 xE(0,+oo)时 y"<0,函数是凹的(0,0）是函数的拐点
3 例2 求函数 y x = 凹凸区间及拐点. 2 5 3 3 1 2 , , 3 9 y x y x − − 解 = = − 当 x y − ( ,0) 0, ; 时 函数是凸的 当 x y + (0, ) 0, 时 函数是凹的. (0,0) 是函数的拐点
二、 日曲线的渐近线1.水平渐近线若lim f(x)=c,则称y=c为x8y=f(x)的水平渐近线若 lim f(x)= o,则称 x= x,为2.垂直渐近线x-→xoy=f(x)的垂直渐近线
二、曲线的渐近线 lim ( ) , ( ) x f x c y c y f x → = = = 若 则称 为 的 1. 水平渐近线 水平渐近线. 0 0 lim ( ) , ( ) x x f x x x y f x → = = = 2. 垂直渐 若 则称 为 的 近线 垂直渐近线
x例3求函数的水平渐近线和V:(1-x)(1 + x)垂直渐近线x解lim= 0.x→ (1- x)(1 + x)y=0是函数的水平渐近线；x: lim=8,x→1 (1-x)(1 + x)xlim18,x→-1 (1- x)(1+ x)：x =1和x=-1是函数的垂直渐近线
(1 )(1 ) . 3 x y x x = − + 求函数 的水平渐近线和 垂直渐近线 例 lim 0, (1 )(1 ) x x → x x = − + 解 = y 0 ; 是函数的水平渐近线 1 1 lim , (1 )(1 ) lim , (1 )(1 ) x x x x x x x x → → − = − + = − + = = − x x 1 1 . 和 是函数的垂直渐近线
三、 E函数图形的描绘奇偶性、周期性；1.考察函数的定义域、2.求导数，确定单调区间及极值：3.求一阶导数，确定凹凸区间及拐点：4.考察函数的渐近线：5.考虑特殊点（不可导点、与坐标轴交点等）：6.画图
三、函数图形的描绘 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. . 考察函数的定义域、奇偶性、周期性 求导数，确定单调区间及极值 求二阶导数，确定凹凸区间及拐点 考察函数的渐近线 考虑特殊点（不可导点、与坐标轴交点等） 画图
例4画出函数y=x2-x2-x+1的图形解（1)定义域（-80,+o)，无奇偶性和周期性(2)解 y'=3x2 -2x-1=0 得 x; =-3, x, =1;(3)解y"=6x-2 =0得x=3(4) 列表(-8,--3335,1)(1, +)00十X++增,凸增,凸拐点减,凹增,凹极大值极小值L
3 2 例4 画出函数 y x x x = − − + 1 . 的图形 解 (1) ( , ), ; 定义域 − + 无奇偶性和周期性 2 1 2 1 (2) 3 2 1 0 , 1; 3 解 y x x x x = − − = = − = 得 1 (3) 6 2 0 ; 3 解 y x x = − = = 得 (4) 列表 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( ,1) 1 (1, ) 3 3 3 3 3 3 0 0 0 , , , , x y y y − − − − + + − − − + − − − + + + 增 凸 极大值 增 凸 拐点 减 凹 极小值 增 凹