第四节三重积分
第四节 三重积分
Z(C1(Si,ni,S)1
i ( , , ) i i i
一、 三重积分的概念定义设三元函数u=f(x,,z)在空间Oxyz中的一个有界闭区域Q上有界(I)将任意分割成n个小区域:△2,A2,…,A2,，其中第i个小区域的体积为△y(2)在每个△2,上任取一点(5,,n;5)nLf(5,ni,5.)Av,.(3)做和i-1和式的(4)如果当个小闭区域直径的最大值一→0时，极限总存在，则称f(x,y,z)在区域Q上可积，并称该极限值为函数u=f(x,y,z)在区域Q上的三重积分，记作Jl (x, ,z)dv
一 、三重积分的概念 1 2 1 ( , , ) . (1) : , , , , . (2) ( , , ). (3) ( , , ) . (4) 0 , , ( , , ) , ( , , n i i i i i n i i i i i u f x y z Oxyz n i v f v f x y z u f x y = = → = 设三元函数 在空间 中的一个有界 闭区域 上有界 将 任意分割成 个小区域 其 中第 个小区域的体积为 在每个 上任取一点 做和 如果当个小闭区域直径的最大值 时 和式的 极限总存在 则称 在区域 上可积 并称 该极限值为函数 定义 ) , ( , , ) . z f x y z dv 在区域 上的三重积 分 记作
积分变量积分区域Zf(5,ni,5i)Av,m@0@-lim2->0i=12体积元素被积函数积分和式
被积函数 体积元素 积分区域 积分和式 积分变量 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dv f v → = =
三重积分存在的条件及其性质与一重积分类似必要条件：函数在有界闭区域上有界充分条件：函数在有界闭区域上连续
三重积分存在的条件及其性质与二重积分类似 必要条件: 函数在有界闭区域上有界; 充分条件: 函数在有界闭区域上连续
一、 三重积分的计算法1.直角坐标系下三重积分化为累次积分定理1设Q在平面xOy上的投影为D，若Q可表示为2=(x, y,z)zi(x, y)≤z≤zz(x,y),(x,y)e D)其中z,(x,J),zz(x,J)都是D上的连续函数. 则2(x,y)JJ f(x, y,z)dxdydz =dxdyf (x, y,z)dzzi(x.)2即三重积分可化为：先计算一个定积分，再计算一个一重积分
一 、三重积分的计算法 1. 直角坐标系下三重积分化为累次积分 2 1 1 2 1 ( , ) , 2 ( ) , {( , , ) ( , ) ( , ),( , ) }, ( , ), ( , ) . 1 ( , , ) ( , , ) . z x y z x y D f x y z dxdydz dxdy f x y z dz xOy D x y z z x y z z x y x y D z x y z x y D = = 设 在平面 上的投影为 若 可表示为 其中 都是 上的连 定理 续函数 则 即三重积分 先计算一个定积分，再计算一个 二 可化为: 重积分
Z=Z2(x,)2Z-z1(x,y)0VD
D
若区域D可表示为D=((x, y)a≤x≤b, y(x)≤y≤y2(x))则z=z2(x,)Z叮f(x,y,z)dxdydz2Z=zi(xy)32(x,y)- [[ dxdy]f(x,y,z)dzO2zi(x,y)JaDZ2(x,y)b' dxm(, dy"f(x, y,z)dz.y=yi(x)y=V2(x)X
D 2 1 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) {( , ) , ( ) ( )}, ( , , ) ( , , ) ( , , ) . z x y z x y D b y x z x y a y x z x y D D x y a x b y x y y x f x y z dxdydz dxdy f x y z dz dx dy f x y z dz = = = 若区域 可表示为 则
2=((x,y,z) /a≤x≤b, y(x)≤y≤y2(x),zi(x,y)≤z≤z,(x,y)JJ f(x,y,z)dxdydzZ=Z2(X,)2232(x,y)[ dxdy]f(x, y,z)dz2Z-z1(x.y)i(xy2(x,y)012-[' dx[m dy]f(x,y,z)dz.yax(x.yDby=yi(x)y=2(x)Vx同理，可得把Q向其他坐标面投影的累次积分
D 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) {( , , ) , ( ) ( ), ( , ) ( , ) }, ( , , ) ( , , ) ( , , ) . z x y z x y D b y x z x y a y x z x y x y z a x b y x y y x z x y z z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz dx dy f x y z dz = = = 同理, 可得把向其他坐标面投影的累次积分
例1计算三重积分zdxdydz，其中2由平面x =1，Qy=0,=1,z=0及z=x围成解xyzdv=J,dxf,dyJ, xyzdzX12O-'a'tylyVDxyT-dxx'dx
, 1, 0, 1, 0 1 zdxdydz x y y z z x = = = = = 计算三重积分 其中 由平面 及 例 围成. 1 1 0 0 0 1 1 3 0 0 1 3 0 1 2 1 4 1 . 16 x xyzdv dx dy xyzdz dx x ydy x dx = = = = 解 y x z z x = 1 O D xy 1