第九章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质
第九章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念与性质
常数项级数的概念定义1.1设数列uj,u,,…,u,,…，将各项一次相加所得到的表达式u, +u, +...+u, +..80Zun,即简称常数级数，记作称为常数项级数，n=18u,-u, + u, +...+u, +...n=1其中，第n项u称为级数的一般项,或者通项拉
一 、常数项级数的概念 1 2 1 1 2 1 , , , = , n n n n n n u u u u u u u u = = + + + + + + + + 所得到的表达式 称为常数项级数 简称常数级数 记作 即 1 2 1.1 , , , , , 定义 设数列u u un 将各项一次相加 , , . 其中 第n u 项 n 称为级数的一般项 或者通项
级数的前n项和S,=u,=u, +u,+..+u,称为级数1简称部分和的前n项部分和，-若部分和数列S！有极限，即存在S，使得S=limSn-28记作u,=S，若则称级数收敛，称S为级数的和，n=1则称级数发散lim S,不存在,An-当级数收敛时，S-S,=un+1+un+2 +…·称为级数的余项，记作r.显然limr,=0.n0
1 2 1 = , n n i n i n S u u u u n = 级数的前 项和 = + + + 称为级数 的前 项部分和 简称部分和. 1 { } , , =lim , , , = , lim , n n n n n n n S S S S S u S S → = → 若部分和数列 有极限 即存在 使得 则称级数收敛 称 为级数的和 记作 若 不存在 则称级数发散. 1 2 , , . lim 0 n n n n n n S S u u r r + + → − = + + = 当级数收敛时 称为级数的余 项 记作 显然
例1判定级数+·的敛散性1.22.3n(n + 1)解 S,=一+32.3n(n+ 1)-(-(()=n+1.. lim S. = 1,n-0012+23+级数+….收敛Rn(n + 1)
1 1 1 1 2 3 ) 1 2 ( 1 n n + + + + + 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 , 1 Sn n n n n n = + + + + = − + − + + − + = − + 解 lim 1, 1 1 1 . 1 2 2 3 ( 1) n n S n n → = + + + + + 级数 收敛
80例2 判定级数n=1+2+...＋n＋·.·的敛散性n=1解lim S. = lim(1+ 2+... + n)n→80n-→8n(n + 1)= lim2n-→80=8,8W.级数n=1+2+..+n+...发散
1 2 1 2 n n n = 例 判定级数 = + + + + 的敛散性. lim lim(1 2 ) ( 1) lim 2 , n n n n S n n n → → → = + + + + = = 解 1 1 2 . n n n = 级数 = + + + + 发散
例3讨论等比（几何）级数2aq"-l = a + aq + aq2 +...+ aq"- +..的敛散性.n=1解(1)如果=l,则s,= na→o,级数发散机福(2)如果q=-1, 则 s, =[1 +(-1)"-"Ja, 级数发散;(3) 当1 +±1时, s, = a(1-"),1-q当q|>1时,lim S,不存在,级数发散；当q<1时, lim S, =级数收敛，其和为1-q1-q0
1 2 1 1 3 n n n aq a aq aq aq − − = = + + + + + 讨论等比（几何）级数 的 例 敛散性. (1) 1, , ; n 解 如果q S na = = → 则 级数发散 1 1 (2) 1, [1 ( 1) ] , ; 2 n n q S a − 如果 = − = + − 则 级数发散 (1 ) (3) 1 , , 1 1 , lim , ; 1 , lim , , . 1 1 n n n x n x a q q S q q S a a q S q q → → − = − = − − 当 时 当 时 不存在 级数发散 当 时 级数收敛 其和为
8n+I例4 的敛散性判定级数福Innn=13n+解lim S. = lim(ln -+In--2n-8n-→8n= lim[(In 2 - In1) + (In 3 - In 2) + ..n→8+ (ln(n + 1) - In n))= limln(n +1)→ o0 (n → 80),n-→>08n+12发散级数Innn=1
1 4 n 1 l n n n = + 例 判定级数 的敛散性. 2 3 1 lim lim(ln ln ln ) 1 2 lim[(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) (ln( 1) ln )] limln( 1) ( ), n n n n n n S n n n n n → → → → + = + + + = − + − + + + − = + → → 解 1 1 ln . n n n = + 级数 发散
一收敛级数的性质88NZ性质1.u,收敛,如果级数且和为S，那么级数kun福n=1n=1也收敛，并且其和为ks.中88性质2.tun与都收敛，如果级数且和分别为S，α，V.2n=1n=18Z那么级数(un+vn)也收敛，并且其和为S+.n=1注意两个发散级数的和或差可能收敛也可能发散
二、收敛级数的性质 1 1 1. , , , . n n n n u S ku kS = = 如果级数 收敛 且和为 那么级数 也收敛 并且其和为 性质 1 1 1 . , , , ( ) 2 , . n n n n n n n u v S u v S = = = + + 如果级数 与 都收敛 且和分别为 那么级数 也收敛 并且其和为 性质 注意 两个发散级数的和或差可能收敛也可能发散
性质3.去掉、不改变级数添加或改变级数的有限项的收敛性性质4.若级数收敛，则对它任意添加括号后得到的新级数仍收敛，且和不变推论若加括号后所成级数发散则原来的级数发散8Eiun收敛性质5（级数收敛的必要条件）如果级数n=1则 lim un = 0.n>80
, . 性 3. 去掉、添加或改变级数的有限项 不改变级数 的收敛性 质 推论 若加括号后所成级数发散, 则原来的级数发散. , , 4. 若级数收敛 则对它任意添加括号后得到的新 级数仍收敛 且 性质 和不变. 1 . , lim ) 0 5 ( . n n n n u u = → = 性质 级数收敛的必要条件 如果级数 收敛 则
8-发散例5证明调和级数n=i n-8将u,加括号成如下级数：证明n=1=1, v, =2,(m≥3),m2m-2 + 12m-2 + 22 m-1 +显然 v,>2(n = 1,2,.),. v,发散,n=2!发散一n
1 1 5 n n = 例 证明调和级数 发散. 1 1 2 2 2 1 : 1 1, , 2 1 1 1 ( 3), 2 1 2 2 2 1 n n m m m m u v v v m = − − − = = = + + + + + + 证明 将 加括号成如下级数 1 1 1 ( 1,2, ), 2 , 1 n n n n v n v n = = = 显然 发散 发散