第二节函数的求导法则有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧
第二节 函数的求导法则 有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果 是可以实现的，那么你只要投入有限的时间 和精力就一定可以实现。至于那些在你能力 范围之外的事情，就随他去吧
和、差、积、商的求导法则定理2.1(1) [u(x)±v(x))' =u'(x)±v'(x);(2) [u(x) v(x)l' = u'(x)v(x) +u(x)v(x);u'(x)v(x)-u(x)n(x)[]-(v(x) ±0),(3)(x)推论[ku(x)]l' = ku(x)
和、差、积、商的求导法则 定理 2.1 (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ); u x v x u x v x = (2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); u x v x u x v x u x v x = + u x u x v x u x v x v x v x v x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ( ) 0). ( ) ( ) − = 推论 [ ( )] ( ). ku x ku x =
例1 设 f(x)=x3 + /x + 3* -log3 x+ 33,求 f'(x).解 f'(x)=(x3 + /x +3* -log, x+33)=(x3) +(/x) +(3*) -(log, x) +(33)1= 3x* +=x 3 + 3* In3- —3xln3
x f x x x x f x 3 3 3 3 ( ) 3 log 3 , ( ) 1 . = + + − + 求 例 设 x x x x 3 3 3 3 = + + − + ( ) ( ) (3 ) (log ) (3 ) x x x x 2 2 3 1 1 3 3 ln 3 . 3 ln 3 − = + + − x f x x x x 3 3 3 3 解 ( ) ( 3 log 3 ) = + + − +
例2设y=xInx+2cosx,求y'解 y'=(x' Inx+2cosx)=(x" Inx)'+(2cosx)=(x3)'Inx + x'(Inx) + 2(cosx)=3x"Inx+x3.1-2sinxX= 3x?Inx + x? - 2sinx
y x x x y 3 例2 设 = + ln 2c , . os 求 y x x x 3 解 = + ( ln 2cos ) x x x 3 = + ( ln ) (2cos ) x x x x x 3 3 = + + ( ) ln (ln ) 2(cos ) x x x x x 2 3 1 = + − 3 ln 2sin x x x x 2 2 = + − 3 ln 2sin
例3 求 y=tanx的导数sinx解 y'=(tanx)'cosx(sinx)' cosx - sin x(cos x)cos2x1cos’ x + sin’x= sec- x.cos" xcos* x(cot x)'= -csc2 x.同理可得
x x x x x 2 (sin ) cos sin (cos ) , cos − = x x x 2 2 2 cos sin cos + = 同理可得 x x2 (cot ) = −csc . 例3 求 y x = tan . 的导数 x y x x sin (tan ) cos = = 解 x x 2 2 1 sec . cos = =
e例4 设y=求y'.1+x2'解 y'-(e')a+x")-e*(1+x"y(1+x)e*(1+x’)-e* .2x(1+x)e*(1-x)(1+x")
x e y y x 2 4 , . 1 = + 例 设 求 x x e x e x y x 2 2 2 2 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) + − + = + 解 x x e x e x x 2 2 2 (1 ) 2 (1 ) + − = + x e x x 2 2 2 (1 ) . (1 ) − = +
反函数的导数定理2.2若函数x=f(y）在某区间单调可导且 f(y)≠0，则它的反函数 y=f-(x)在对应区间内也可导，且有dy[']'-7)或dxdxdy即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数
反函数的导数 即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. x f y f y y f x 1 ( ) ( ) 0, ( 2 ) , .2 − = = 若函数 在某区间单调、 可导且 则它的反函数 在对应区间内也 定 可导 理 且有 dy f x f y dx dx dy 1 1 1 ( ) . ( ) − = = 或
例5求函数y=arcsinx的导数解由 (siny)= cos y,1得 (arcsinx)'=(sin y)cosy1-sin’ y同理可得F(arccosx)=
x y y 1 1 (arcsin ) (sin ) cos = = 得 y 2 1 1 sin = − x x 2 1 (arccos 1 ) = − . − 同理可得 例5 求函数 y x = arcsin 的导数. 解 由 (sin ) cos , y y = x 2 1 . 1 = −
复合函数的求导法则链式法则定理3y=f(u), u=g(x),=d[f(g(x) == f'(u)· g'(x)dxdudy_ dy或dxdxdu
复合函数的求导法则 定理3 y f u u g x dy f g x f u g x dx ( ), ( ) [ ( ( ))] ( ) ( ) = = = = ， ， dy dy du dx du dx 或 = . （链式法则）
例6买的导数求函数y=esinx白解令y=e"，u=sinx,则y'= dudu dx= e" .cosx= esinx cosx
x y esin 例6 求函数 = 的导数. u 解 令 y e u x = = , sin , u = e x cos x e x sin = cos . dy du y du dx 则 =