第三节一重积分的应用
第三节 二重积分的应用
将定积分中的微元法推广到重积分中(1)分割(2)近似(3)作和(4)求极限
(1)分割 (2)近似 (3)作和 (4)求极限 将定积分中的微元法推广到重积分中
曲面的面积一、E用微元法求曲面z= f(x,y)的面积 A:先求面积的微元dA.S: z= f(x,y)中平面面积S=Mcos曲面面积dA ~ ds福x2cosY =+ f'(x,y)+ f'(x,y)-曲面面积公式J /1+ f'(x,y)+ f(x, y)doA=
一 、曲面的面积 ( , ) : . z f x y A dA 用微元法求曲面 = 的面积 先求面积的微元 cos S 平面面积 = 曲面面积 dA dS2 2 1 cos 1 ( , ) ( , ) x y f x y f x y = + + 2 2 1 ( , ) ( , ) x y D A f x y f x y d = + + 曲面面积公式 o x y z S
例1求平面2x-2y+z=0被圆柱面x2+y2=4截下的有限部分的面积Z个解平面2x-2y+z=0被圆柱面截下的有限部分在xOv面的投影为 D:x2+y2≤4y所求面积xA = [J, /1+ z + z,dxy= J, V1 +(-2)° + 2° dxy=12元
2 2 2 2 0 4 . 1 求平面 x y z x y − + = + = 被圆柱面 截下的 有限部分的面积 例 2 2 2 2 0 : 4. x y z xOy D x y − + = + 平面 被圆柱面 截下的有限部分在 面的 投影为 解 2 2 2 2 1 1 ( 2) 2 12 . x y D D A z z dxy dxy = + + = + − + = 所求面积 x y z o
二、质心如果平面薄板密度函数p=p(x,y)V在区域D上连续，则其质心坐标为二p(x,y)J,xp(x,y)doDCJ],p(x,y)do1J= l,yp(x,y)doJ,p(x, y)do
二、质心 ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) . ( , ) D D D D x y D x x y d x x y d y x y d y x y d = = = 如果平面薄板密度函数 在区域 上连续 则其质心坐标为 ( , ) x y
例2买求面密度为u=1-x的三角形薄板：x≥0,y≥0,x＋y≤1,求它的质心y, dx f*x(1 - x)dyxu(x,y)do1解x=J,μ(x, )doJ,dxJ.(1- x)dyI'x(1-x)'dx1/121 x1/30J'(1-x)’dx_ J'dxJy(1 -x)dlyJ], yu(x,y)doV=J,μ(x, y)doJ"'dxf"(- x)ly[(1-x)’dx1/83J'(1-x)'dx"173=8
2 =1 0, 0, 1, x x y x y − + 求面密度为 的三角形薄板: 求 例 它的质心. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 0 ( , ) (1 ) ( , ) (1 ) (1 ) 1 / 12 1 . 1 / 3 4 (1 ) x D x D x x y d dx x x dy x x y d dx x dy x x dx x dx − − − = = − − = = = − 解 . y o 1 x 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 3 0 1 2 0 ( , ) (1 ) ( , ) (1 ) (1 ) 1 / 8 3 . 1 / 3 8 (1 ) x D x D y x y d dx y x dy y x y d dx x dy x dx x dx − − − = = − − = = = −