第四节定积分的概念与性质
第四节 定积分的概念与性质
问题1.曲边梯形的面积S=？分割:a=x<x,<.….<x,=bAx, = x, - Xo, ...,Ax, = x, - xn-1计算小曲边梯形的面积SV上y=f(x)axxxxx-bx
x y O y f x = ( ) a b A B 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x S 0 2 n 分割：a x x x b = = 1 1 0 1 , , n n n x x x x x x 令 = − = − − 问题1. ? 曲边梯形的面积 S = 计算小曲边梯形的面积 Si
问题1.曲边梯形的面积S=？分割: a=x<x,<.….<x,=bAr, = x, - Xo,...,Ax, = x, - xn-1计算小曲边梯形的面积 S,～ f(5,)△r
x y O i−1 x i x i ( )i i f x 0 2 n 分割：a x x x b = = 1 1 0 1 , , n n n x x x x x x 令 = − = − − 问题1. ? 曲边梯形的面积 S = 计算小曲边梯形的面积 Si
问题1.曲边梯形的面积S=？分割: a=x,<x, <.….<x,=bAAr, = xi - Xo,..,Ax, = x, - xn-1计算小曲边梯形的面积 S,～ f(S,)△r曲边梯形的面积S= $, +$, +...+$, =Is.By= f(x)i-1~2F(5,)Ax,i-1n21(5,)Ar,S = lim2-0x.:x- b xi-1a xx.xa = max{Ar,Ax2,..,Axr
x y O y f x = ( ) a b A B 1 x 2 x i−1 x i x n−1 x S i−1 x i x i 曲边梯形的面积 1 ( ) n i i i f x = 1 2 1 n n i i S S S S S = = + + + = 0 1 lim ( ) n i i i S f x → = = = max , , , x x x 1 2 n ( )i i f x 0 2 n 分割：a x x x b = = 1 1 0 1 , , n n n x x x x x x 令 = − = − − 问题1. ? 曲边梯形的面积 S = 计算小曲边梯形的面积 Si
问题2.变速运动物体的路程S=？分割: T =t, <t,<...<t, = T,令 At, =t, -to,...,At, =t, -tn-1计算小时间段的路程 s,～(n,)△t变速运动物体的路程S= $+ +$, +.+s, -s, ~ v(n,)At,=1i=1nZs = limv(n;)At,10i=1A = max[At,At,,..,At
变速运动物体的路程 1 2 1 1 ( ) n n n i i i i i s s s s s v t = = = + + + = 0 1 lim ( ) n i i i s v t → = = = max , , , t t t 1 2 n 分割：T t t t T 1 0 1 2 = =n 1 1 0 1 , , n n n t t t t t t 令 = − = − − 问题2. ? 变速运动物体的路程 s = ( ) i i i 计算小时间段的路程 s v t
定积分的定义定义记 △x, = X, -X,-1,A = max[Ax,,Ar2,...,Ax.如果不论对[a，b怎样的分法，也不论在小区间只要当→0时[xi-1,x,]上点5, 怎样的取法,和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限1为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为nZf(5)Ax,f(x)dx = I = lim-0i=1
定积分的定义 1 1 2 1 0 1 , max{ , , , }, [ , ] , [ , ] , 0 , , , ( ) li ( ) [ , ] m ( ) i i i n i i i n b i i a i x x x x x x a b x x f x S I I a b f x dx I f x − − → = = − = → = = 记 如果不论对 怎样的分法 也不论在小区间 上点 怎样的取法 只要当 时 和 总趋于确定的极限 我们称这 定义 在区间 上的定积 个极限 为函数 分 记为
定积分的定义n定义Ef(5,)Ax,f(x)dx = I = lim1-→0i-1其中，f(x)叫做被积函数,f(x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，[a,b]叫做积分区间，a和b分别叫积分下限和积分上限
, ( ) , ( ) , , [ , ] , f x f x dx x a b a b 被积函数 积分变量 积分区间 其中 叫做 叫做被积表 达式 叫做 叫做 和 分别叫积分下限和积分上限. 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx I f x → = 定义 = = 定积分的定义
定积分的定义n定义Ef(5,)Ax,f(x)dx = I = lim1-→0i-1几点说明(1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即[, f(x)dx = f" f(t)dt = f" f(u)du.（2）定义中区间的分法和5.的取法是任意的(3)当函数 f(x)在区间[a,bl上的定积分存在时称f(x）在[a,b]上可积
(1) , , ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du = = ： 积分值仅与被积函数及积分区间有关 而与 积分变量的字母无关 即 几点说明 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx I f x → = 定义 = = 定积分的定义 (3) ( ) [ , ] , ( ) [ , ] . f x a b f x a b 当函数 在区间 上的定积分存在时 称 在 上可积 (2) . i 定义中区间的分法和 的取法是任意的
定积分存在定理定理1若函数 f(x)在区间[a,bl上连续则 f(x)在区间[a,bl上可积定理2若函数 f(x)在区间[a,bl上有界福且只有有限个间断点，则f(x）在区间[a,b]上可积
定积分存在定理 ( ) [ , ] , ( ) [ , ] 1 f x a b f x a b 定理 若函数 在区间 上连续 则 在区间 上可积. ( ) [ , ] , , ] 2 ( ) [ , f x a b f x a b 若函数 在区间 上有界 且只有有限个间断点 定理 则 在 区间 上可积
x'dx.例1禾利用定积分定义计算1解 令 f(x)=x2,将[0,1] n等分,取5,=二,则1nZf(5,)Ax,'x'dx= lim2-0i-1()-= limn-→00n(n+1)(2n+1)2= lim6n>83
1 2 0 1 x dx. 例 利用定积分定义计算 1 2 0 0 1 2 2 3 1 1 3 lim ( ) 1 1 lim lim 1 ( 1)(2 1) lim 6 1 . 3 n i i i n n n n i i n x dx f x i i n n n n n n n → = → → = = → = = = + + = = 2 ( ) , [0,1] , , i i f x x n n 解 令 = = 将 等分 取 则