《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.3不定积分的分部积分法

第三节不定积分的分部积分法

第三节 不定积分的分部积分法

分部积分法udy = uv-f vdu.例1 求[x sin xdx.解[ xsin xdx =-xd cosx=-(xcosx-fcos xd)=-xcosx+ sinx+C

分部积分法 udv uv vdu = − .   1 x xdx sin . 例 求  ( ) sin cos cos cos cos sin . x xdx xd x x x xdx x x x C = − = − − = − + +    解

例2 求[ xe'dx.解『 xe*dx={ xde'= xe*-Je'dx= xe* -e* +C.例3 求[x'e*dx.解[x'e'dx=[ x'der=x'e*-[e*d(x")= x'e* -2f xe*dx= x’e* - 2(xe* -e*)+C= e*(x2 - 2x +2)+C

2 . x xe dx 例 求  . x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C = = − = − +    解 2 3 . x x e dx 例 求  2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2( ) ( 2 2) . x x x x x x x x x x x e dx x de x e e d x x e xe dx x e xe e C e x x C = = − = − = − − + = − + +     解

例4 求[ xarctanxdx.解arctan xd(x*)xarctan xdx =Iarctanx-x'd arctanx21dxarctanx -21arctanx-J(1-Jdx-211+xarctanx - x + arctanx + C.2

4 x xdx arctan . 例 求  2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 arctan arctan ( ) 2 1 arctan arctan 2 1 arctan 2 1 1 1 arctan (1 ) 2 1 1 arctan arctan . 2 x xdx xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x x x x C = = − = − + = − − + = − + +      解

例5 求[x' In xdx.[x In xdx=[解In xdx-4-"Inx-}[x'dlnx福x--[x'dxInx?71-1 +C.nxr16

3 5 x xdx ln . 例 求  3 4 4 4 4 3 4 4 1 ln ln 4 1 1 ln ln 4 4 1 1 ln 4 4 1 1 ln . 4 16 x xdx xdx x x x d x x x x dx x x x C = = − = − = − +     解

例6求arcsinxdx.解arcsin xdx = x arcsin x -xd arcsin xdx= xarcsinx -d(1-x?)= xarcsinx +J-x= xarcsin x + /1-x2 +C

6 arcsin xdx. 例 求  2 2 2 2 arcsin arcsin arcsin arcsin 1 1 1 arcsin (1 ) 2 1 arcsin 1 . xdx x x xd x x x x dx x x x d x x x x x C = − = − − = + − − = + − +     解

例7 求[ In xdx.解In xdx = xIn x-f xd In x福=xlnx-x.-dxX=xlnx-J1dx=xlnx-x+C

7 l . n xdx 例 求  ln ln ln 1 ln ln 1 ln . xdx x x xd x x x x dx x x x dx x x x C = − = −  = − = − +     解

例8 求[e* sin xdx.解 : Je* sin xdx =J sin xde'= e* sinx-[e"d sinx= e’ sin x -[e* cosxdx= e' sin x -J cos xde'=e* sinx-e* cosx+ [e*dcosx= e* sinx -e' cosx-[e* sinxdx,: [e' sin xdx =_*(sinx - cosx)+ C.e-2

8 sin . x e xdx 例 求  sin sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin , 1 sin (sin cos ) . 2 x x x x x x x x x x x x x x x x e xdx xde e x e d x e x e xdx e x xde e x e x e d x e x e x e xdx e xdx e x x C = = − = − = − = − + = − −  = − +         解

例9 求[eldx.解Fedx[2te'dt=2 tde'= 2te' -2f e'dt= 2te' - 2e' +C= 2(Vx -1)evx +C

9 . x e dx 例 求  2 2 2 2 2 2 2 2( 1) . x t t t t t t x x t e dx te dt tde te e dt te e C x e C = = = − = − + = − +     解

例10 已知 f(x)的一个原函数是e-x2求[ xf'(x)dx.解 f(x)=(e-x)=-2xe-r[ xf(x)dx=[ xdf(x)= xf(x)-[ f(x)dx= -2xe-x -e-x +C

2 ( , ( ) . 10 ) x f x e xf x dx −   例 已知 的一个原函数是 求 2 2 ( ) ( ) 2 , x x f x e xe − − 解 = = −  2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . x x xf x dx xdf x xf x f x dx x e e C − −  = = − = − − +   