曲面第四节
第四节 曲 面
鸟巢国家大剧院N马鞍悉尼歌剧院
鸟巢 国家大剧院 悉尼歌剧院 马鞍
一、旋转曲面定义一条平面曲线绕与其在同一平面内的定直线.这条平旋转一周得到的曲面称为旋转曲面.中面曲线称为该旋转曲面的母线，这条定直线称为该旋转曲面的轴
y z o x 一 、旋转曲面 , 定义 旋转曲 一条平面曲线绕与其在同一平面内的定直线 旋转一周得到的曲面称为 面. 这条平 面曲线称为该 这条定直线 称为该 旋转曲面的母线 旋转曲面的轴
平面yOz内的曲线C：f(y,z）=0绕z轴旋转所得到的曲面方程为f (土x + y平面 yOz内的曲线C：f(y,z)=0绕y轴旋转所得到的曲面方程为f(y,t/x2 +z)
2 2 : ( , ) 0 ( , ) 0 yOz C f y z z f x y z = + = 平面 内的曲线 绕 轴旋转所得到 的曲面方程为 2 2 : ( , ) 0 ( , ) 0 yOz C f y z y f y x z = + = 平面 内的曲线 绕 轴旋转所得到 的曲面方程为
旋转曲面方程特点坐标平面vOz内的曲线绕一坐标轴旋转所得到的曲面方程特点绕"谁”"谁”不变，另一做代换平面xOz内的曲线C：f(x,z)=0绕x轴旋转所得到的曲面方程为 f(x,±y2+z）=0.绕z轴旋转 f(± /x2 + y2,z)= 0所得到的曲面方程为
旋转曲面方程特点 , 坐标平面 yOz内的曲线绕一坐标轴旋转所得到的 绕"谁""谁"不变 曲 另 面方程特点 一做代换 2 2 2 2 : ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 . . f x y z f x y xOz C x z x z z f + = + = = 平面 内的曲线 绕 轴旋转所得 到的曲面方程为 绕 轴旋转 所得到的曲面方程为
例1直线1绕另一条与1相交的直线旋转一周所得的旋转曲面叫作圆面，两直线的交点叫作圆锥两直线的夹角α（0<α<）叫作圆锥面的顶点面的半顶角。试建立顶点在坐标原点O旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面的方程解 在yOz面上,直线1方程为Cz= ycota,所求圆锥面方程为z =±/x"+ y" cotα,V即 z=(x+ y)cot’ α
, , (0 ) 2 . 1 , l l O z 直线 绕另一条与 相交的直线旋转一周所得的 旋转曲面叫作圆锥面 两直线的交点叫作圆锥 面的顶点 两直线的夹角 叫作圆锥 面的半顶角 试建立顶点在坐标原点 旋转轴 为 轴 半顶角为 的 例 圆锥面的方程. 解 在 yOz l 面上, 直线 方程为 所求圆锥面方程为 2 2 2 2 即 z x y = + ( )cot . z y = cot , 2 2 z x y = + cot , z x y o
例2将z0x坐标面上的双曲线=1分别绕z轴2=A1和x轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程解丝绕z轴旋转而成的曲面为绕x轴旋转而成的曲面为
2 2 2 2 2 1 , x z zOx z a c x 将 坐标面上的双曲线 − = 分别绕 轴 和 轴旋转一周 求生成的旋转曲 例 面的方程. 2 2 2 2 2 1; x y z z a c + 解 绕 轴旋转而成的曲面为 − = 2 2 2 2 2 1. x y z x a c + 绕 轴旋转而成的曲面为 − =
0Z1.0000xX单叶旋转双曲面双叶旋转双曲面
单叶旋转双曲面 2 2 2 2 2 1 x y z a c + − = 双叶旋转双曲面 2 2 2 2 2 1 x y z a c + − =
例3将,yOz坐标面上的椭圆1分别绕轴一8和z轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程解丝绕z轴旋转而成的曲面为绕轴旋转而成的曲面为h
2 2 2 2 3 1 , y z yOz y a b z 将 坐标面上的椭圆 + = 分别绕 轴 和 轴旋转一周 求生成的旋转曲 例 面的方程. 2 2 2 2 2 1; x y z z a b + 解 绕 轴旋转而成的曲面为 + = 2 2 2 2 2 1. y x z y a b + 绕 轴旋转而成的曲面为 + =
b3旋转椭球面
旋转椭球面 2 2 2 2 2 1 x y z a b + + = 2 2 2 2 2 1 y x z a b + + =