第五章常微分方程初步第一节微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念 第五章 常微分方程初步
例1已知曲线 y=f(x)过点(2,0)，且f(x)=x +1. 求该曲线方程解由f'(x)=x+1得f(x)= [ (x + 1)dx+x+C.r2再由 f(2)=0 得 C = -4x2+ x - 4.：所求曲线方程为Jy==2
( ) (2,0), ( 1 ) 1. . y f x f x x = = + 已知曲线 过点 且 求该曲线方程 例 2 ( ) 1 ( ) ( 1) 1 , 2 f x x f x x dx x x C = + = + = + + 解 由 得 再由 f C (2) 0 4, = = − 得 1 2 4. 2 = + − 所求曲线方程为 y x x
例2店质量为m的物体在重力作用下由静止开始下落，不计空气阻力，求物体的位移s与时间t的函数关系解 由牛顿第二定律 F = mg = ma得s"(t)=a = g,: s'(t)= gt+Cr, s(t) = jgt° +C,t+C,再由 s(0)= 0, s'(0)=0 得 C, = 0, C, =0, 所求函数关系为 s- r
, 2 , . m s t 质量为 的物体在重力作用下由静止开始 下落 不计空气阻力 求物体的位移 与时 间 的函数关系 例 ( ) , F mg ma s t a g = = = = 解 由牛顿第二定律 得 1 2 再由 s s C C (0) 0, (0) 0 0, 0, = = = = 得 1 2 . 2 = 所求函数关系为 s gt 1 = + s t gt C ( ) , 2 1 2 1 ( ) , 2 s t gt C t C = + +
微分方程的概念定义1.1含有未知函数导数的方程称为微分方程微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶定义1.2使微分方程成立的函数称为微分方程的解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且独立常数的个数等于方程的阶这样的解称为微分方程的通解
微分方程的概念 定义1.1 含有未知函数导数的方程称为微分方程. 2 . 定义1. 使微分方程成立的 数称为微分方程的 解 函 . 微分方程中未知函数导数的最 微分方 阶数称 为 程的阶 高 , , . 如果微分方程的解中含有独立的任意 常数 且独立常数的个数等于方程的阶 这样的解称为微分方程的通解
微分方程的概念初值条件未知函数在某一点函数值或各阶导数值均称为微分方程的初值条件特解使得微分方程成立的任一确定的函数均称为微分方程的一个特解
微分方程的概念 . 初值条件 未知函数在某一点函数值或各阶 微分方程的初 导数 值均称为 值条件 . 特解 使得微分方程成立的任一确定的 微分方程的一 数均称 为 个特解 函
例3 验证y=C,e* + C,e-*(Ci,C,为任意常数)并求满足是微分方程"-=0的通解初始条件 y(0)=2,y'(0)=0 的特解解由y=C,e* + C,e-*得y' =C,e* -C,e-x, y"=C,e* + C,e-x:: y"-y=0,：y=C,e+C,e-x 是微分方程的通解
1 2 1 2 1 2 1 2 , , 0, x x x x x x x x y C e C e y C e C e y C e C e y y y C e C e − − − − = + = − = + − = = + 由 得 是微分方 解 程的通解. 1 2 1 2 ( , ) 0 . (0) 2, (0 3 ) 0 . x x y C e C e C C y y y y − = + − = = = 验证 为任意常数 是微分方程 的通解 并求满足 初始条件 的特解 例
例3 验证y=C,e* + C,e-*(Ci,C,为任意常数)并求满足是微分方程"-=0的通解初始条件 y(0)=2,y'(0)=0 的特解解：y=C,e*+ C,e-×是微分方程的通解将 y(0)= 2, y'(0)= 0 代入 y= C,e* + C,e-× 得[C, =1,[C + C, = 2,解得[C, = 1,[C, -C, = 0,:： 所求特解为 y=e* +e-x
1 2 1 2 1 1 2 2 (0) 2, (0) 0 2, 1, 0, 1, x x x x y y y C e C e C C C C C C y e e − − = = = + + = = − = = = + 将 代入 得 解得 所求特解为 . 解 1 2 1 2 ( , ) 0 . (0) 2, (0 3 ) 0 . x x y C e C e C C y y y y − = + − = = = 验证 为任意常数 是微分方程 的通解 并求满足 初始条件 的特解 例 1 2 x x y C e C e− = + 是微分方程的通解