第三节全微分
第三节 全微分
一、全微分的定义定义1如果存在常数 A,使得 Ay= A·△r + o(△x)，则称y= f(x)在x,点可微(分),并称 A·△x 为y=f(x)在x,点的微分，记作 dy 或 df，即dy = df (x) = A. △x.定义2如果存在常数A,B，使得△z = A. △x + B. Ay+ o(p)其中 p= /(Ax) +(Ay),则称 z= f(x,J)在(x,y)点可微(分)，并称A·△x + B·Ay 为 z= f(x,y) 在(xo,yo)点的全微分，记作dz、互或 df(xo,yo), 即dz = df(xo, J,) = A.△r + B. Ay
一 、全微分的定义 0 0 , ( ), , , ( ) ο . ( ), ( ) ( ) 1 A x A x dy d A f y A x x y f x x y f x = = ddy f x x = + = = 如果存在常数 使得 则 称 点可微 分 并称 定 为 在 点的微分 记作 或 在 义 即 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 2 2 0 0 , , ( , ) ( ), ( , ) , ( , ), ( , ) . ο( ), ( ) ( ) , z ( , ) ( , ) 2 x y A B x y x y dz df x y dz df f y z A x B y y x x y x A x B y z f x y A x B y = + + = + = = + = = + 定 则称 在 如果存在常数 使得 其中 点可微 分 并称 为 点的 全微分 记作 或 即 义 在
可微的条件一定理3.1（可微的必要条件）若z=f(x,)在(x,y)可微，则(1) f(x,y)在(xo,y)连续(2)f(x,)在(x,J)处偏导数存在，且A= f,(xo,yo), B= f,(xo,yo),定理3.2（可微的充分条件）若z=f(x,y)的偏导数在(x,)的都存在且连续则 f(x,J)在(xo,yo)可微
二、可微的条件 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (1) ( , ) . , ; ( 3 ( , ) 2) ( , ) ( , ) , ( , ), , .1( ( ), ) x y z f x y x y f x y x y f x y x y A f x y B f x y = = = 若 在 可微 则 在 连 定理 可微的必要条件 续 在 处偏导数存在 且 0 0 0 0 3.2( ) (( , ) , ) ( , ) ( , ) z f x y x y , f x y x y 若 = 的偏导数在 的都存在且连续 则 在 可微. 定理 可微的充分条件
例1证明函数(x2x?+y2 0,+ y?)sin1"x?+y?f(x,y)=x?+ y2 = 010,在(0,0)处可微，但在（0,0)处偏导数不连续f(x,0)- f(0,0)证 f,(0,0)= limlimxsin=0xx-→0x-0?同理 f,(0,0)=0
2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0, ( , ) 0, 0 (0,0) , (0,0) . 1 x y x y f x y x y x y + + = + + = 例 证明函数 在 处可微 但在 处偏导数不连续 2 0 0 ( ,0) (0,0) 1 (0,0) lim lim sin 0, (0,0)=0. x x x y f x f f x x x f → → − = = = 同理 证
Az -[f. (0,0)Ax - f,(0, 0)Ay)limp-0pf (4x,4y) - f (0,0) -Lf.(0,0)4r - f,(0,0)Ay)lim-p-0p1[(Ax)’ +(Ay)"]sin=lim(Ax)* +(Ay)p-0psin一= limpp-0p= 0,. f(△x,△y)在(0,0)可微
0 0 2 2 2 2 0 2 2 0 [ (0,0) (0,0) ] lim ( , ) (0,0) [ (0,0) (0,0) ] lim 1 [( ) ( ) ]sin lim ( ) ( ) 1 sin lim 0, ( , ) (0,0) . x y x y z f x f y f x y f f x f y x y x y f x y → → → → − − − − − = + = + = = 在 可微
2x由 f.(x,y)=2xsinCOS2x拉不存在limim-COSCOSx-→0 xx-→0 xX+y=0y=0可知 f.(x,y)在(0,0)不连续同理 f,(x,y)在(0,0)不连续
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 ( , ) 2 sin cos , 2 1 1 2 lim cos lim cos ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) . x x x y y x y x f x y x x y x y x y x x y x y x x f x y f x y → → = = = − + + + = + + 由 不存在 可知 在 不连续 同理 在 不连续
连续、偏导数存在、可微的关系偏导数存在壮可微偏导数连续连续三元函数u=f(x,J,z)在(xo,yo,z)点的全微分dulxo.o-0) = df(xo, yo,zo)= fr(xo, Jo,zo)dx + f,(Xo, Jo,zo)dy + f,(xo, yo,zo)dz
连续、偏导数存在、可微的关系 偏导数存在 偏导数连续 可微 连续 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . ( , , ) x y z x y z u x y z du df x y z f x y z f x y z f f x y z dx dy d x y z z = = + + 三元函数 = 在 点的全微分
例2 求函数 z=2x2y +xy2 在(1,2)处的全微分解 z, = 4xy + y2, z,(1,2) = 12,z, = 2x2 + 2xy, z,(1,2) = 6,dz./a,2)2. = 12dx + 6dy
2 2 例2 求函数 z x y xy = + 2 . 在 (1,2) 处的全微分 2 2 (1,2) 4 , (1,2) 12, 2 2 , (1,2) 6, 12 6 . x x y y z xy y z z x xy z dz dx dy = + = = + = = + 解