《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 无穷级数 9.2正项级数

第二节正项级数

第二节 正项级数

定义2.1各都是正数或零的级数称为正项级数显然，正项级数的部分和数列为单调递增数列定理2.1正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界

定义2.1 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 显然, 正项级数的部分和数列为单调递增数列. 定理2.1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列 有界

一、比较判别法设u,及为正项级数定理2.2（比较判别法）n=1n=1如果从某一项起，恒有u,≤v，则有8则Z(1)若之,收敛,也收敛；un=1n=188则，也发散；(2)若u,发散,n=1n=1

一 、比较判别法 1 1 1 1 1 1 , , (1) , ; (2) , 2. ( ) ; 2 n n n n n n n n n n n n n n u v u v v u u v   = =   = =   = =        设 及 为正项级数 如果从某一项起 恒有 则有 若 收敛 则 也 定理 比 收敛 若 发散 较判别 则 也发散 法

M例1 讨论p级数-(p>0)的敛散性Y8E发散；解当p≤1时,发散知ihpnnn=]当p>1时, S,-≤1+之dxm=2D+p-1ZL收敛.级数n=i hp

1 1 1 ( 0) p n p p n  = 例 讨论 级数  的敛散性. 1 1 1 1 1 1 1 , , ; p p n n p n n n n   = = 解 当   时 由  发散知 发散 1 1 2 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 (1 ) 1 1 1 , 1 1 . n n n p p n n m p p n p S dx n x p n p n  − = = −  =  =  + = + − −  −  +    当 时 级数 收敛

81例2判定级数的敛散性12+1解发散，n+1'Vn(n+ 1)1发散/n(n+1)

1 1 ( 1) 2 n n n  = + 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 1 , , ( 1) 1 1 1 . ( 1) n n n n n n n n  =  =  + + +  +   发散 发散 解

on-1N例3的敛散性。判定级数n2n一n=1n-收敛解：n2nn-2收敛n2n1

1 1 3 2 n n n n  = − 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 1 , , 2 2 2 1 . 2 n n n n n n n n n n  =  = −  −    收敛 收敛 解

定理2.3（比较判别法的极限形式）U设u.及n都是正项级数，且lim1=k.n-8V=1n=188(1)若k>0,则u,和y具有相同的敛散性n=1n=1880v,收敛,则u,也收敛；(2)若k = 0,n=ln=180(3)若k=0,u,发散,则,也发散n=1n=

1 1 1 1 1 1 1 1 , lim , (1) 0, ; ( 2 2.3( ) ) 0, , ; (3) , , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u v k v k u v k v u k u v   →  = =   = =   = =   = = =  = =          设 及 都是正项级数 且 若 则 和 具有相同的敛散性 若 收敛 则 也收 定理 比较判别法的极限形式 敛 若 发散 则 也发散

例42I)的敛散性判定级数In(1 +1nn=1解 : In(1 + -(n →0)In(1 +M收敛，=1,limL2n-00n8收敛In(1 + ->美nn=l

2 1 1 4 ln(1 ) n n  = 例 判定级数 + 的敛散性. 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 ln(1 ) ( ), 1 ln(1 ) 1 lim 1, , 1 ln(1 ) . n n n n n n n n n n  →  − =  = + →  +  =  +   收敛 收敛 解

81例5判定级数的敛散性。sinhpn=1sinn解军: lim=1(n → 8),Pn-0n文与具有相同的敛散性sinhpn=i hpn=1Z收敛; 当p>1时,sinhh801Z发散当p≤1时,hpn=1

1 5 s 1 in p n n  = 例 判定级数 的敛散性. 1 1 1 1 sin lim 1 ( ), 1 1 sin , 1 1 , sin ; 1 1 , . p p n p p n n p n p n n n n n n p n p n − →  −   = =  =  = = →          与 具有相同的敛散性 当 时 收敛 当 时 发散 解

二、比值判别法设u,是正项级数定理2.4（比值判别法）n=1Un+1= k, 则且limn>8uT8Eu,收敛；(1)当k1时,n=180S(3) 当k=1时u，可能收敛也可能发散n=1比值判别法又称达朗贝尔判别法

二、比值判别法 1 1 1 1 1 , lim , (1) 1 , ; (2) 1 , ; (3) =1 , 2.4( ) n n n n n n n n n n n u u k u k u k u k u  = + →   =  =  = =       设 是正项级数 且 则 当 时 收敛 当 时 定理 比值判别 发散 当 时 可能收 法 敛也可能发散. 比值判别法又称达朗贝尔判别法