《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 导数与微分 2.1导数概念

第二章导数与微分第一节导数概念

第一节 导数概念 第二章 导数与微分

导数的定义定义1.1设函数 y=f(x)在x,的某个邻域内酒有定义，若极限f(x +△r)- f(x.)Ay = limlim△xrAxAr-→0Ar-0存在，则称函数f(x)在点x,可导并称此极限为 f(x)在点x,的导数，记作dfdy或f'(x,), y'|x=xo,x=xox=xodxdx

导数的定义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) ( ) lim lim , ( ) , ( ) , ( ), , x x x x x x x x y f x x y f x x f x x x f x x f x x dy df f x y dx dx  →  → = = = =  +  − =     设函数 在 的某个邻域内 有定义 若极限 存在 则称函数 在点 可导 并称此极限 为 在点 的导数 记 或 1 作 定义 .1

Ayf'(x,)= limAr-→0 △xf(x)- f(x)f'(x) = limX-→Xox-xo

x y f x x 0 0 ( ) lim ,  →   =  x x f x f x f x 0 x x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . → −  = −

导函数若 Vx E I,都对应着 f(x)的一个确定的导数值 f(x)。这个 f(x)叫做函数f(x)的导函数.记作dydf(x)或y', f'(x),dxdxf(x+ △r)- f(x)即 y'= limAxAr-→0f(x+h)-f(x)或 f'(x)=limhh-→>0f'(xo)= f'(x))x=xo

, ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ) , ( ), . x I f x f x f x f x dy df x y f x dx dx       若 都对应着 的一个 确定的导数值 这个 叫做函数 的导函数 记作 或 导函数 0 ( ) ( ) lim x f x x f x y  → x +  −  =  即 0 ( ) ( ) ( ) lim . h f x h f x f x → h + − 或  = 0 0 ( ) ( ) . x x f x f x =   =

左、右导数Ay左导数文 f(x,)= limArAr-→0f(x)-f(x,)= limx→xox-xoAy右导数f'(x,)= lim福Ar-→0tAxf(x)- f(x,)= limx→xtx-xo

左、右导数 0 0 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ) lim ; x x x y f x x f x f x x x − − −  → →   =  − = − 左导数 0 0 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ) lim . x x x y f x x f x f x x x + + +  → →   =  − = − 右导数

定理1.1f(x）在x，可导的充要条件是它在x，的左右导数都存在且相等

0 0 ( . 1.1 f x x ) x 在 可导的充要条件是它 在 的左右导数 定 都存在且相等 理

x<0,例1 讨论 f(x)=sin2x+1, x ≥0在 x = 0 点的可导性2X2xf(x)- f(0)解limlimlim2x-→0x-→0xx-→0xx2tsin2xf(x)- f(0)limlimlim2.x-→0+x-→0+xxxx-→0: f'(0) = f'(0)： f(x) 在x=0 可导

2 e , 0, ( ) sin2 1, 0 0 1 . x x f x x x x   =   +  = 讨论 在 点的可导性 例 2 0 0 0 ( ) (0) 1 2 lim = lim lim 2, x x x x f x f e x x x x → → → − − − − − 解 = = f f (0) (0), − +  =    f x x ( ) =0 . 在 可导 0 0 0 ( ) (0) sin2 2 lim = lim lim 2, x x x f x f x x x x x → → → + + − − = =

利用定义求导数例2求常函数y=C的导数C-Cf(x+h)- f(x)解= 0. y'=limlimhhh→0h-→>0例33 求 f()=x2在x=3处的导数x2-32f(x)- f(3)解 f'(3)=limlim= 6.x-3x-3x-3x-3

利用定义求导数 例2 求常函数 y C= 的导数. 0 0 ( ) ( ) ' lim lim 0. h h f x h f x C C y → → h h + − − 解 = = = 2 2 3 3 ( ) (3) 3 (3) lim lim 6. x x 3 3 f x f x f → → x x − −  = = = − − 解 2 例3 求 f x x x ( ) 3 . = = 在 处的导数

利用定义求导数例4求常函数 y=x2 的导数,并求ylx=l(x+ h)" -x3解 y'=limhh->0= lim(3x2 + 3xh + h2)h-→0= 3x2,Tr = 3. 12 = 3

利用定义求导数 3 1 4 . x y x y = 例 求常函数 = 的导数,并求  3 3 0 2 2 0 2 ( ) ' lim lim(3 3 ) 3 , h h x h x y h x xh h x → → + − = = + + = 解 2 1 3 1 3. x y =  =  =

幂函数求导公式(xa)'= αxα-1(αER)

1 ( ) , ( ) x x R     −  =  幂函数求导公式