第四节一阶常系数线性微分方程
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、一阶线性微分方程解的结构形如(1)y" + p(x)y' +q(x)y = f(x)的微分方程称为二阶线性微分方程形如(2)y" + p(x)y' + q(x)y = 0的微分方程称为一阶齐次线性微分方程
一 、二阶线性微分方程解的结构 ( ) ( ) ( ) (1) . y p x y q x y f x + + = 形如 的微分方程称为二阶线性微分方程 ( ) ( ) 0 (2) . y p x y q x y + + = 形如 的微分方程称为二阶齐次线性微分方程
1.一阶齐次线性微分方程解的结构定理4.1如果 yi(x),yz(x)是方程厦(2)y" + p(x)y' +q(x)y = 0的解,则 k,yi(x)+kzyz(x) (ki,k, 是任意常数)也是方程（2)的解
1. 二阶齐次线性微分方程解的结构 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 (2) , ( ) ( ) ( , 4.1 ) (2) y x y x y p x y q x y k y x k y x k k + + = + 定 如果 是方程 的解 则 是任意常数 也是方程 理 的解
定义4.1如果存在常数 k，使得 y(x)= kyz(x),则称 y(x)与 yz(x)线性相关，i否则称(x)与y2(x)线性无关定理4.2如果 Ji(x), 2(x)是方程(2)y" + p(x)y'+q(x)y = 0的两个线性无关解，则 y=k,(x)+kzJz(x)是方程（2)的通解,其中k，k,是任意常数R
1 2 1 2 1 2 , ( ) ( ), ( 4 ) ( ) , ( ) ( .1 ) k y x ky x y x y x y x y x 如果存在常数 使得 = 则称 与 否则称 与 定义 线性相关 线性无关. 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 (2) , ( ) ( ) 4. ( 2 2) , , y x y x y p x y q x y y k y x k y x k k + + = = + 如果 是方程 的两个线性无关解 则 是方 定理 程 的通解 其中 是任意常数
例1 验证 y,=e与 y,=xe都是方程y"－2y'+=0的解，并求方程满足y(0)=1, y'(0)= 2 的解解 : y"-2yi + y, =e* -2e*+e* =0,y2 - 2y2 + yz =(2+ x)e* - 2(1+x)e* + xe* = 0,:与 y, 都是方程 y"-2y'+y=0 的解显然y与,线性无关：方程的通解为 y=CiJ, +C2J2=C,e*+C,xe*将 y(0)=1, y(0)= 2 代入得C =1, C, = 1,：所求解为 y=et +xex
1 2 (0) 1, (0) 2 2 0 , 1 . x x y e y xe y y y y y = = = − = = + 验证 与 都是 满 方程 的解 并求方程 例 足 的解 1 1 1 2 2 2 2 2 0, 2 (2 ) 2(1 ) 0, x x x x x x y y y e e e y y y x e x e xe − + = − + = − + = + − + + = 解 1 2 − + = y y y y y 与 都是方程 2 0 , 的解 1 2 显然 y y 与 线性无关, 1 1 2 2 1 2 , x x = + = + 方程的通解为 y C y C y C e C xe 1 2 将 y y C C (0) 1, (0) 2 1, 1, = = = = 代入得 . x x = + 所求解为 y e xe
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构定理4.3如果(x)是方程(1)y" + p(x)y' +q(x)y = f(x)的特解，是方程(2)y" + p(x)y' +q(x)y = 0的通解，则y=y+是方程(1I)的通解
2. 二阶非齐次线性微分方程解的结构 * * ( ) ( ) ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) 4.3 0 (2) , (1) y x y p x y q x y f x y y p x y q x y y y y + + = + + = = + 如果 是方程 的特解 是方程 的通解 则 是方程 定理 的通解
一、一阶常系数齐次线性微分方程形如(3)y" + py' +qy = f(x)的微分方程称为一阶常系数线性微分方程形如(4)y" + py' + qy = 0的微分方程称为一阶常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程 ( ) (3) . y py qy f x + + = 形如 的微分方程称为二阶常系数线性微分方程 0 (4) . y py qy + + = 形如 的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程
一阶常系数齐次线性微分方程的求解步骤(1)写出特征方程 2+p+=0(2)求出特征根 ，;（3）根据特征根写出齐次方程通解2,22y"+py'+qy=0的通解y=Cre*+C,er*两不等实根：y=(C +C,x)eax两相等实根：元一元y=e(C,cosBx+C,sinBx)两复根：α土Bi
2 (1) 0; 写出特征方程 + + = p q 二阶常系数齐次线性微分方程的求解步骤 1 2 , y py qy + + = 0 的通解 两不等实根： 1 2 两相等实根： 1 2 = 两复根： i 1 2 1 2 x x y C e C e = + 1 1 2 ( ) x y C C x e = + 1 2 ( cos sin ) x y e C x C x = + 1 2 (2) , ; 求出特征根 (3) , 根据特征根 写出齐次方程通解
例2买求方程 S"(t)-4S'(t)+4S(t) =0满足 S(0)=0, S(0)=2的解解特征方程为 2—4 +4=0.特征根为 ,=2,=2,.方程的通解为 S =(C, +C,t)e2t,将 S(0)= 0, S(0)= 2 代入得 C = 0, C, = 2,:. 所求解为 S = 2te2t
( ) 4 ( ) 4 ( ) 0 ( . 2 0) 0, (0) 2 S t S t S t S S = = − = 例 + 足 程 满 方 的解 求 2 1 2 4 4 0, = =2, 特征方程为 − + = 特征根为 解 2 1 2 ( ) ,t = + 方程的通解为 S C C t e1 2 将 S(0) 0, (0) 2 0, 2, = = = = S C C 代入得 2 2 .t = 所求解为 S te
例33求方程y"-6y'+13y=0的通解解特征方程为 2-6+13= 0.特征根为 212 =3±2i,方程的通解为y = e3x(C, cos2x + C, sin 2x)
例3 求方程 y y y − + = 6 13 0 . 的通解 2 1,2 6 13 0, 3 2 ,i − + = = 特征方程为 特征根为 解 3 1 2 ( cos 2 sin 2 ). x y e C x C x = + 方程的通解为