第五节曲线积分
第五节 曲线积分
一、第一型曲线积分例1设曲线L的长度为l，线密度为μu（u为常数），则曲线L的质量为ul.如果曲线L的线密度为二元函数μ(x,J),(x,y)e L，如何求曲线L的质量?X
一 、第一型曲线积分 , ( ), . ( , ) 1 ,( , ) , L l L l L x y x y L L 设曲线 的长度为 线密度为 为常数 则 曲线 的质量为 如果曲线 的线密度为二元 函数 如 例 何求曲线 的质量?
分析采用求曲边梯形一样的思路，先把曲线L任意分割成n个小曲线段△l,(i=1,2,,n)，仍用△l表示第i个小段的长度，在每个小曲线段上任取一点曲线（5,,n,），则第i个小曲线段的质量△m,~μ(5,,n,)△l,，曲线L的总质量近似于M -ZAm, ~Zu(5,n,)Al,i=1I令=max[△1,},则M = limμ(5,n,)A,2-0i=1
1 1 1 0 , ( 1,2, , ), , ( , ), ( , ) , ( , ) lim ( , ) , =max{ }, . n i i i i i i i i i i i n n i i i i i i i i L n l i n l i i m l L M M l l l m → = = = = = = 采用求曲边梯形一样的思路 先把曲线 任意 分割成 个小曲线段 仍用 表示第 个小段的长度 在每个小曲线段上任 取一点曲线 则第 个小曲线段的质量 曲线 的总质量近似于 令 则 分析
定义设L为xOy面上一条光滑（或分段光滑）的曲线段，二元函数f(x,y)定义在曲线L上，将曲线L任意分割为n个小曲线段△l.(i=1,2,..,n)仍用△l.表示第i个小段的长度，在每个小曲线段上任取一点(5;,n;)，令=max[△l,}，如果Zf(5,n,)N,存在, ，则称此极限值为函数lim2→0i=1f(x,J)在L上的第一型曲线积分(或称对弧长的曲线积分),记作[,f(x,y)dl.即nZr(5,n)Al,.J,f(x,y)dl = lim1-0i=-1其中，日曲线L称为积分路径
0 1 ( ) , ( , ) , ( 1,2, , ), , ( , ), =max{ }, lim ( , ) , ( , ) ( ), ( , ) i i i i i n i i i i L L xOy f x y L L n l i n l i l f l f x y L f x y dl → = = 设 为 面上一条光滑 或分段光滑 的曲线 段 二元函数 定义在曲线 上 将曲线 任意分割为 个小曲线段 仍用 表示第 个小段的长度 在每个小曲线 段上任取一点 令 如果 存在 则称此极限值为函数 在 上的第一型曲线积分 或称对弧长 的曲线积分 记作 定义 0 1 ( , ) lim . . , . ( , ) n i i i L i f x y dl f L l → = = 即 其中 曲线 称为积分路径
第一型曲线积分存在的充分条件若f(x,y)在光滑曲线L上连续，则第一型曲线积分存在显然，dl=l（1为曲线L的弧长）
若 f x y L ( , ) , 在 第一型 光滑曲线 上 曲线积分存在的充分 连续 则第一型曲线 积 条件 分存在. , = ( ) L dl l l L 显然 为曲线 的弧长
第一型曲线积分的性质性质1.对任意常数k,kz，有[,[kif(x,y) + kzg(x, y) ]dl = k J, f(x, y)dl + k2 ],, g(x, y)dl性质2.设积分路径L由两端光滑曲线L，和L，所组成则 I, f(x, y)dl =J, f(x,y)dl + J, f(x,y)dl.性质3.若改变积分路径L的方向，则第一型曲线积分值不变即J, f(x, y)dl=f f(x, y)dl.其中，L表示与L方向相反的同一条曲线
1 2 1 2 1 2 . , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , . 1 ) L L L k k k f x y k g x y dl k f x y dl k g x y dl + = + 性质 对任意常数 有 1 2 1 2 . , ( , ) ( , ) ( , ) . 2 L L L L L L f x y dl f x y dl f x y dl = + 设积分路径 由两端光滑曲线 和 所组成 则 性质 . , . ( , ) = ( , ) . , . 3 L L L f x y dl f x y dl L L − − 若改变积分路径 的方向 则第一型曲线积分值不变 即 其中 表示与 方向相反 性 的同一条曲线 质 第一型曲线积分的性质
第一型曲线积分的计算x = @(t)设积分路径L由参数方程(α≤t≤β)给出y=y(t),p(t), y(t)在[α,β)上具有连续导数, 且p(t), y(t)不同时为0，f(x,y)在L上连续，则Bfld(t),y(t)lVl(t)} + [y'(t)} dt.[f(x,y)dl =
2 2 ( ), ( ) , ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( ), ( ) ( , )d 0, ( , ) [ ( ), ( )] [ ( )] [ ( )] . , d L x t L t y t t t t t f x y L f x y l f t t t t t = = = + 设积分路径 由参数方程 给出 在 上具有连续导数 且 不 同时为 在 上连续 则 第一型曲线积分的计算
第一型曲线积分的计算如果积分路径L由y=y(x)(a≤x≤b)给出，y(x)在[a,b]上连续,则J, f(x, y)dl = J, x, y(x)/1 +[y'(x)'dx.如果积分路径L由x=x(y)(c≤y≤d)给出，x(y)在[c,d]上连续, 则[, f(x, y)d/ =J" f[x(y),yl/1 +[x(y)P'dy
2 ( ) ( ) , ( ) [ , ] , ( , )d [ , ( )] d 1 [ ( )] . b L a f x y l f x y x y L y y x a x b y x b x x a = = + 如果积分路径 由 给出 在 上连续 则 2 ( ) ( ) , ( ) [ , ] , ( , )d [ ( ), ] d 1 [ ( )] . d L c f x y l f x y L x x y c y d x y x y y y c d = + = 如果积分路径 由 给出 在 上连续 则 第一型曲线积分的计算
例2计算xdl，其中L：抛物线y=1-x2上从(1,0)到(0,1)的一段[, xdl = [,x/1 +(-2x)°dx解12(+4x)"]:5V/5-112
2 , : 1 (1,0) (0, 2 1) L xdl L y x = − 例 计算 其中 抛物线 上从 到 的一段. 1 2 0 2 3/2 1 0 d 1 ( 2 ) d 1 (1 4 ) 12 5 5 1 = . 12 L x l x x x x = + − = + − 解
dli例3计算/16x2-其中L:椭圆x= cost,y=2sint的一周。dlsin t + 4cos?解dt16x2 +V16cos? t + 4sin2 t=元
2 2 , 16 : cos , 2si 3 n L dl x y L x t y t − = = 例 计算 其中 椭圆 的一周. 2 2 2π 2 2 2 2 0 d sin 4cos d 16 16cos 4sin π. L l t t t x y t t + = + + = 解