第三节向量的乘积
第三节 向量的乘积
一、向量的数量积实例一物体在常力F作用下沿直线从点M，移动到点M，以 表示位移，则力 F 所做的功为W=Fcos (其中 为 与 的夹角)数量积的定义a.b =|a l b / coso.其中 为 a 与 b 的夹角C数量积也称“点积”、“内积”注定义其数量积为0若两向量中有一个是零向量
F s 一 、向量的数量积 1 2 , , cos ( ). F M M s F W F s F s = 一物体在常力 作用下沿直线从点 移动 到点 以 表示位移 则力 所做的功为 其中 为 与 的夹角 实例 数量积的定义 a b a b | || | cos . a b = 其中 为 与 的夹角. 注 若两向量中有一个是零向量, 0. 定义其数量积为 数量积也称“点积” 、 “内积”
当≠0时，由投影定理可知b|cos0 =|cos(a,b) = Pr j,b,因此有 a.b =[a|Prj.b.当b+0时，a.b=Prj,a
0 , cos cos( , ) Pr , Pr . a a a b b a b j b a b a j b = = = 当 时 由投影定理可知 因此有 0 , Pr . b 当b a b b j a = 时
数量积的性质(l) a.a=al.(2) a.b=0←=alb证 若i,b中有一个是零向量，结论显然成立若a±0,b0,() :.=0, [0, 0,:. cosO = 0, 0=元，,..aIb)(-) /, -0- :0-0.a.b=ab|coso=0
(2) 0 . a b a b = ⊥ 0, 0, 0, cos ( ) 0, , . 2 a b a b a b = = = ⊥ 2 (1) . a a a = , , cos 0, 2 | || | c ( os 0. ) a b a b a b ⊥ = = = = 数量积的性质 证 若 a b, , 中有一个是零向量 结论显然成立. 若 a b 0, 0
(3)交换律 a.b=b.a.(4)分配律(a+b)·=a.+b.(aa).b =a.(ab)=a(a.b)数乘结合律(5)其中，为常数
(3) . 交换律 a b b a = (4) ( ) . 分配律 a b c a c b c + = + (5) ( ) ( )= ( ). , . a b a b a b 数乘结合律 = 其中 为常数
数量积的坐标表示设a=xi+yj+z,k, b=x,i+y,j+z,k则a.b =xx, + yiy2 +zi32两向量夹角余弦a.bXiX2 + yi2 + zi32cosO =x++z++
数量积的坐标表示 1 1 1 2 2 2 设 a x i y j z k b x i y j z k = + + = + + , , 则 1 2 1 2 1 2 a b x x y y z z = + + . 两向量夹角余弦 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos = a b x x y y z z a b x y z x y z + + = + + + +
例1 设 A(1,2,3), B(2,1,-1), C(-1,-1,-1), 求直线AB 与 BC 的夹角解 AB =(1,-1,-4), BC =(-3,-2,0),1×(-3)+(-1)×(-2)+(-4)× 0cos(AB,BC) =/1? +(-1) +(-4)° /(-3) +(-2)3/26：直线AB与 BC的夹角为jarccos3/26
(1,2,3), (2,1, 1), ( 1, 1, 1), . 1 A B C AB BC 设 − − − − 求直线 与 的夹角 例 解 AB BC = − − = − − (1, 1, 4), ( 3, 2,0), 2 2 2 2 2 1 ( 3) ( 1) ( 2) ( 4) 0 cos( , ) 1 ( 1) ( 4) ( 3) ( 2) 1 , 3 26 AB BC − + − − + − = + − + − − + − − = 1 arccos . 3 26 AB BC − 直线 与 的夹角为
二、向量的向量积定义且满足：设向量由向量i，b确定(1) 的模[=asin(a,b),(2）的方向：垂直于a与b所确定的平面并与aib遵守右手法则则称为a与b的向量积，记为axb.axb向量积也称“叉乘积”、“外积”注若两向量共线或其中有一个是零向量，定义它们的向量积为0ba
二、向量的向量积 定义 设向量 c a b 由 向量 , , 确定 且满足： 向量积也称“叉乘积” 、 “外积” . (1) sin( , ). (2) , , c c a b a b c a b a b 的模 = 的方向：垂直于 与 所确定的平面 并与 遵守右手法则. 则称 c a b a b 为 与 的向量积, . 记为 a b a b , 0. 若两向量共线或其中有一个是零向量 定义它们的向量积为 注
向量积的性质(1) axa=0.(2) al/b←=axb=0(3) axb=s=2Ssaxb:口axbbxa=-axb.反交换律(4)(a+b)xc=axc+bxc(5)分配律(aa)xb =ax(ab)=a(axb)数乘结合律(6)其中，为常数
(2) // =0. a b a b (1) 0. a a = 向量积的性质 (4) . 反交换律 b a a b = − (5) ( ) . 分配律 a b c a c b c + = + (6) ( ) ( )= ( ). , . a b a b a b 数乘结合律 = 其中 为常数 (3) = =2 . a b a b a b S S
向量积的坐标表示设a=xi+y,j+zk,b=x,i+yj+z,k则iiKaxb=x, yiZ.Z2X2J2=(yi2 - y2zi)i +(zix2 -z2x)j+(xiy2 -x,j,)k
向量积的坐标表示 1 2 1 2 2 2 设 a x i y j z k b x i y j z k = + + = + + , , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( . ) ( ) i j k a b x y z x y z y z y z i z x z x j x y x y k = = − + − + −