教学建议学习目标第一章函数与极限函数$1.1$1.2极限的概念$1.3极限的四则运算法则与函数的连续性81.4复利与贴现
§1.1 函数 §1.2 极限的概念 §1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性 §1.4 复利与贴现 教学建议 学习目标 第一章 函数与极限
81.3极限的四则运算法则与函数的连续性一．极限的四则运算法则二．函数连续的定义
一. 极限的四则运算法则 二. 函数连续的定义 §1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性
一.极限的四则运算法则设lim f(x)= A ， lim g(x)= B,则(1)代数和的极限lim[ f(x)土g(x))存在,且lim[ f(x)±g(x)l= lim f(x)±lim g(x)= A±B ,(2)乘积的极限lim[ f(x)·g(x)l 存在,且lim[ f(x)·g(x) = lim f(x)· lim g(x) = A B.特别地，有(i)常数因子C可提到极限符号的前面，即lim Cg(x) =Clim g(x) = CB(ii)若m是正整数,有lim[ f(x)]m =[lim f(x)]m = Am
一. 极限的四则运算法则 设 lim f (x) = A , lim g(x) = B , 则 lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) = A B . (1)代数和的极限 lim[ f (x) g(x)] 存在, 且 (2)乘积的极限 lim[ f (x) g(x)] 存在, 且 lim[ f (x) g(x)] = lim f (x)lim g(x) = AB. lim Cg(x) = Clim g(x) = CB . 特别地, 有(i) 常数因子 C 可提到极限符号的前面, 即 (ii) 若 m 是正整数, 有 m m m lim[ f (x)] = [lim f (x)] = A
设lim f(x) = A , lim g(x)= B,则f(x)存在,且(3)若 lim g(x)= B± 0 ,商的极限 limg(x)lim f(x) - Af(x)limg(x) - lim g(x) =B 要注意极限的四则运算法则使用的前提条件！
设 lim f (x) = A , lim g(x) = B , 则 (3) 若 lim g(x) = B 0 ,商的极限 存在, 且 ( ) ( ) lim g x f x . B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！
练习1求 lim (5x2 + 3x -1)x→>1解由极限的四则运算法则原式= lim 5x2 + lim 3x - lim 1x-1x-1x->1和的极限口=5lim x2 +3lim x-1=5(lim x)2+3×1-1=极限的和x-→1xl常数因子可提到=5×12±3×1-1=7极限符号之前由该题计算结果知，对多项式P(x) =aox" +ax"-I +..+an-ix+an (a ± O),有n-1lim P(x) = aox0" +ajxo++...+an-ixo +anx-→Xo= P(x)
和的极限 =极限的和 练习1 求 lim(5 3 1) 2 1 + − → x x x . 解 由极限的四则运算法则 原式 lim 5 lim 3 lim 1 1 1 2 →1 → → = + − x x x x x 5lim 3lim 1 5(lim ) 3 1 1 2 1 1 2 1 = + − = + − → → → x x x x x x 常数因子可提到 极限符号之前 5 1 3 1 1 7 2 = + − = . 由该题计算结果知，对多项式 Pn (x) = n n n n a x + a x + + a x + a − − 1 1 有 0 1 n n n n a x + a x ++ a x + a − − 1 0 1 = 0 0 1 0 → lim ( ) 0 P x n x x ( ). = Pn x0 ( 0) a0
x2_9练习2求 limx=3 x2 -2x- 3解显然，分子与分母的极限都是0不能直接用极限(x-3)(x + 3)的四则运算法则原式= lim(x-3)(x +1)x-3 (应将分子分母分解3-6-3= lim x±3 因式，约去极限为0x-3 x+174=2的公因子(x－3)商的极限=极限的商
不能直接用极限 的四则运算法则 解 显然, 分子与分母的极限都是0. 原式 练习2 求 . 2 3 9 lim 2 2 3 − − − → x x x x 应将分子分母分解 因式,约去极限为0 的公因子 (x − 3). ( 3)( 1) ( 3)( 3) lim 3 − + − + = → x x x x x 1 3 lim 3 + + = → x x x 商的极限 =极限的商 . 2 3 4 6 = =
求 lim(1+1)3n练习381.4中计算复利及nn-→8贴现时要用到求该类极限解由幂的运算性质幂的极限(1 + 1)3n =[(1 + 1)3=极限的幂nn于是lim(1+ 1)3n = lim[(1+1)P = e3.nn>8n>0lim(1+ l)" = enn→8
解 由幂的运算性质 于是 幂的极限 =极限的幂 练习 3 求 ) . 1 lim(1 3 n n n + → ) ] , 1 ) [( 1 1 ( 1 3 n n 3 n n + = + n n n 3 ) 1 lim(1+ → e . 3 = 3 ) ] 1 lim[(1 n n n = + → ) e 1 lim(1+ = → n n n §1.4中计算复利及 贴现时要用到求 该 类极限
n+3求 lim(1 +练习42nn→解由幂的运算性质n+3(1→2n2h) (1+2h)[(1-积的极限21于是=极限的积1)=1lim (1 +. lim(1 = lim[(1+2n原式n→802n2nn->αn%=[lim(1+)2nj . 13e2-2nn->82nlim(1 +=e2nn->00
解 由幂的运算性质 于是 3 3 ) 2 1 ) (1 2 1 ) (1 2 1 (1 n n n n n + = + + + 练习4 求 ) . 2 1 lim(1 +3 → + n n n ) , 2 1 ) ] (1 2 1 [(1 2 3 1 2 n n n = + + 原式 2 3 1 2 ) 2 1 ) ] lim(1 2 1 lim[(1 n n n n n = + + → → 积的极限 =极限的积 ) e 2 1 lim(1 2 + = → n n n ) 1 2 1 lim(1+ = n→ n e . 2 1 = 2 3 1 2 ) ] 1 2 1 = [lim(1+ → n n n
函数连续的定义改变量的定义对函数f(x),若自变量yy= f(x)由Xo改变到x。+△x,自变Mf(x + Ax)量实际改变了△x,这时,函AyMf(xo)数值相应地由f(x)改变到Axf(x+△x),若记△)为函数相应的改变量,则AxabX +x xxAy = f(x + △x) - f(x)
对函数 ,若自变量 由 改变到 ,自变 量实际改变了 ,这时,函 数值相应地由 改变到 ,若记 为函数相 应的改变量,则 f (x) 0 x ( )0 f x x + x 0 x ( ) 0 f x + x y ( ) ( ). 0 0 y = f x + x − f x 改变量的定义 y a 1 x0 x b M0 x + x 0 M x o x y = f (x) ( )0 f x ( ) 0 f x + x y x 二. 函数连续的定义
连续的直观理解某人爬山.在图中的蓝色山体部分：该人沿山体向前挪动一小步,他在水平方向前进了^x,在垂直方向上升了显然当x→0时,有y→0.这时，我们说该蓝色山体是连续的，而在P点,该人若在水平方向前进很微小的一点，垂直方向就要上升很多,即当△x→0时,不会有y→0这时，我们说该山体在P处不连续
连续的直观理解 某人爬山. 在图中的蓝色山体部分, 该人沿山体向前挪动一小步,他在水 平方向前进了 ,在垂直方向上升 了 ,显然当 时,有 这时, 我们说该蓝色山体是连续的. x y x → 0 y → 0. 而在 点,该人若在水平方向前进 很微小的一点,垂直方向就要上升很 多,即当 时,不会有 这时, 我们说该山体在 处不连续. P0 x → 0 y → 0. P0 P0