《经济应用数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 多元函数微分学 5.1 偏导数

教学建议学习目标第五章多元函数微分学偏导数$ 5.185.2二元函数的极值s5.3条件极值

§ 5.1 偏导数 § 5.2 二元函数的极值 § 5.3 条件极值 教学建议 学习目标 第五章 多元函数微分学

$5.1偏导数一.二元函数的概念二.偏导数三.需求的交又弹性四.二阶偏导数

一. 二元函数的概念 二. 偏导数 §5.1 偏导数 四. 二阶偏导数 三. 需求的交叉弹性

一．二元函数的概念圆柱体的体积公式案例1V=πr2h(r>0,h>0)n描述了圆柱体的体积V(因变量)与其底面半径r和高h之间的确定关系这是一个以r和h为自变量的二元函数生产函数案例2(A>0,α>0,β>0为常数)-AKLB(K>0,L>0)描述了产量(因变量)与投入的两种生产要素K(资本)和L(劳动力）之间的确定关系这是一个以<和L为自变量的二元函数产量，也称产出水平

案例1 圆柱体的体积公式 一 . 二元函数的概念 V r h 2 =π h r 描述了圆柱体的体积 (因变量)与其底面半 径 r 和高 之间的确定关系. V h (r 0, h0). 这是一个以 r 和 h 为自变量的二元函数. 案例2 生产函数   Q=AK L (K 0,L0). ( A0, 0, 0 为常数 • ) 产量,也称产出水平 描述了产量 (因变量)与投入的两种生产要素 (资本)和 (劳动力)之间的确定关系. Q K L 这是一个以 K 和 L 为自变量的二元函数

以上两个案例的共同点是：两个自变量每取定一组值时，按照确定的对应关系可以决定另外一个变量（因变量)的取值对照一元函数概念，这就是二元函数一般地,以X和V为自变量,以为因变量的二元函数记作z=f (x,y).一元函数的自变量X的取值范围即定义域，一般是数轴上的一个区间，而二元函数自变量的取值范围由数轴扩充到OxV平面上二元函数的定义域通常是Ox1平面上的一个平面区域,记作D

以上两个案例的共同点是：两个自变量每取定一组值时, 按照确定的对应关系可以决定另外一个变量(因变量)的取值. 对照一元函数概念,这就是二元函数. z= f (x, y). 一般地,以 x 和 y 为自变量,以 z 为因变量的二元函数记作 一元函数的自变量 的取值范围即定义域,一般是数轴上的 一个区间. x 而二元函数自变量的取值范围由数轴扩充到 平面上, 二元函数的定义域通常是 平面上的一个平面区域,记作 . Oxy Oxy D

函数z=f(x,V)在点(o,o)的函数值记作f(xo,yo)或Z(xo)LO二元函数z=f(x,J)也有类似于一元函数y=f(x)存在极限及在一点(Xo%)连续的概念以x、和z为自变量,u为因变量的三元函数记作u= f (x,y,z)

函数 z = f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的函数值记作 f (x0 , y0 ) 或 . ( , ) 0 0 x y z u= f (x, y,z). 二元函数 也有类似于一元函数 存在极限 及在一点 连续的概念. z = f (x, y) y = f (x) ( , ) 0 0 x y 以 x 、 y 和 z 为自变量, u 为因变量的三元函数记作

偏导数二元函数z=f(x,y)有两个自变量,它求导数时,是因变量Z对X、对V分别求导数,故称为偏导数(1)对x求导数时,是把二元函数z=f(x,y)中的 V视为常量，只把X作为变量，乙对X求偏导数，记作z ff(x,y), ZxOx' Ox(2)对 V求导数时,是把二元函数z=f(x,y)中的 x视为常量,只把V作为变量，Z对V求偏导数,记作%%f(x,y), Zy

二. 偏导数 二元函数 有两个自变量,它求导数时,是因变量 对 、对 分别求导数,故称为偏导数. z = f (x, y) y z x f (x, y), x (1)对 求导数时,是把二元函数 中的 视为常量, 只把 作为变量, 对 求偏导数,记作 x z = f (x, y) y x z x , x z , x z   . x f   f (x, y), y , y z , y z   . y f   (2)对 求导数时,是把二元函数 中的 视为常量, 只把 作为变量, 对 求偏导数,记作 y z = f (x, y) x y z y

(1)二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo)关于x的偏导数,记作afOzf(xo, yo),x /(xo,yo))Ox /(xo.yo)0.Y0)(2)二元函数z=f(x,y)在点(xo,yo)关于的偏导数,记作afdzf,(Xo, yo),Z(xo,yo)OvlaOv /(xo,yo)

( , ), 0 0 f x y x (1) 二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 关于 x 的偏导数,记作 0 0 x y , ( , ) 0 0 x x y z , ( , ) 0 0 x y x z   . ( , ) 0 0 x y x f   ( , ), 0 0 f x y y (2) 二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 关于 y 的偏导数,记作 0 0 x y , ( , ) 0 0 y x y z , ( , ) 0 0 x y y z   . ( , ) 0 0 x y y f  

OZQz练习1 设 z=x3-3xy3+ery,求Ox'ay解(1)对X求偏导数时,视V为常量,有z =3x?-6xy3 +e'yOx(2)对V求偏导数时,视X为常量,有z =-9x2y2 +ex

练习1 解 设 3 e , 3 2 3 z x x y y x = − + 求 , x z   . y z   (1)对 x 求偏导数时, 视 y 为常量,有 3 6 e , 2 3 x x y y x z x = − +   9 e . 2 2 x x y y z =− +   (2)对 y 求偏导数时, 视 x 为常量,有

练习2 设 f(x,y)=er2-3y2,求 f(0,1), f,(1,0),解先求偏导数,再求偏导数在指定点的值(1)视V为常量,对X求偏导数,有f(x,y)=er2-3y2 .2x =2xer2-3y2将x=0, y=1代入上式,得f(0,1)=2xer2-3y2/(0,1) =0.(2)视X为常量,对V求偏导数,有f,(x, y)=er2-3y2 .(-6y)=-6yer2-3y2将x=1, y=0代入上式,得f(1,0)=-6yer2-3y2/(1,0) =0

练习2 解 (1)视 y 为常量,对 x 求偏导数,有 设 ( , ) e , 2 2 x 3y f x y − = 求 (0,1), x f (1,0). y f 先求偏导数,再求偏导数在指定点的值. ( , ) e 2 2 e . 2 2 2 2 x 3y x 3y x f x y x x − − =  = (0,1) 2 e 0. (0,1) 3 2 2 = = x − y x f x (2)视 x 为常量,对 y 求偏导数,有 ( , ) e ( 6 ) 6 e . 2 2 2 2 x 3y x 3y y f x y y y − − =  − =− 将 x = 1, y = 0 代入上式,得 将 x = 0, y =1 代入上式,得 (1,0) 6 e 0. (1,0) 3 2 2 =− = x − y y f y

练习3 求函数z = x(x>O)的偏导数.解(1)对X求偏导数时,视V为常量,这时X是幂函数,有x(2)对V求偏导数时,视X为常量,这时X是指数函数,有Oz =xy n x

练习3 解 求函数 y z = x (x0) 的偏导数. (1)对 x 求偏导数时, 视 y 为常量,这时 y x 是幂函数,有 . −1 =   y yx x z (2)对 y 求偏导数时, 视 x 为常量,这时 y x 是指数函数,有 x ln x. y z y =  