教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3禾积分的基本公式$ 4.4换元积分法$ 4.55分部积分法S4.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$ 4.1定积分的概念与性质一.定积分的定义二.定积分的几何意义三.定积分的性质
一.定积分的定义 二.定积分的几何意义 §4.1 定积分的概念与性质 三.定积分的性质
定积分的定义一规则图形的面积宽矩形的面积=长X宽长a+b中位线,长为2下底ba+b上底xh.直角梯形的面积=2a高h直角梯形的面积可用矩形面积计算
一 . 定积分的定义 规则图形 的面积 矩形的面积=长 宽. 长 宽 高 h 下 底 b 上 底 a 直角梯形的面积= . 2 h a b + 中位线,长为 2 a + b 直角梯形的面积可用矩形面积计算
那么，不规则图形的面积如何求呢？
那么,不规则 图形的面积 如何求呢?
如左图将其放入平面直角坐标系中？用若干条平行于V轴及x轴的直线L?将图形分割，所求面积应为被分割的所有小面积之和其中，中间部分为矩形,易求面积?对四周的不规则图形面积怎么求？只要将其求出，则大的不规则图形面x求不规则图形积也即求出的面积问题我们分析A：A由三条直线和一条曲转化为线围成,其中两条直线互相平行,第三条直线与这两条直线垂直，另一边为曲线求曲边梯形称这样的图形为曲边梯形的面积问题
用若干条平行于 轴及 轴的直线 将图形分割,所求面积应为被分割的 所有小面积之和. y x 如左图,将其放入平面直角坐标系中. y o x A 我们分析 : 由三条直线和一条曲 线围成,其中两条直线互相平行,第三条 直线与这两条直线垂直,另一边为曲线, 称这样的图形为曲边梯形. A A 对四周的不规则图形,面积怎么求? 只要将其求出,则大的不规则图形面 积也即求出. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求不规则图形 的面积问题 其中,中间部分为矩形,易求面积. 转化为 求曲边梯形 的面积问题
案例如何求曲边梯形的面积？将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线y= f(x) (f(x)≥O),直线x=a, x =b (a<b)和 =O(即X轴)所围成的平面图形αA'B'b称为曲边梯形y=f(x)B'Ax=b面积A=?xiabxaay=0
案 例 如何求曲边梯形的面积? 将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), x = b (a b) 称为曲边梯形. 直线 x = a, 和 y = 0 (即 x 轴)所围成的平面图形 aABb y o x a = x x = b y = 0 y = f (x) A B a b 面积 A = ?
我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积对立曲直统一按下述程序计算曲边梯形的面积：(1)分割一一分曲边梯形为个小曲边梯形在区间[a,bl上任意选取分点a=<X<<…<xn-1<x,=b,11[o, x], [x,x]分成n个y=f(x)B小区间A.,[xn-, x].每个小区间的长度为Ax, = x, - xi-1i=1, 2, ", n. b其中最长的记作xAx = max(△x, )1<i<n
y o x 直 曲 对立 统一 按下述程序计算曲边梯形的面积: y = f (x) A B a b 在区间 [a,b] 上任意选取分点 , 0 1 2 1 a x x x x x b = n− n = 1 x 2 x 3 x i x i−1 x n−1 x [ , ], 0 1 x x [ , ], 1 2 x x . , [ , ]. n 1 n x x − 每个小区间的长度为 , i = i − i−1 x x x i = 1, 2, , n. max . 1 i i n x = x 其中最长的记作 x 0 x = n x = 分成 个 小区间 n 我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积. (1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形
(1)分割一一分曲边梯形为个小曲边梯形过每个分点x,i=1,2,"n)作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形yy=f(x)BA用A表示所求ANA曲边梯形的面积AAAA1A△A,表示第i个小oaxX-1x, xn-1bx曲边梯形面积，则有：xx3nA;A= △A, + △A,+... + △A, =i=1
y o x y = f (x) A B a b 1 x 2 x 3 x i xi−1 x n−1 x 0 x = n x = 过每个分点 ( ) 作 轴的垂线,把曲边梯形 分成 个窄曲边梯形. i x i =1, 2, , n x n (1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形 用 表示所求 曲边梯形的面积. A 表示第 个小 曲边梯形面积, 则有: Ai i Δ Δ Δ Δ . 1 1 2 = = + ++ = n i A A A An Ai A1 A2 A3 Ai An
(2)近似代替一一用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积在每一个小区间[x;-1,x,]上任选一点三,(i=1,2,...，n),用与小曲边梯形同底,以f(5)为高的小矩形的面积f(S)△x,近似代替小曲边梯形的面积,郎△A,~f()Axy=f(x)△A, ~ f(5)△xB(i=1,2,..., n)A~f(3)AxXOO45.52SiA,~f(En)Ax
y o x y = f (x) A B a b 1 x 2 x 3 x i xi−1 x n−1 x 0 x = n x = (2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 (i =1,2,，n) ΔAi ( ) i f i Δx 在每一个小区间 上任选一点 ( ),用与 小曲边梯形同底,以 为高的小矩形的面积 近似代 替小曲边梯形的面积,即 [ , ] i 1 i x x − i i =1,2,，n ( ) i f ( ) i f i Δx 1 A1 1 1 f ()x 2 i A2 2 2 f ( )x Ai i i f ( )x n An n n f ( )x
(3)求和一一求n个小矩形面积之和1n个小矩形构成的阶梯形的面积是f(S)△x,这是原曲边i=1梯形面积的一个近似值.即AA~f(S)AxA=ZMA,y=f(a)i=BZf(5)Ax,M~f(s)AxAXN004[E.32SA,-f(En)Ax
y o x y = f (x) A B a b 1 x 2 x 3 x i xi−1 x n−1 x 0 x = n x = 1 A1 1 1 f ()x 2 i A2 2 2 f ( )x Ai i i f ( )x n An n n f ( )x (3)求和——求 n 个小矩形面积之和 个小矩形构成的阶梯形的面积是 ,这是原曲边 梯形面积的一个近似值.即 n = n i i i f x 1 () = = n i A Ai 1 ( ) . 1 = n i i i f x