凶跨煮教育KUAKAODUCATIOIBornto win1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题满分15分，每小题3分.）[x=1+t,d'y(1)设dxy=cost,(2）由方程xyz+x+y2+2=2所确定的函数z=2(x,J)在点(1,0,-1)处的全微分dz=J-2z-3x+2x-1y-1Z(3）已知两条直线的方程是L，则过L且平0-1211行于L，的平面方程是（4）已知当x→0时，（1+ax）-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=5200)0210则A的逆阵A-1=(5）设4阶方阵A：200110０1二、选择题（本题满分15分，每小题3分.）1+e-r(1）曲线y=1-e-r（A）没有渐近线(B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线(D）既有水平渐近线又有铅直渐近线(2）若连续函数f(x)满足关系式f(x)=dt+ln2，则f(x)等于（)(A) e"In2(B)e2 In2(C) e+In2(D) e2* +In2?(3）已知级数(-1)"-la,=5,则级数a,等于=2(a2n-1.21=1n=l7=1(B) 7(C) 8(D) 9(A) 3(4）设D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D是D在第一象
Born to win 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1) 设 2 1 , cos , x t y t = + = 则 2 2 d y dx =_. (2) 由方程 2 2 2 xyz x y z + + + = 2 所确定的函数 z z x y = ( , ) 在点 (1,0, 1) − 处的全微分 dz =_. (3) 已知两条直线的方程是 1 1 2 3 : 1 0 1 x y z L − − − = = − ； 2 2 1 : 2 1 1 x y z L + − = = ,则过 L1 且平 行于 L2 的平面方程是_. (4) 已知当 x →0 时, 1 2 3 (1 ) 1 + − ax 与 cos 1 x − 是等价无穷小,则常数 a =_. (5) 设 4 阶方阵 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 A = − ,则 A 的逆阵 1 A − =_. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1) 曲线 2 2 1 1 x x e y e − − + = − ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数 f x( ) 满足关系式 2 0 ( ) ln 2 2 x t f x f dt = + ,则 f x( ) 等于 ( ) (A) ln 2 x e (B) 2 ln 2 x e (C) ln 2 x e + (D) 2 ln 2 x e + (3) 已知级数 1 1 ( 1) 2 n n n a − = − = , 2 1 1 5 n n a − = = ,则级数 1 n n a = 等于 ( ) (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 设 D 是 xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一象
区跨春教育KUAKAEDUCATIOIBornto win限的部分，则[[（xy+cosxsiny)dxdy等于()D(B 2[[ xydxdy(A) 2[[ cos xsin ydxdyD(C)(D) 04[[(xy+cosxsin y)dxdyD(5）设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有()(A) ACB=E(B) CBA=E(C) BAC=E(D) BCA=E三、（本题满分15分，每小题5分.）(1)求lim(cosx)(2）设n是曲面2x2+3y2+22=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数6x? +8y2在点P处沿方向n的方向导数.4zv2=2z绕=轴旋转一周而成的曲面与平面(3)(x+y?+z)dV,其中Q是由曲线x=02z=4所围成的立体，四、（本题满分6分）在过点O(0.0)和A(元0)的曲线族v=asinx(a>O)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分[.(1+y)dx+(2x+y)dy的值最小。五、（本题满分8分.）将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅立叶级数，并由此求级数2的和六、（本题满分7分.）设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且3}2f(x)dx=f(0)，证明在(0,1)内存在一点c，使f(c)=0七、（本题满分8分.）
Born to win 限的部分,则 ( cos sin ) D xy x y dxdy + 等于 ( ) (A) 1 2 cos sin D x ydxdy (B) 1 2 D xydxdy (C) 1 4 ( cos sin ) D xy x y dxdy + (D) 0 (5) 设 n 阶方阵 A 、B 、C 满足关系式 ABC E= ,其中 E 是 n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E= (B) CBA E= (C) BAC E= (D) BCA E= 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1) 求 0 lim (cos ) x x x → + . (2) 设 n 是曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 在点 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量,求函数 2 2 6 8 x y u z + = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. (3) 2 2 ( ) x y z dV + + ,其中 是由曲线 2 2 , 0 y z x = = 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 4 所围成的立体. 四、(本题满分 6 分) 在过点 O(0,0) 和 A( ,0) 的曲线族 y a x a = sin ( 0) 中,求一条曲线 L ,使沿该曲线从 O 到 A 的积分 3 (1 ) (2 ) L + + + y dx x y dy 的值最小. 五、(本题满分 8 分.) 将函数 f x x x ( ) 2 | | ( 1 1) = + − 展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数 2 1 1 n n = 的和. 六、(本题满分 7 分.) 设函数 f x( ) 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 1 2 3 3 ( ) (0) f x dx f = ,证明在(0,1)内存在 一点 c ,使 f c ( ) 0 = . 七、(本题满分 8 分.)
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIORBorntowin已知α,=(1,0,2,3),α,=(1,1,3,5),α,=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8),及β=(1,1,b+3,5)(1）α、b为何值时，β不能表示成α、α2、α、α的线性组合？(2）α、b为何值时，β有α、α2、α、α4的唯一的线性表示式？并写出该表示式八、(本题满分6分)设A为n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行十、填空题（本题满分6分，每小题3分.）(1）若随机变量X服从均值为2方差为α2的正态分布，且P20,y>0f(x,y)=其他(o,求随机变量Z=X+2Y的分布函数
Born to win 已知 1 = (1,0,2,3) , 2 = (1,1,3,5) , 3 = − + (1, 1, 2,1) a , 4 = + (1,2,4, 8) a ,及 = + (1,1, 3,5) b . (1) a、b 为何值时, 不能表示成 1 2 3 4 、 、 、 的线性组合？ (2) a、b 为何值时, 有 1 2 3 4 、 、 、 的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 八、(本题满分 6 分) 设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E+ 的行列式大于 1. 九、(本题满分 8 分) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P x y ( , ) 处的曲率等于此曲线在该点的法 线段 PQ 长度的倒数( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行. 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.) (1) 若随机变量 X 服从均值为 2,方差为 2 的正态分布,且 P X 2 4 0.3 = ,则 P X 0 =_. (2) 随机地向半圆 2 0 2 − y ax x ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概率为_. 十一、(本题满分 6 分) 设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 ( 2 ) 2 , 0, 0 ( , ) 0, x y e x y f x y − + = 其他 , 求随机变量 Z X Y = + 2 的分布函数
区跨煮教育FDUCATIOIKUAKAOBornto win1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题满分15分，每小题3分.）sint-tcost(1）【答案】4t3【解析】这是个函数的参数方程，满足参数方程所确定函数的微分法，即[x=Φ(t)dy_ p(t)则如果Ly=p(t)dx0(t)dydy_-sintdt所以dxdx2tdt再对x求导，由复合函数求导法则得dyddydtd-sint121dxdtdxdxdt2t-2tcost+2sint1sint-tcost4t22t4t3(2）【答案】dx-Zdy【解析】这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1,0,-1)的含义是z==(1,0)=-1.将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得d(x* + y2 +2)d(xyz)+ =02 /x2 + y2 +2再由全微分四则运算法则得()d +(ydx+ xdy)≥ =- dr+ydy+zdx? +y?+??令x=1, = 0.=-1, 得dy= ±-,即d = dx-~/2dy.V2(3）【答案】x-3y+z+2=0【解析】所求平面IⅡI过直线L，因而过L上的点（1,2,3：因为Ⅱ过平行于L，于是Ⅱ平行于L和L,的方向向量，即IⅡI平行于向量l1=(1,0-1)和向量12=（21,1)，且两向量不共线，于是平面I的方程
Born to win 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】 3 sin cos 4 t t t t − 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ( ) ( ) x t y t = = , 则 ( ) ( ) dy t dx t = . 所以 sin 2 dy dy t dt dx t dx dt − = = , 再对 x 求导,由复合函数求导法则得 2 2 sin 1 ( ) ( ) 2 2 d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t − = = 2 3 2 cos 2sin 1 sin cos 4 2 4 t t t t t t t t t − + − = = . (2)【答案】 dx dy − 2 【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点 (1,0, 1) − 的含义是 z z = = − (1,0) 1. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 2 d x y z d xyz x y z + + + = + + , 再由全微分四则运算法则得 2 2 2 ( ) ( ) xdx ydy zdz xy dz ydx xdy z x y z + + + + = − + + , 令 x y z = = = − 1, 0, 1,得 2 dx dz dy − = ,即 dz dx dy = − 2 . (3)【答案】 x y z − + + = 3 2 0 【解析】所求平面 过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2,3) ； 因为 过 L1 平行于 L2 ,于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量,即 平行于向量 l1 = − (1,0, 1) 和向量 l 2 = (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面 的方程
7跨考教育XDEDUCATIONKUAKAOBorntowiny-27-301-1=0,211即x-3y+z+2=0-3(4）【答案】2【解析】因为当x→0时，sinx~x.(1+x)"-1~2当x→0时ax2→0，所以有111(1+ax2)3 1-ax.cosx-sinx-2231Sar(1+ax*)3_12lim所以=limax→0cos.x-1x-→013223因为当x→0时，(1+ax2)-1与COSx-1是等价无穷小，所以Fa=1，故a=23-200)1050-2211(5）【答案】001331一0033【解析】为求矩阵的逆可有多种办法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆.根据本题的特点，若知道分块求逆法，则可以简单解答A00A注意：R-0B0R(ab则求A的伴随矩阵对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：A:dCa-b如果A+0,这样
Born to win 1 2 3 1 0 1 0 2 1 1 x y z − − − − = , 即 x y z − + + = 3 2 0 . (4)【答案】 3 2 − 【解析】因为当 x →0 时, 1 1 sin ,(1 ) 1 n x x x x n + − , 当 x →0 时 2 ax → 0 ,所以有 1 2 2 2 2 3 1 1 1 (1 ) 1 ,cos 1 sin , 3 2 2 + − − = − − ax ax x x x 所以 1 2 2 3 0 0 2 1 (1 ) 1 2 3 lim lim cos 1 3 1 2 x x ax ax a x x → → + − = = − − − . 因为当 x →0 时, 1 2 3 (1 ) 1 + − ax 与 cos 1 x − 是等价无穷小,所以 2 1 3 − = a ,故 3 2 a = − . (5)【答案】 1 2 0 0 2 5 0 0 1 2 0 0 3 3 1 1 0 0 3 3 − − − . 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据 本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答. 注意： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B − − − = , 1 1 1 0 0 0 0 A B B A − − − = . 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： a b A c d = ,则求 A 的伴随矩阵 * a b d b A c d c a − = = − . 如果 A 0 ,这样
凶跨煮教育KUAKACABornto win1alad-bc00(A-IA易见再利用分块矩阵求逆的法则B-1.0B0-200100-25121A-I =00313110033二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.）(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为x≠0，所以函数的间断点为x=0I+e*rer +1lim y=lim=lim80，所以x=0为铅直渐近线，X-0x-0 1-e-xx0 e11+e~r?+1lim y= lim=1,所以y=1为水平渐近线.limo-rT→001所以选(D)【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=x处有limf(x)=00，则x=x是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当limf(x)=a,(a为常数），则y=a为函数的水平渐近线.(2）【答案】(B)【解析】令u=，则t=2u,dt=2du，所以2f(x)=f(dt+ In2= "2f(u)du+ln2,两边对 x 求导,得 F(t)=2 (1),这是一个变量可分离的微分方程,即 L(a)l=2dx.解f(x)之得f(x)=Ce2x，其中C是常数又因为f(0)=[~2f(u)du+ln2=ln2,代入f(x)=Ce2r,得f(0)=Ce°=ln2,得
Born to win 1 a b d b d b 1 1 c d c a c a A ad bc − − − = = − − − . 再利用分块矩阵求逆的法则： 1 1 1 0 0 0 0 A A B B − − − = ,易见 1 1 2 0 0 2 5 0 0 1 2 0 0 3 3 1 1 0 0 3 3 A − − − = − . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】由于函数的定义域为 x 0 ,所以函数的间断点为 x = 0 , 2 2 2 2 0 0 0 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x e e y e e − → → → − + + = = = − − ,所以 x = 0 为铅直渐近线, 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x e e y e e − → → → − + + = == = − − ,所以 y = 1 为水平渐近线. 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数 y f x = ( ) 在其间断点 0 x x = 处有 0 lim ( ) x x f x → = ,则 0 x x = 是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当 lim ( ) ,( x f x a a → = 为常数）,则 y a = 为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B) 【解析】令 2 t u = ,则 t u dt du = = 2 , 2 ,所以 2 0 0 ( ) ln 2 2 ( ) ln 2 2 x x t f x f dt f u du = + = + , 两边对 x 求导,得 f x f x ( ) 2 ( ) = ,这是一个变量可分离的微分方程,即 [ ( )] 2 ( ) d f x dx f x = .解 之得 2 ( ) x f x Ce = ,其中 C 是常数. 又因为 0 0 f f u du (0) 2 ( ) ln 2 ln 2 = + = ,代入 2 ( ) x f x Ce = ,得 0 f Ce (0) ln 2 = = ,得
凶跨煮教育KUAKAOEDUICATIOIBorntowinC=ln2,即 f(x)=e2x-In2(3）【答案】(C)【解析】因为E(-1)"-a, =a -a, +a, -ax +..+a2n---an +..-=(a -a,)+(a -a)+...+(an--an)+..00-a)=Zα2，(收敛级数的结合律与线性性质)，(a2n-Za2n-1n=1n=ln=lEa2n-1-Z(-1)"la, = 5-2 =3.所以)"-1(aon=ln=n=12a, -(++.)+(+ +.).+(++.)..而n=1a2n-=5+3=8>(a)+a=tan=ln=n=l故应选(C).(4）【答案】（A)【解析】如图，将区域D分为D,D,D,D四个子区域D2D1显然，D,D,关于y轴对称，D,D关于x轴对称D30-1D4[1, = [ xydxdyD令I/cosxsinydxdyI, =由于xy对x及对y都是奇函数，所以JJ xydxdy =0, JJ xrydxdy =0.D+DD+DA而cosxsiny对x是偶函数，对y是奇函数，故有cos x sin ydxdy = 0, ([ cos x sin ydxdy =2[[cos xsin ydxdyDD,+DD,+D所以[(xy+cos x sin y)dxdy= I, + I, =2[[cos xsinydxdy,T故选(A).(5）【答案】(D)
Born to win C = ln 2,即 2 ( ) ln 2 x f x e = . (3)【答案】(C) 【解析】因为 1 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1)n n n n n a a a a a a a − − = − = − + − + + − + 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n a a a a a a = − + − + + − + − 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) n n n n n n n a a a a − − = = = = − = − (收敛级数的结合律与线性性质), 所以 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) 5 2 3 n n n n n n n a a a − − = = = = − − = − = . 而 1 2 3 4 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n n a a a a a a a − = = + + + + + + + 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) n n n n n n n a a a a − − = = = = + = + =+= 5 3 8 , 故应选(C). (4)【答案】(A) 【解析】如图,将区域 D 分为 1 2 3 4 D D D D , , , 四个子区域. 显然, 1 2 D D, 关于 y 轴对称, 3 4 D D, 关于 x 轴对称. 令 1 2 cos sin D D I xydxdy I x ydxdy = = , 由于 xy 对 x 及对 y 都是奇函数,所以 1 2 3 4 0, 0 D D D D xydxdy xydxdy + + = = . 而 cos sin x y 对 x 是偶函数,对 y 是奇函数,故有 3 4 1 2 1 cos sin 0, cos sin 2 cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy + + = = , 所以 1 1 2 ( cos sin ) 2 cos sin D D xy x y dxdy I I x ydxdy + = + = , 故选(A). (5)【答案】(D)
跨煮教育KUAKAODUCATIOPBorntowin【解析】矩阵的乘法公式没有交换律，只有一些特殊情况可以交换，由于A、B、C均为n阶矩阵，且ABC=E，对等式两边取行列式，据行列式乘法公式IAIBIIC=1,得到A+0、B+0、C+0，知A、B、C均可逆，那么，对于ABC=E，先左乘A-再右乘A有ABC=E→BC=A-I→BCA=E，故应选（D)其实，对于ABC=E先右乘C-再左乘C，有ABC=E→AB=C-1→CAB=E三、（本题满分15分，每小题5分.）（1）【解析】这是1"型未定式求极限，r(cos y1)lim(cos /x)= lim(1 +(cos /x - 1)eos r-i令cos-1=t，则x→0+时t→0，所以lim(I+(cos x-1)sk-i = lim(1+t) =e(cos 1)lim (cos y&1)(cos-Vf-1)lim(1+(cos x-1)cos /x-所以= lime>=er-o1-0X→0*因为当x→0时，sinx~x，所以VxV2元-2元sin22元(cos /x-1)元limlimlim2'1→0xX-0xX→0*xr(cosya-1)故lim(cosXOuOuOu(2）【解析】先求方向n的方向余弦，再求最后按方向导数的计算公式ax'ayazouououOucosβ+-cos求出方向导数cosα+OnaxdyOz曲面2x2+3y2+z=6在点P(1,1,1)处的法向量为±[4x,6y,2z)/p = [4x,6y,22)|(.1,1)=±2[2,3,1)在点P(1,11)处指向外侧，取正号，并单位化得
Born to win 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换. 由于 A 、 B 、C 均为 n 阶矩阵,且 ABC E= ,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式 | || || | 1 A B C = ,得到 A 0 、B 0 、C 0 ,知 A 、B 、C 均可逆,那么,对于 ABC E= , 先左乘 1 A − 再右乘 A 有 1 ABC E BC A BCA E − = → = → = ,故应选(D). 其实,对于 ABC E= 先右乘 1 C − 再左乘 C ,有 1 ABC E AB C CAB E − = → = → = . 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1)【解析】这是 1 型未定式求极限. 1 (cos 1) cos 1 0 0 lim(cos ) lim(1 (cos 1)) x x x x x x x x + + − − → → = + − 令 cos 1 x t − = ,则 x 0 → + 时 t 0 → − ,所以 1 1 cos 1 0 0 lim(1 (cos 1)) lim(1 ) x t x t x t e + − − → → + − = + = , 所以 0 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1) lim cos 1 0 0 lim(1 (cos 1)) lim x x x x x x x x x x x e e → + + + − − − − → → + − = = . 因为当 x →0 时, sin x x ,所以 2 2 0 0 0 2 sin 2 (cos 1) 2 2 lim lim lim x x x 2 x x x x x x → → → + + + − − − = = = − , 故 0 (cos 1) lim 2 0 lim (cos ) x x x x x x e e → + + − − → = = . (2)【解析】先求方向 n 的方向余弦,再求 , , uuu x y z ,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z = + + 求出方向导数. 曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 在点 P(1,1,1) 处的法向量为 = = 4 ,6 ,2 4 ,6 ,2 2 2,3,1 x y z x y z P (1,1,1) , 在点 P(1,1,1) 处指向外侧,取正号,并单位化得
凶跨煮教育KUAKABorn towinn=(2,3,1)[2,3,1] = (cosα,cos β,cosy)V14V22 +32 +1Ou6x6x6ax/14/6x+82+818y8you8又/14ayz/6x2 +8y2z/6x2 +82(1,1,1/6x2+8yJ6x2 +8y?Ou/142Oz2(a,1,1)所以方向导数ououOuOucosβ+cosα+cOSYanaxayOz2683V14.111V14141414V14-7[=2绕=轴旋转一周而围成的旋转面方程是+=2.(3）【解析】由曲线[x=0(x2+2)与平面z=4所围成.曲面与平面的交线是于是，Q是由旋转抛物面z=2Zx2+V=8.z=4选用柱坐标变换，令x=rcoso,y=rsin,z=z，于是2z-y22:0≤0≤2元,0≤z≤4.0≤r≤/2=,I = [(x + y? +z)dV因此[dz/de(r? +z)rdr256四、（本题满分6分）
Born to win 2 2 1 1 2,3,1 2,3,1 cos ,cos ,cos . 2 3 1 14 n = = = + + 又 2 2 2 2 (1,1,1) 2 2 2 2 (1,1,1) 2 2 2 2 2 2 (1,1,1) 6 6 6 6 8 6 8 14 8 8 8 6 8 6 8 14 6 8 6 8 14 P P P P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y u x y x y z z z = = = + + = = = + + + + = − = − = − , 所以方向导数 cos cos cos u u u u n x y z = + + 6 2 8 3 1 11 14 14 14 14 14 14 7 = + − = . (3)【解析】由曲线 2 2 , 0 y z x = = 绕 z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是 2 2 x y z + = 2 . 于是, 是由旋转抛物面 1 2 2 ( ) 2 z x y = + 与平面 z = 4 所围成.曲面与平面的交线是 2 2 x y z + = = 8, 4. 选用柱坐标变换,令 x r y r z z = = = cos , sin , ,于是 : 0 2 ,0 4,0 2 z r z , 因此 2 2 I x y z dV ( ) = + + 4 2 2 2 0 0 0 ( ) z dz d r z rdr = + 2 4 2 4 0 0 2 4 2 r z r r r z dz = = = + 4 2 0 256 4 3 = = z dz . 四、(本题满分 6 分)
凶跨煮教育DUCATIOCUAKAOBorntowin【解析】曲线y=asinx,(xe[0,元)，则dy=acosxdx，所以1=J(1+y)dx+(2x+y)dy["[1+(asinx)° +(2x+asinx)-acosx]dxq1+a' sin'x+2axcosx+sin2xdx2=+aJsin xd+2af xcosxd+sin2xdx=n+a'],(cos x-1)d cosx+2aj, xd sinx+"sin2xd2x[cos xcosx +2[xsin +cosx]+[cos2x]=元+L34-4a元4a-4a两边对a求导数，其中a>0,并令I'=0,得对关于a的函数I=元+3I=4a-4=0I0.10)的极小值点，也是最小值点.故所求的曲线为故α=1为函数[=元+3y=sinx, (xe[0,)五、（本题满分8分.）【解析】按傅式级数公式，先求f(x)的傅式系数a,与b.因f(x）为偶函数，所以(x)sin xd =0 (n=1,2,3,),, (0) os x=()cosxdrS112= 2f(2 + x)cosnxdx = 4['cos nxdx+ xdsinn元xn元Jo2(cosn-1)2['sin n元xdx = 3(n=1,2,3,...),n元?n元
Born to win 【解析】曲线 y a x x = sin , ( [0, ]) ,则 dy a xdx = cos ,所以 3 (1 ) (2 ) L I y dx x y dy = + + + 3 0 [1 ( sin ) (2 sin ) cos ] a x x a x a x dx = + + + 2 3 3 0 1 sin 2 cos sin 2 2 a a x ax x x dx = + + + 2 3 3 0 0 0 sin 2 cos sin 2 2 a a xdx a x xdx xdx = + + + 2 3 2 0 0 0 (cos 1) cos 2 sin sin 2 2 4 a a x d x a xd x xd x = + − + + 2 3 3 0 0 0 1 cos cos 2 sin cos cos 2 3 4 a a x x a x x x x = + − + + + − 4 3 4 3 = + − a a . 对关于 a 的函数 4 3 4 3 I a a = + − 两边对 a 求导数,其中 a 0 ,并令 I = 0, 得 2 I a = − = 4 4 0 . 所以 a =1, 且 0,0 1 0,1 I a I a + . 故 a =1 为函数 4 3 4 ,( 0) 3 I a a a = + − 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 y x x = sin , ( [0, ]) . 五、(本题满分 8 分.) 【解析】按傅式级数公式,先求 f x( ) 的傅式系数 n a 与 n b .因 f x( ) 为偶函数,所以 1 ( )sin 0 ( 1,2,3, ) l n l n b f x xdx n l l − = = = , 0 1 2 ( )cos ( )cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l − = = 1 1 1 0 0 0 2 2 (2 )cos 4 cos sin x n xdx n xdx xd n x n = + = + 1 2 2 0 2 2(cos 1) sin ( 1,2,3, ) n n xdx n n n − = − = =