教学建议学习目标第六章矩阵与线性方程组86.1矩阵的概念$6.2矩阵运算86.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩S6.4线性方程组的消元解法
§ 6.1 矩阵的概念 § 6.2 矩阵运算 § 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 教学建议 学习目标 第六章 矩阵与线性方程组 § 6.4 线性方程组的消元解法
$6.4线性方程组的消元解法一：非齐次线性方程组的消元解法二，线性方程组解的判定
一. 非齐次线性方程组的消元解法 二. 线性方程组解的判定 §6.4 线性方程组的消元解法
一，非齐次线性方程组的消元解法设含有n个未知数m个方程的线性方程组...b全为零，即若常数项 b,b2'maX +a12X2 +...+ainXn =O,a21Xi +a22X2 +...+a2nX, =0V齐次线性mnx, =0..+a方程组am1Xi +am2X2 +..mn则称此方程组为齐次线性方程组
一 . 非齐次线性方程组的消元解法 设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 若常数项 , , . , 全为零,即 b1 b2 m b 则称此方程组为齐次线性方程组. + + + = + + + = + + + = 0. 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m m n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 齐次线性 方程组
a1x +ai2X2 +..+ainx, = b,a21Xi +a22X2 +...+a2nX, = b,.+a.x.Imxi +amx, +:mnmAba2a增广矩阵022aDA=haaam2mlmnm
增广矩阵 + + + = + + + = + + + = ., 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b = m m mn m nn a a a b a a a b a a a b 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ～ A A b
对于非齐次线性方程组AX=b,b+O.和齐次线性方程组AX=O要解决(1)方程组是否有解?如下三个问题(2)若有解,是否是唯一解？(3）如何求方程组的解？
对于非齐次线性方程组AX=b ,b≠O. 和 齐次线性方程组AX=O. 要解决 如下 三个问题 (1) 方程组是否有解? (2) 若有解, 是否是唯一解? (3) 如何求方程组的解?
案例用消元法解下列非齐次线性方程组A增广矩阵方程组11153Xi +3x2 +X = 5,A= 3 -3 14222xi +3x2 -3x3 =14,31５-71Xi +X2 +5x, = -7. 分别将A的第1行乘上数(-2)方程①乘上数(-2)、(-1)加到方程②和方程③上，得(-1)加到第2行和第3行上,得Xi +3x2 +X3 = 5, ①(1315r2 +(-2)r (~r +(-1)r-3x2 -5x3 = 4,④0 -3 -5 4A-2x2 +4x, =-12@0 -2 4 -12(未完待续)
用消元法解下列非齐次线性方程组 方程组 增广矩阵 + + = − + − = + + = 5 7. 2 3 3 14, 3 5, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ① ② ③ − + = − − − = + + = 2 4 12. 3 5 4, 3 5, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x ① ④ ⑤ − = − 1 1 5 7 2 3 3 14 1 3 1 5 − − − − 0 2 4 12 0 3 5 4 1 3 1 5 方程①乘上数(-2)、(-1)加 到方程②和方程③上, 得 ～ A ～ A ～ A 分别将 的第1行乘上数(-2)、 (-1)加到第2行和第3行上,得 ～ A 2 1 r +(−2)r 3 1 r + (−1)r (未完待续) 案 例
解案例（方程组与增广矩阵对照演示）方程组A增广矩Xi +3x +x, =5, ①345r2 +(-2)r~r +(-1)r-3x2 -5x3 = 4,@-5-3.A- 2x2 + 4x, = -12 @0 -2 4 -12把方程乘上(-一),得把上述矩阵的第3行乘上(-),得22X +3x2 +X3 = 5, ①153-3x2 -5x = 4,@0N-3-5X2 - 2x, =6. @0-261(未完待续)
解案例(方程组与增广矩阵对照演示) ① ④ ⑥ − = − − = + + = 2 6. 3 5 4, 3 5, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x − − − 0 1 2 6 0 3 5 4 1 3 1 5 − + = − − − = + + = 2 4 12. 3 5 4, 3 5, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x ① ④ ⑤ − − − − 0 2 4 12 0 3 5 4 1 3 1 5 ～ A 2 1 r +(−2)r 3 1 r + (−1)r 方程组 ～ A 把方程⑤乘上 ) ,得 2 1 (− 3 ) 2 1 (− r 把上述矩阵的第3行乘上 ) ,得 2 1 (− (未完待续)
解案例（方程组与增广矩阵对照演示）方程组增广矩AX + 3x, + x; = 5, ①5阵1-3x2 - 5x = 4,①0413150X2 -2x, = 6.@￥１-26交换上述矩阵的第2行和第交换方程①和方程③的3行,得位置,得5311x +3x2 +X3 = 5, ①r2 <>r60-2X2 -2xs =6, @0-3 -5 4)-3x2 - 5x3 = 4. @(未完待续)
解案例(方程组与增广矩阵对照演示) − − = − = + + = 3 5 4. 2 6, 3 5, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x ① ⑥ ④ − − − 0 3 5 4 0 1 2 6 1 3 1 5 ① ④ ⑥ − = − − = + + = 2 6. 3 5 4, 3 5, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x − − − 0 1 2 6 0 3 5 4 1 3 1 5 3 ) 2 1 (− r 方程组 ～ A 交换方程④和方程⑥的 位置,得 2 3 r r 交换上述矩阵的第2行和第 3行,得 (未完待续)
方程组A增广矩阵53Xi +3x2 +x, = 5, ①r6-2X2 -2x3 =6, @04-3 -5- 3x2 - 5x = 4. @为消去方程①未知量,将方程将上述矩阵第2行乘上的③乘上数3力口到方程④上，得数3加到第3行上，得阶梯形方程组5X +3x2 + X3 = 5, ①3r +3r-26X2 -2x3 = 6,@=A-11x, = 22. ①F11 220最阶梯形矩阵(未完待续)
− − = − = + + = 3 5 4. 2 6, 3 5, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x ① ⑥ ④ − − − 0 3 5 4 0 1 2 6 1 3 1 5 方程组 ～ A 增广矩阵 2 3 r r 为消去方程④未知量,将方程 ⑥乘上数3加到方程④上,得 将上述矩阵的第2行乘上 数3加到第3行上,得 − = − = + + = 11 22. 2 6, 3 5, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x ① ⑥ ⑦ = − − 0 0 11 22 0 1 2 6 1 3 1 5 3 2 r + 3r ～ A 1 阶梯形 方程组 (未完待续) 阶梯形矩阵
增广矩阵方程组A13Xi +3x2 +x= 5,516X2 -2x, = 6,6-211'3(8X3 = -2.001--2将x=-2代入前两个方程,即将上述矩阵第3行分别乘上数2、将方程③分别乘上数2、（-1)加到方程③和方程①上,得(-1),加到第2行和第1行上,得90= 7,+3x,r +2r@0=2,ri +(-1)r3002X2xg = -2.③001-2(未完待续)
方程组 ～ A = − − = + + = 2. 2 6, 3 5, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x ① ⑥ ⑧ − − 0 0 1 2 0 1 2 6 1 3 1 5 3 11 1 − r (未完待续) 将上述矩阵第3行分别乘上数2、 (-1),加到第2行和第1行上,得 将 代入前两个方程,即 将方程⑧分别乘上数2、(-1)加 到方程⑥和方程①上,得 2 x3 = − = − = + = 2. 2, 3 7, 3 2 1 2 x x x x ⑨ ⑩ ⑧ 0 0 1 − 2 0 1 0 2 1 3 0 7 1 3 r + (−1)r 2 2 3 r + r