教学建议学习目标第四章积分及其应用$4.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3禾积分的基本公式$ 4.4换元积分法$ 4.55分部积分法S4.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$ 4.2不定积分的概念与性质一.不定积分的概念二.不定积分的性质
一. 不定积分的概念 二. 不定积分的性质 §4.2 不定积分的概念与性质
一.1不定积分的概念1.原函数定义逆运算乘法除法逆运算微分法积分法但在许多实际问题中,常常在微分学中,我们所研究的需要研究相反问题,就是已知问题是寻求已知函数的导数函数的导数,求原来的函数
乘法 一 . 不定积分的概念 1. 原函数定义 微分法 逆运算 积分法 在微分学中,我们所研究的 问题是寻求已知函数的导数. 但在许多实际问题中,常常 需要研究相反问题,就是已知 函数的导数,求原来的函数. 除法 逆运算
案例已知曲线V=F(x)在横坐标为X 处的切线斜率为2x，且曲线过点(1,2),求该曲线V= F(x的方程这是已知曲线V= F(x)的切线斜率,求曲线方分析程的问题.依题设,切线斜率k=2x.fo又由导数的几何意义,切线斜率k=F(x)=2x.(x2) = 2x,我们已经知道，若C是任意常数，也有等式(x2 +C) = 2x.于是我们所求的曲线方程为y= F(x) =x? +C
案 例 已知曲线 y = F(x) 在横坐标为 x 处的切线 斜率为 2x, 且曲线过点 (1,2) ,求该曲线 y = F(x) 的方程. 分析 这是已知曲线 的切线斜率,求曲线方 程的问题. y = F(x) 又由导数的几何意义,切线斜率 k = F(x) = 2x. 我们已经知道, ( ) 2 , 2 x = x 若 C 是任意常数,也有等式 ( ) 2 . 2 x +C = x 于是我们所求的曲线方程为 ( ) . y = F x = x 2 +C 依题设,切线斜率 k = 2x
案例福已知曲线V=F(x)在横坐标为X 处的切线斜率为2x,且曲线过点(1,2),求该曲线y= F(x)的方程这是一族抛物线我们所求的曲线方程为y= F(x) = x2 +Cy而我们要求的是在这一族抛物线中过点(1,2)的那一条,即当x 二 1时,V=x2+1V=2.我们可以用这个条件来确定1.2X任意常数C,即 2=P+C,C=1.从而,所求的曲线方程为y = F(x) = x2 +1.0x
案 例 已知曲线 y = F(x) 在横坐标为 x 处的切线 斜率为 2x, 且曲线过点 (1,2) ,求该曲线 y = F(x) 的方程. 我们所求的曲线方程为 ( ) . 2 y = F x = x +C 这是一族抛物线 y 2 y = x 1 2 y = x + (1,2) 而我们要求的是在这一族抛物线中, 过点 的那一条,即当 时, 我们可以用这个条件来确定 任意常数 ,即 (1,2) x =1 y = 2. C 2 1 , 2 = +C C =1. 从而,所求的曲线方程为 ( ) 1. 2 y = F x = x + 1 (1,1) o x
逆运算微分法积分法微分法是研究如何从已而案例中的问题则是：已知函数求出其导函数知函数f(x)= 2x,要求一如已知函数F(x)=x,个函数F(x),使其导函数恰是：要求它的导函数：F(x) = f(x) = 2xF(x) = (x2) = 2x.已知函数F(x),要求已知导函数F(x),要逆问题它的导函数F(x)还原函数F(x)
微分法 逆运算 积分法 ( ) ( ) 2 . 2 F x = x = x 微分法是研究如何从已 知函数求出其导函数. 如已知函数 要求它的导函数: ( ) , 2 F x = x 而案例中的问题则是:已 知函数 ,要求一 个函数 ,使其导函数 恰是: f (x) = 2x F(x) 已知函数 ,要求 它的导函数 F(x) F(x). 已知导函数 ,要 还原函数 F(x). 逆问题 F(x) F(x) = f (x) = 2x
D=2x.称X-是函数2x的一个原函数C是任意常数x? ±y =2x.x2＋C是函数2x的无穷多个原函数由此可知，一个函数若有原函数,则它必有无穷多个原函数
( ) 2 . 2 x = x 称 是函数 的一个原函数 2 x 2x ( ) 2 . 2 x +C = x C 是任意常数 x 2 +C 是函数 2x 的无穷多个原函数 由此可知,一个函数若有原函数,则它必有无穷多个原函数
1.原函数定义定义4.2(原函数定义)在某区间I上,若有F'(x) = f(x) 或dF(x)= f(x)dx则称函数F(x)是函数,f(x)在该区间上的一个原函数例如,在区间(-o0,+o0)上,有(sin x)= cos x,所以sIn x是cosx 在该区间上的一个原函数原函数若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,的特性即F(x)= f(x),则对任意的常数C,函数族F(x)+C也是函数f(x)的原函数,且 F(x)+C包括了函数/(x)的所有原函数
1. 原函数定义 定义4.2 (原函数定义) 在某区间 I 上,若有 F(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx, 则称函数 F(x) 是函数 f (x) 在该区间上的一个原函数. 例如,在区间 (−,+) 上,有 (sin x) = cos x, 所以 sin x 是 cos x 在该区间上的一个原函数. 原函数 的特性 若函数 是函数 的一个原函数, 即 , F(x) f (x) F(x) = f (x) 则对任意的常数 ,函数族 也是函数 的原函数,且 包括了函数 的所有原函数. F(x) +C f (x) C F(x) +C f (x)
2.不定积分定义定义4.3（不定积分定义）,f(x)的所有原函数,称为f(x)的不定积分,记作函数被积函数积分变量f (x) dx = F(x) + C.积分号其中F'(x)= f(x)被积表达式求被积函数f(x)的不定积分,关键由不定积分的定义知是求出被积函数f(x)的一个原函数文 CF(x),然后再加上任意常数
2. 不定积分定义 定义4.3 (不定积分定义) 函数 f (x) 的所有原函数,称为 f (x) 的不定积分,记作 f (x)dx 被积表达式 被积函数 积分变量 积分号 = F(x) +C. 由不定积分的定义知 求被积函数 的不定积分,关键 是求出被积函数 的一个原函数 F(x), 然后再加上任意常数 f (x) f (x) C. 其中 F(x) = f (x)
2xdx = x2 + C;前述因 (x)=2x， 有因 (sin x)= cos x，有/cos xdx = sin x+C练习1求下列不定积分：(1) (a*dx;;(2) ( xadx (α±-1)解(1)被积函数f(x)=α，因为(α")=αlna,(ay=ar a=ar,故.于是ax +CaxdIn a特别地e*dx = e* + C
练习1 前述 解 ( ) 2 , 2 因 x = x 有 2 d ; 2 x x = x +C 因 (sin x) = cos x , 有 cos xdx = sin x +C. 求下列不定积分: (1) d ; a x x (2) x dx ( ). −1 (1)被积函数 ( ) , x f x = a 因为 (a ) a ln a, x x = 故 ln , ln 1 ( ) ln 1 ) ln( x x x x a a a a a a a a = = = 于是 . ln 1 d a C a a x x x = + 特别地 e dx e C. x x = +