考研数学历年真题：1988考研数学一、二、三答案

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准T数学（试卷一)X（本题满分15分，每小题5分）福()求幂级数(-3)"的收敛域n.3nn=l(x - 3)"+1(n+1).3n+1n解：因limx-3=x-3|,故=/x-3<即0<x<6时，limn-03(n+1)/(x-3)1+0n·3"幂级数收敛3分当x=0时，原级数成为交错级数（-1)"..4分，是收敛的nn=l当×=6时，原级数成为调和级数≥！是发散的.·.5分=in所以，所求的收敛域为[0,6)(2) 已知f(x)=e,f[p(x)]=1-x,且 β (x)≥0.求(x)并写出它的定义域解：由el0(x=1-x,得 ((x)=VIn(1-元)3分由ln(1-x)≥0，得1-x≥1即x≤0..·.5分所以p(x)=/in(1-x)，其定义域为(0,0)(3)设s为曲面x+y+=1的外侧，计算曲面积分/=xdydz+ydxdx+dxdyOD解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有[=3[[(x2+y2+=2)dv（其中Q是由S所围成的区域.·2分 dof dof'r2.r sin pdr31...4分12元..5分51988年·第1页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 1 页 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 一．(本题满分 15 分，每小题 5 分) (1) 求幂级数 1 ( 3) 3 n n n x n      的收敛域. 解：因 1 1 ( 3) ( 1) 3 1 lim lim 3 3 , ( 3) 3( 1) 3 3 n n n n n n x n n x x x n n               故 1 3 1 0 6 3 x x     即 时， 幂级数收敛. „„3 分 当 x  0 时，原级数成为交错级数 1 1 ( 1)n n n     ，是收敛的. „„4 分 当 x  6 时，原级数成为调和级数 1 1 n n    ，是发散的. „„5 分 所以，所求的收敛域为 0,6. (2) 已知 f(x)= e 2 x ,f ( ) x  =1-x,且  (x)  0.求  (x)并写出它的定义域. 解：由 2 [ ( )] 1 x e x    ，得 ( ) ln(1 ) x x   . „„3 分 由 ln(1 ) 0   x ，得 1 1  x 即 x  0 . „„5 分 所以 ( ) ln(1 ) x x   ，其定义域为 ( ,0).  (3)设 S 为曲面 1 2 2 2 x  y  z  的外侧，计算曲面积分     s I x dydz y dxdx z dxdy 3 3 3 . 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 2 2 2 I x y z dv 3 ( )      （其中  是由 S 所围成的区域） „„2 分 2 1 2 2 0 0 0 3 d sin d r r dr           „„4 分 12 5   . „„5 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准二、填空题：（本题满分12分，每小题3分），则f'()=(2t+1)e2(1)若f(t)=limt(1+J2,-kx0，且f()=0，则函数f(x)在点xo(A)(A）取得极大值(B）取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D）某个邻域内单调减少(3)设有空间区域2:x*+y2+2<R,≥0;及2:x+y+2<R,x≥0,y≥0,z≥0,则(C)(A) J], xdv=4]]xdv(B) J]], ydv=4j] ydvy(C) J]。 zdv=4][edv(D) J]], xyzdv=4[], xyzdv(4)若a,(x-1)"在x-1 处收敛，则此级数在x=2处(B)(A）条件收敛(B)绝对收敛(C）发散(D）收敛性不能确定(5)n维向量组α,α,,α,(3≤s≤n）线性无关的充分必要条件是(D)(A）有一组不全为0的数k,,",,使α+α+..+α,0(B）αα，α中任意两个向量都线性无关(C）αi,α2,α,中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出中任意一个向量都不能用其余向量线性表出(D) a,α2,,α,四.（本题满分6分）1988年·第2页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 2 页 二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分) (1) 若 f(t)= x lim t tx x 2 ) 1 (1 ，则 f t ( )  2 (2 1) t t e  (2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 1,1 上的定 f(x)=  2, 1 0 ,0 1 3      x x x ,则 f(x)的付立叶级 数在 x=1 处收敛于 2 3 . (3) 设 f(x)是连续函数，且    1 0 3 ( ) , x f t dt x 则 f(7)= 1 12 . (4) 设 4*4 矩阵 A= ( , ) 2, 3, 4     ，B= ( , ) 2, 3, 4     ，其中， 2 3, 4 ,, ,  均为 4 维列向量， 且已知行列式 A  4, B 1, 则行列式 A B =. 40 . 三、选择题 ( 本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 若函数 y=f(x)有 2 1 ( ) f  x0  ，则当 x 0 时，该函 x= 0 x 处的微分 dy 是 (B) (A) 与 x 等价的无穷小 (B) 与 x 同阶的无穷小 (C) 比 x 低阶的无穷小 (D) 比 x 高阶的无穷小 (2) 设 y f x  ( ) 是方程 y   2y   4y  0 的一个解，若 f x( ) 0  ，且 f (x0 )  0 ，则函数 f x( ) 在点 0 x (A) (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域 2 2 2 2 1  : x  y  z  R , z  0; 及 2 2 2 2 2  : x  y  z  R , x  0, y  0,z  0, 则 (C) (A)    1 2 xdv 4 xdv (B)    1 2 ydv 4 ydv (C)    1 2 zdv 4 zdv (D)    1 2 xyzdv 4 xyzdv (4) 若 n n n a (x 1) 1     在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 1 2 , , , (3 ) s      s n 线性无关的充分必要条件是 (D) (A) 有一组不全为 0 的数 1 2 , , , , s k k k  使 k k k 1 1 2 2         s s 0. (B) 1 2 , , ,     s 中任意两个向量都线性无关. (C) 1 2 , , ,     s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. (D) 1 2 , , ,     s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 四．(本题满分 6 分)

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准a'ua'u设u=yf(-)+xg(），其中fg具有二阶连续导数，求xax?axoyuo解··2分ax618..3分0FHou··5分-28二axoyya'uau=0所以x.6分+1ax?axoy五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y+2y=2e',且图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x）研捷....2分解：对应齐次方程的通解为Y=C,e+C,e2....3分设原方程的特解为y=Axe..4分得A=-2故原方程通解为y(x)=Ce*+C,e2x2xe2x.....5分7分又已知有公共切线得yl=o=l,yl=o=-1,[C +C, =1,M.·分即、解得c=1C=0C+2c,=1所以y=(1-2x)e2x六、（本题满分9分）设位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(k>0为常数，r为质点A与M之间的距离一)，质点M沿曲线y=/2x-x2自B(2,0)运动到O(0,0).求在此运动过程中质点A对质M点的引力所做的功解: MA=(0-x,1-y)2分r= yx +(1-y)M(x,y)因引力于的方向与MA一致，oR故了=k4分(-x,1-y)1988年·第3页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 3 页 设 ( ) ( ) x y xg y x u  yf  ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 2 2 2 u u x y x x y       . 解： . u x y y y f g g x y x x x                          „„2 分 2 2 2 3 1 . u x y y f g x y y x x                   „„3 分 2 2 2 . u x x y y f g x y y y x x                     „„5 分 所以 2 2 2 0 u u x y x x y          . „„6 分 五、(本题满分 8 分) 设函数 y=y(x)满足微分方程 3 2 2 , x y  y  y  e 且图形在点(0，1)处的切线与曲线 1 2 y  x  x  在该点的切线重合，求函数 y  y(x). 解：对应齐次方程的通解为 2 1 2 x x Y C e C e   . „„2 分 设原方程的特解为 * , x y Axe  „„3 分 得 A 2. „„4 分 故原方程通解为 2 2 1 2 ( ) 2 x x x y x C e C e xe    . „„5 分 又已知有公共切线得 0 0 | 1, | 1 x x y y       ， „„7 分 即 1 2 1 2 1, 2 1 c c c c        解得 1 2 c c   1, 0 . „„8 分 所以 2 (1 2 ) .x y x e   六、(本题满分 9 分) 设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 2 r k (k>0 为常数，r 为质点 A 与 M 之 间的距离—)，质点 M 沿曲线 2 y  2x  x 自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解： MA x y    {0 ,1 }  „„2 分 2 2 r x y    (1 ) . 因引力 f  的方向与 MA  一致， 故 3 { ,1 } k f x y r     . „„4 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准K从而W=..·6分J[-xdx+(1- )dy]=k-(1...9分下七、（本题满分6分）0000求A及AS0T20已知AP=PB,其中B=200-100解：先求出P-12-10·2分1012因AP=PB，故A=PBP-200n....分20P5个5个从而 A=AAAAA=(PBP-I) (PBP-I)..(PBP-I)=PB’p-I=PBP-I=A..·分八、（本题满分8分）(2002000与B=00相似，已知矩阵A=100011x(1)求x与y：(2)求一个满足 P-"AP=B的可逆矩阵P都即解：（1）因A与B相似，故E-AHE-B，1分00[2-2020元02一00-122亦即(-2)(--1)=(-2)(+(1-)-)1988年·第4页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 4 页 从而  3 [ (1 ) ] BO k W xdx y dy r      „„6 分 1 (1 ) 5    k . „„9 分 七、(本题满分 6 分) 已知 AP  PB,其中                         2 1 1 2 1 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 0 1 0 0 B P 求 A 及 5 A . 解：先求出 1 1 0 0 2 1 0 4 1 1 P               . „„2 分 因 AP  PB ，故 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 2 1 1 0 0 1 4 1 1 A PBP                           1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 1 0 2 0 0 2 0 1 4 1 1 6 1 1                                 . „„4 分 从而 5 5 5 1 1 1 5 1 1 A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A            个 个 （ ）( ) ( ) = = . „„6 分 八、(本题满分 8 分) 已知矩阵            x A 0 1 0 0 1 2 0 0 与             0 0 1 0 0 2 0 0 B y 相似， (1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足 P AP  B 1 的可逆矩阵 P . 解：(1) 因 A 与 B 相似，故 | | | |   E A E B    ，即 „„1 分 2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 y x               ， 亦即 2 2 ( 2)( 1) ( 2)( (1 ) )               x y y

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准(200002000B=1比较两边的系数得x=0,V=1.此时A：0.3分00001-1(2）从B可以看出A的特征值入=2,1,-1..4分对入=2，可求得A的特征向量为p棋00对=1，可求得A的特征向量为Pz07分对入=-1，可求得A的特征向量为P,因上述Pi,P2，P,是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关100则P可逆，且有P-IAP=B...·分令P=(pi,P2,P3)=00九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,bl上连续，且在(a,b)内有f'(x)>0.证明：在(a,b)内存在唯一的，使曲线y=f(x）与两直线y=（）x=a所围平面图形面积s是曲线y=f(x）与两直线y=（),x=a所围平面图形面积s,的3倍V证：存在性在[a,b]上任取一点t，令F(0) = 'tF(0) - f(x)]dx-3],L(t)- f()]dxf0)=F(0)(-a)-J (0)dx -3 ['f(x)dx-f(0)(b-1)3 分市则F(t)在[a,b]上连续又因f(x)>0,故(x)在[a,b]上是单调增加的于是在(a,b)内取定点c，有F(a)=-3["[f(x)-f(a)]dx=-3],Lf(x)-f(a)]dx-3]"[(x)-f(a)]dx≤-3['[f(x)-f(a)]dx =-3[f(5)-f(a)](b-c)<0, c≤5≤b .1988年·第5页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 5 页 比较两边的系数得 x y   0, 1.此时 200 0 0 1 0 1 0 A            ， 2 0 0 0 1 0 0 0 1 B             . „„3 分 (2) 从 B 可以看出 A 的特征值    2,1, 1. „„4 分 对   2 ，可求得 A 的特征向量为 1 1 0 0 p            . 对  1 ，可求得 A 的特征向量为 2 0 1 1 p            . 对  1 ，可求得 A 的特征向量为 3 0 1 1 p             . „„7 分 因上述 1 2 3 p p p , , 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令 1 2 3 1 0 0 ( , , ) 0 1 1 0 1 1 p p p              P ，则 P 可逆，且有 P AP  B 1 . „„8 分 九、(本题满分 9 分) 设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，且在 (a,b) 内有 f (x)  0 .证明：在 (a,b) 内存在唯一 的  ，使曲线 y  f (x) 与两直线 y  ( ), x  a 所围平面图形面积 1 s 是曲线 y  f (x) 与两直 线 y  ( ), x  a 所围平面图形面积 2 s 的 3 倍. 证：存在性 在 [ , ] a b 上任取一点 t ，令       b t t a F(t) [ f (t) f (x)]dx 3 [ f (x) f (t)]dx ( )( ) ( ) 3 ( ) ( )( ) t b a t f t t a f t dx f x dx f t b t                     „3 分 则 F t() 在 [ , ] a b 上连续. 又因 f (x)  0 ,故 f x( ) 在 [ , ] a b 上是单调增加的. 于是在 ( , ) a b 内取定点 c ，有 ( ) 3 [ ( ) ( )] 3 [ ( ) ( )] 3 [ ( ) ( )] b c b a a c F a f x f a dx f x f a dx f x f a dx            3 [ ( ) ( )] 3 ( ) ( ) ( ) 0,  1 1  b c           f x f a dx f f a b c c b   

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准F(b)=f'Lf(b)-f(x)dx= ["Lf(b)- f(x)]dx+ ["Lf(b)-f(x)ldx≥[Lf(b)-f(x)]dx =[f(b)-f(52)](c-a) >0, a≤5, ≤c.,.·.5分所以由介值定理知，在(α,b)内存在，使F(E)=0，即S,=3S2...·分唯一性因F'()=f(t)[(t-a)+3(b-)]>0,...·分故F(t)在(a,b)内是单调增加的.因此，在(a,b)内只有一个，使S=3S2.9分十、填空题（共6分，每个2分）19则(1）设三次独立实验中，事件A出现的概率相等若已知A至少出现一次的概率等于27-事件A在一次试验中出现的概率为317(2)在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为25(3）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知(x)2du12元Φ(2.5)=0.9938，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876十一、（本题满分6分），求随机变量Y=1-3/x的概率密设随机变量X的概率密度函数为(x）=元(1+x2)度函数f(y)解：因Y的分布函数1分F(y)= P(Y 1-=P(X>(-y)).2分dx1T3....4分-arctan(1 --arctanx2(1-)元(1+x元元-d3 (1-y)故Y的概率密度函数为f（y）F(y):6分dy元1+(1-)1988年·第6页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 6 页 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] b c b a a c F b f b f x dx f b f x dx f b f x dx          [ ( ) ( )] c a   f b f x dx         f b f c a a c ( ) ( ) ( ) 0,   2 2  . „„5 分 所以由介值定理知，在 ( , ) a b 内存在ξ ,使 F()  0 ，即 3 . 1 2 S  S „„6 分 唯一性 因 F t f t t a b t   ( ) ( )[( ) 3( )] 0      ， „„8 分 故 F(t) 在 ( , ) a b 内是单调增加的.因此，在 ( , ) a b 内只有一个ξ , 使 3 . 1 2 S  S „„9 分 十、填空题(共 6 分，每个 2 分) (1) 设三次独立实验中，事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率等于 27 19 ，则 事件 A 在一次试验中出现的概率为 1 3 . (2) 在区间 (0,1) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 5 6 ”的概率为 17 25 . (3) 设随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知 (x) = e du u x 2 2 2 1    ， (2.5)  0.9938 ，则 X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为 0.9876 . 十一、(本题满分 6 分) 设随机变量 X 的概率密度函数为 (1 ) 1 ( ) 2 x f x x    ，求随机变量 3 Y 1 X 的概率密 度函数 f ( y) Y . 解：因 Y 的分布函数 ( ) ( ) F y P Y y Y   „„1 分 3 3 3          P X y P X y P X y {1 } { 1 } { (1 ) } „„2 分 3 3 3 (1 ) (1 ) 2 1 1 arctan ar ( ctan(1 1 ) ) y y 2 dx x y x                        . „„4 分 故 Y 的概率密度函数为 f ( y) Y 3 6 3 (1 ) ( ) 1 (1 ) Y d y F y dy y       . „„6 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准数学（试卷二）（本题满分15分，每小题5分）(1）【同数学一第一、（1）题】(2)【同数学一第一、(2）题】考研提供(3)【同数学一第一、(3)题】二、填空题：（本题满分12分，每小题3分）(1)【同数学一第二、（1）题】(2)【同数学一第二、(2)题】(3)【同数学一第二、(3）题】(4)【同数学一第二、（4)题】三、选择题（本题满分15分，每小题3分）(1）【同数学一第三、（1）题】(2）【同数学一第三、(2)题(3）【同数学一第三、（3)题(4)【同数学一第三、（4）题】(5)【同数学一第三、（5)题）四.（本题满分18分，每小题6分）(1）【同数学一第四题福atsaeTX(2)计算sin-dy2y2y郝dy：TalrsgayLalesmg2yT'of'sind2y2-coscOs-4分d2(令=)=(2 + 元) .6分221988年·第7页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 7 页 数 学（试卷二） 一．(本题满分 15 分，每小题 5 分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】 二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】 三、选择题(本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】 四．(本题满分 18 分，每小题 6 分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算 dy y x dy dx y x dx x x   x    4 2 2 2 1 2 sin 2 sin   . 解： dy y x dy dx y x dx x x   x    4 2 2 2 1 2 sin 2 sin   2 2 1 sin 2 y y x dy dx y     „„3 分 2 1 2 cos cos 2 2 y y dy             . „„4 分 3 3 2 8 4 cos ( ) (2 ) 2 y t tdt t             令 . „„6 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准(3）求椭球面×2+2y2+3-2=21上某点M处的切平面元的方程，使平面元过已知直线1x-6_ y-3_22-1211解：令F(xy,2)=x+2y+3z-21则F=2x,F=4y,F=6z椭球面在点M(x0%,=。）处的切平面元的方程为2x(x-x)+4(y-y)+6z(z-z0)=0,即xox+2yy+3zoz=21..·2分因为平面元过直线L，故L上的任两点，比如点A(6,3,)B(0.0.)应满足元的方程，-代入有6x +6%+号=21(1)研提供(2)2o = 2又因x+2%+3z。=21,(3)4分于是有 x =3, % =0,z =2及x =1, =2,z0 =2故所求切平面元的方程为x+2z=7和x+4y+6z=21.·6分五、（本题满分8分）【同数学一第五题六、（本题满分9分）【同数学一第六题?七、（本题满分6分）【同数学一第七题八、（本题满分8分）【同数学一第八题第九题】九、（本题满分9分）【同数学海龙和1988年·第8页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 8 页 (3) 求椭球面 2 3 21 2 2 2 x  y  z  上某点 M 处的切平面  的方程，使平面  过已知直线 2 2 1 1 3 2 6 :      x  y z l . 解：令 2 2 2 F x y z x y z ( , , ) 2 3 21,     则 2 , 4 , 6 . F x F y F z x y z    椭球面在点 0 0 0 M x y z ( , , ) 处的切平面  的方程为 2 ( ) 4 ( ) 6 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 x x x y y y z z z       ,即 x x y y z z 0 0 0    2 3 21. „„2 分 因为平面  过直线 L，故 L 上的任两点，比如点 1 7 (6,3, ) (0,0, ) 2 2 A 、B 应满足  的方程， 代入有 0 0 0 3 6 6 21 2 x y z    (1) 0 z  2 (2) 又因 2 2 2 x y z 0 0 0    2 3 21, (3) 于是有 x y z x y z 0 0 0 0 0 0       3, 0, 2 1, 2, 2 及 . „„4 分 故所求切平面  的方程为 x z x y z     2 7 4 +6 21 和 . „„6 分 五、（本题满分 8 分）【 同数学一 第五题 】 六、（本题满分 9 分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分 6 分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分 8 分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分 9 分）【 同数学一 第九题 】

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准数学（试卷三）填空题（本题满分20分，每小题4分）fe2(sinx+cosx),x>0(I) 若f(x)=是(-0,8)上的连续函数，则α=2x+α,x≤0福(2）【同数学一第二、（1）题】提供(3）【同数学一第二、（3）题）tgx(4) lim(X->+0/xdx = 2(e° +1)5)二、选择题（本题满分20分，每小题4分）(1) f(x)=2+6x+1的图形在点（0，1）处切线与x轴交点的坐标是(A)X321(D) (1,0)(A) (-,0)(B) (-1,0)(C) (-.0)66(C)(2)若f(x)与g(x)在(-00,o0)上皆可导，且f(x）（g(x)，则必有(B) f(x)g(-x)f(t)dt<f,g(t)dt(C) lim f(x)< lim g(x)(D)→X(3）【同数学一第二（1）题】3(4）曲线y=sin?x(0≤x≤元）与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转(B)4422【B】(A)(B) (D)(C)元元3(5）【同数学一第三（5）题】都三、（本题满分15分，每小题5分）(1)【同数学一第一、（2）题】(2)已知y=1+xe，求yx=0及yx=0解：显然x=0时，y=1...·分y'=xe(xy'+y)+e=e(xy+xy+l)2分因此y-。=e°=1;3分1988年·第9页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 9 页 数 学（试卷三） 一、填空题 (本题满分 20 分，每小题 4 分) (1) 若         2 , 0 (sin cos ), 0 ( ) 2 x x e x x x f x  是 (,) 上的连续函数，则   1 . (2) 【 同数学一 第二、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、（3）题 】 (4) 0 1 lim( )tgx x x  1 . (5) 4 0 x e dx   2 2( 1) e  二、选择题 (本题满分 20 分，每小题 4 分) (1) 6 1 2 1 3 1 ( ) 3 2 f x  x  x  x  的图形在点（0，1）处切线与 x 轴交点的坐标是 (A) (A) 1 ( ,0) 6  (B) ( 1,0)  (C) 1 ( ,0) 6  (D) (1,0) (2) 若 f (x) 与 g(x) 在 (,) 上皆可导，且 f (x) 〈 g(x) ，则必有 (C) (A) f x g x ( ) ( )    (B) f x g x   ( ) ( )  (C) 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x    (D) 0 0 ( ) ( ) X x f t dt g t dt    (3) 【 同数学一 第二（1）题 】 (4) 曲线 sin (0 ) 2 3 y  x  x   与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所形成的旋转 (B) (A) 4 3 (B) 4 3  (C) 2 2 3  (D) 2 3  【B 】 (5) 【 同数学一 第三（5）题 】 三、(本题满分 15 分，每小题 5 分) (1) 【 同数学一第一、（2）题 】 (2) 已知 xy y 1 xe ，求 y  x  0 及 y  x  0 . 解： 显然 x  0 时， y 1. „„1 分 2 ( ) ( 1) xy xy xy y xe xy y e e x y xy          . „„2 分 因此 0 0 1 x y e     ； „„3 分

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988年数学试题参考解答及评分标准而y"=e"(xy"+2x+x'+y)+e"(xy+xy+1(xy+l)...4分即得y"l=0=e°+eo=2...5分1(3）求微分方程+的通解（一般解）x(x2+1)Ydd"dx+C解：=e..3分+1)XX棋1dx+c.4分[arctanx+Cl，其中c是任意常数..·5分四、（本题满分12分）6作函数y的图形，并填写下表x2-2x+4单调增加区间单调减少区间极值点极值凹(U)区间凸(）区间拐点渐近线解：(-00,1)单调增加区间(1分）(1, +)单调减少区间（2分）1极值点（3分）2极值(4分)(6分)凹区间(-00,0)及(2, +00)(0,2)凸区间（7分）3(0. 元)及(2, 拐点(9分）2y=0渐进线（10分）1988年·第10页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1988 年数学试题参考解答及评分标准 1988 年 • 第 10 页 而 2 2 ( 2 ) ( 1)( 1) xy xy y e x y xy xy y e x y xy xy               ， „„4 分 即得 0 0 0 | 2 x y e e      . „„5 分 (3) 求微分方程 ( 1) 1 1 2    x x y x y 的通解（一般解）. 解： 1 1 2 1 ( 1) dx dx x x y e e dx C x x              „„3 分 2 1 1 1 dx C x x           „„4 分   1 arctan x C x   ，其中 C 是任意常数. „„5 分 四、(本题满分 12 分) 作函数 2 4 6 2    x x y 的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹 () 区间 凸 () 区间 拐 点 渐近线 解： 单调增加区间 ( ,1)  （1 分） 单调减少区间 (1, )  （2 分） 极值点 1 （3 分） 极值 2 （4 分） 凹区间 ( ,0) (2, )   及 （6 分） 凸区间 (0,2) （7 分） 拐点 3 3 (0, ) (2, ) 2 2 及 （9 分） 渐进线 y  0 （10 分）