凶跨煮教育KUAKAOFDUICATIOIBorntowin1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）x+2g(1）设lim(=8,则a=Y0(2）设一平面经过原点及点(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为（3）微分方程y"-2y+2y=e的通解为(4)函数u=In(x+2+2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为02)12(5）设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=C0,则r(AB)=-103二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(x+ay)dx+ydy为某函数的全微分,则a等于（1）已知()(xr+y)?(A) -1(B) 0(cC) 1(D) 2(x)=1,则(2）设f(x)有二阶连续导数，且(0)=0，lim()=[x|(A）f(O)是f(x)的极大值(B）f(O)是f(x)的极小值(C）(O,f(O))是曲线y=f(x)的拐点(D）f(O)不是f(x)的极值，(O,f(O))也不是曲线y=f(x)的拐点(3)设a,>0(n=1,2.)，且a,收敛，常数e(0.),则级数(-1)"(ntan-a2Yn=ln=1(X(C)发散(A）绝对收敛(B）条件收敛(D）收敛性与入有关1
Born to win 1 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1) 设 2 lim( ) 8 x x x a → x a + = − ,则 a =_. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面 4 2 8 x y z − + = 垂直,则此平面方程为 _. (3) 微分方程 2 2 x y y y e − + = 的通解为_. (4) 函数 2 2 u x y z = + + ln( ) 在 A(1,0,1) 点处沿 A 点指向 B(3, 2, 2) − 点方向的方向导数 为_. (5) 设 A 是 4 3 矩阵,且 A 的秩 r A( ) 2 = ,而 1 0 2 0 2 0 1 0 3 B = − ,则 r AB ( ) = _. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知 2 ( ) ( ) x ay dx ydy x y + + + 为某函数的全微分,则 a 等于 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设 f x( ) 有二阶连续导数,且 f (0) 0 = , 0 ( ) lim 1 | | x f x → x = = ,则 ( ) (A) f (0) 是 f x( ) 的极大值 (B) f (0) 是 f x( ) 的极小值 (C) (0, (0)) f 是曲线 y f x = ( ) 的拐点 (D) f (0) 不是 f x( ) 的极值, (0, (0)) f 也不是曲线 y f x = ( ) 的拐点 (3) 设 0( 1,2, ) n a n = ,且 1 n n a = 收敛,常数 (0, ) 2 ,则级数 2 1 ( 1) ( tan ) n n n n a n = − ( ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与 有关
7跨考教育区KUAKAODUCATIOIBornto win(4）设f(x)有连续的导数，f(O)=0，f'(O)±0，F(x)=(x-t)f(t)dt且当x→0(时，F（x）与x是同阶无穷小，则k等于(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4aoob00b2a的值等于(1(5）四阶行列式0b,a,[b400a(A) aaaa-bbbb(B) aaaa +bb,b,ba(C) (aaz -bb,)(a,a -b,b,)(D) (aa,-b,b,)(a,a-bb,)三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）(1）求心形线r=a(1+cosの)的全长，其中a>0是常数(2)设x,=10，xa+1=/6+x（n=1,2,)，试证数列(x)极限存在，并求此极限.四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分.）(1）计算曲面积分[(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y(0≤z≤1)，其S法向量与z轴正向的夹角为锐角u=x-2yaz16022.0z02号=0化简为可把方程6(2)设变换=0,求常数a,，其ax?axoyQy?Ouov[u=x+ay中z=2(x,J)有二阶连续的偏导数五、（本题满分7分）1求级数亡一的和(n2-1)2"六、(本题满分7分)设对任意x>O，曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于f(t)dt,求f(x)的一般表达式七、(本题满分8分)2
Born to win 2 (4) 设 f x( ) 有连续的导数, f (0) 0 = , f (0) 0 , 2 2 0 ( ) ( ) ( ) x F x x t f t dt = − ,且当 x →0 时, F x ( ) 与 k x 是同阶无穷小,则 k 等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b b a b a 的值等于 ( ) (A) 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a b b b b − (B) 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a b b b b + (C) 1 2 1 2 3 4 3 4 ( )( ) a a b b a a b b − − (D) 2 3 2 3 1 4 1 4 ( )( ) a a b b a a b b − − 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1) 求心形线 r a = + (1 cos ) 的全长,其中 a 0 是常数. (2) 设 1 x =10 , 1 6 ( 1,2, ) n n x x n + = + = ,试证数列 xn 极限存在,并求此极限. 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.) (1) 计算曲面积分 (2 ) S x z dydz zdxdy + + ,其中 S 为有向曲面 2 2 z x y z = + (0 1) ,其 法向量与 z 轴正向的夹角为锐角. (2) 设变换 u x y 2 , u x ay = − = + 可把方程 2 2 2 2 2 6 0 z z z x x y y + − = 化简为 2 0 z u v = ,求常数 a ,其 中 z z x y = ( , ) 有二阶连续的偏导数. 五、(本题满分 7 分) 求级数 2 2 1 ( 1)2n n n = − 的和. 六、(本题满分 7 分) 设对任意 x 0 ,曲线 y f x = ( ) 上点 ( , ( )) x f x 处的切线在 y 轴上的截距等于 0 1 ( ) x f t dt x ,求 f x( ) 的一般表达式. 七、(本题满分 8 分)
凶跨煮教育KUAKAOEDUCATIOBorntowin设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件[f(x)飞a，1f"(x)b，其中a,b都是非.6负常数，c是(0,1)内任一点，证明f(c)飞2a+2八、（本题满分6分）设A=E-，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：（1）A=A的充要条件是T=1：（2）当T=1时，A是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已知二次型f(x，x2x)=5x+5x+cx-2xx+6xx-6x的秩为2.（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值：(2）指出方程f(x,xz,x)=1表示何种二次曲面十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）（1）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是)）的随机变量，则随机变量(2）设、n是两个相互独立且均服从正态分布NO,（2-n的数学期望E(-n)=十一、（本题满分6分.）设、n是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为P(=i)=3i=1,2,3, 又设X =max(5,n),Y=min(,n).(1）写出二维随机变量（X,Y）的分布律：X12T3123
Born to win 3 设 f x( ) 在 [0,1] 上具有二阶导数,且满足条件 | ( ) | f x a ,| ( ) | f x b ,其中 ab, 都是非 负常数, c 是(0,1)内任一点,证明 | ( ) | 2 2 b f c a + . 八、(本题满分 6 分) 设 T A E = − ,其中 E 是 n 阶单位矩阵, 是 n 维非零列向量, T 是 的转置,证明： (1) 2 A A = 的充要条件是 1 T = ；(2) 当 1 T = 时, A 是不可逆矩阵. 九、(本题满分 8 分) 已知二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x cx x x x x x x ( , , ) 5 5 2 6 6 = + + − + − 的秩为 2. (1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程 1 2 3 f x x x ( , , ) 1 = 表示何种二次曲面. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.) (1) 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 A 生产的概率是_. (2) 设 、 是两个相互独立且均服从正态分布 1 2 (0,( ) ) 2 N 的随机变量,则随机变量 − 的数学期望 E( ) − = _. 十一、(本题满分 6 分.) 设 、 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 的分布律为 1 3 P i = = , i =1,2,3,又设 X = max( , ) ,Y = min( , ) . (1) 写出二维随机变量 ( , ) X Y 的分布律： X Y 1 2 3 1 2 3
跨考教育XKUAKAOEDUCATIONBorntowin(2）求随机变量X的数学期望E(X）1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.）(1）【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.x-a3axx+2a3alim()3a x-a)*=lim(1+方法一：X→o0x-aX-0x-a3a今=1,则当x→00时,t→0,x-a1x-a3a则)3alim(1+=lim(1+t)"=e,x->ot-→0x-alin 3arlim3ax+2a30即lim(err-a=ex-*=6X00x-a由题设有e3a=8,得a==ln8=ln234
Born to win 4 (2) 求随机变量 X 的数学期望 E X( ) . 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 ln 2 【解析】这是 1 型未定式求极限. 方法一： 3 3 2 3 lim( ) lim(1 ) x a ax x a x a x x x a a x a x a − − → → + = + − − , 令 3a t x a = − ,则当 x → 时, t →0, 则 1 3 0 3 lim(1 ) lim(1 ) x a a t x t a t e x a − → → + = + = − , 即 3 3 lim lim 2 1 3 lim( ) x x ax a x a x a x x a e e e x a → − → → + = = = − . 由题设有 3 8 a e = ,得 1 ln8 ln 2 3 a = =
跨煮教育KUAKADCATBorntowin.242a2a2a2a)1+1+liml1+elax+2gXAx= lim=lim方法二a01-lim1x1由题设有e3a=8,得a=-In8=In2.3(2）【答案】2x+2y-3z=0【解析】方法一：所求平面过原点O与M。(6,-3,2)，其法向量n1OM。=(6,-3,2)；平面垂直于已知平面4x-y+2z=8，它们的法向量也互相垂直：n1n，={4,-12]：jijknl/OM,xng =|6 -3 2=-4i-4j+6k.由此，4-12取n=2i+2j-3k，则所求的平面方程为2x+2y-3z=0方法二：所求平面即为过原点，与两个不共线的向量（一个是从原点到点M。（6,-3,2)的向量OM。={6,-3,2),另一是平面4x-y+2z=8的法向量n。=4,-1,2))平行的平面，x即6-32=0,即2x+2y-3z=0.4-1 2(3)【答案】e*(c,cosx+C,sinx+1)【解析】微分方程y"-2y'+2y=e所对应的齐次微分方程的特征方程为r?-2r+2=0，解之得ri,2=1±i.故对应齐次微分方程的解为y=e*(C,cosx+C,sinx)，由于非齐次项ex,α=1不是特征根，设所给非齐次方程的特解为y(x)=ae，代入y"-2y+2y=e得a=1（也不难直接看出y（x）=e），故所求通解为y=e(C, cosx+C, sinx)+e"=e"(C, cosx+C, sinx+l)【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：设y（x）是二阶线性非齐次方程y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程5
Born to win 5 方法二： 2 2 2 3 ( ) 2 2 2 1 1 lim 1 2 lim lim lim 1 1 lim 1 x x a x a x a x a x x a x x x a a x a a a x a e x x x e x a e a a a x x x → → → → − − − → + + + + = = = = = − − − − , 由题设有 3 8 a e = ,得 1 ln8 ln 2 3 a = = . (2)【答案】 2 2 3 0 x y z + − = 【解析】方法一：所求平面过原点 O 与 0 M (6, 3,2) − ,其法向量 n OM ⊥ = − 0 6, 3,2 ； 平面垂直于已知平面 4 2 8 x y z − + = ,它们的法向量也互相垂直： n n ⊥ = − 0 4, 1,2 ； 由此, 0 0 // 6 3 2 4 4 6 4 1 2 i j k n OM n i j k = − = − − + − . 取 n i j k = + − 2 2 3 ,则所求的平面方程为 2 2 3 0 x y z + − = . 方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点 0 M (6, 3,2) − 的向量 OM0 = − 6, 3,2 ,另一是平面 4 2 8 x y z − + = 的法向量 n0 = − 4, 1,2 )平行的平面, 即 6 3 2 0 4 1 2 x y z − = − ,即 2 2 3 0 x y z + − = . (3)【答案】 1 2 ( cos sin 1) x e c x c x + + 【解析】微分方程 2 2 x y y y e − + = 所对应的齐次微分方程的特征方程为 2 r r − + = 2 2 0 ,解之得 1,2 r i = 1 .故对应齐次微分方程的解为 1 2 ( cos sin ) x y e C x C x = + . 由于非齐次项 , 1 x e = 不是特征根,设所给非齐次方程的特解为 * ( ) x y x ae = ,代入 2 2 x y y y e − + = 得 a =1 (也不难直接看出 * ( ) x y x e = ),故所求通解为 1 2 1 2 ( cos sin ) ( cos sin 1) x x x y e C x C x e e C x C x = + + = + + . 【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设 * y x( ) 是二阶线性非齐次方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解.Y x( ) 是与之对应的齐次方程
凶跨煮教育AKAOEDUCATIBorn to winy"+P(x)y+Q(x)y=0的通解，则y=Y(x)+(x)是非齐次方程的通解②二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即y"+P(x)y+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y"+py'+gy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0，在复数域内解出两个特征根r,：分三种情况：(1）两个不相等的实数根ri,r2，则通解为y=Ce"+Cze"；(2）两个相等的实数根r=r，则通解为y=(C,+Cx)e；(3）一对共轭复根riz=α±iβ，则通解为y=e*(C,cosβx+C,sinβx).其中C,C为常数。③对于求解二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解y(αx)，可用待定系数法，有结论如下：如果f(x)=Pm(x)ex,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)=x*Om(x)eax的特解，其中Om(x)是与Pm(x)相同次数的多项式，而k按入不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)=e[P(x)cosのx+P(x)sinのxl,则二阶常系数非齐次线性微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的特解可设为y =*e[R(x)cos ox+ R(2(x)sin ox],其中R("(x)与R(2)(α)是m次多项式，m=max(l,n),而k按+io（或入-io)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(4）【答案】2uu，然后按方向导数的计算公式【分析】先求方向］的方向余弦和ax'ay"ozouOu_OuauCOsB+cos求出方向导数cosaazalaxay【解析】因为7与 AB同向,为求的方向余弦,将AB=[3-1,-2-0,2-1)=(2,-2,1)6
Born to win 6 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 的通解,则 * y Y x y x = + ( ) ( ) 是非齐次方程的通解. ② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 Y x( ) ,可用特征方程法求解：即 y P x y Q x y + + = ( ) ( ) 0 中的 P x( )、Q x( ) 均是常数,方程 变为 y py qy + + = 0 .其特征方程写为 2 r pr q + + = 0 ,在复数域内解出两个特征根 1 2 r r, ； 分三种情况： (1) 两个不相等的实数根 1 2 r r, ,则通解为 1 2 1 2 ; rx r x y C e C e = + (2) 两个相等的实数根 1 2 r r = ,则通解为 ( ) 1 1 2 ; rx y C C x e = + (3) 一对共轭复根 1,2 r i = ,则通解为 ( 1 2 cos sin .) x y e C x C x = + 其中 1 2 C C, 为常数. ③ 对于求解二阶线性非齐次方程 y P x y Q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的一个特解 * y x( ) ,可用待 定系数法,有结论如下： 如果 ( ) ( ) , x m f x P x e = 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 * ( ) ( ) k x m y x x Q x e = 的特解,其中 ( ) Q x m 是与 ( ) P x m 相同次数的多项式,而 k 按 不是特征方程的根、是特征方 程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2. 如果 ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x = + ,则二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f x + + = ( ) ( ) ( ) 的特解可设为 * (1) (2) [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x R x x = + , 其中 (1) ( ) R x m 与 (2) ( ) R x m 是 m 次多项式, m l n = max , ,而 k 按 +i (或 −i )不是特征 方程的根、或是特征方程的单根依次取为 0 或 1. (4)【答案】 1 2 【分析】先求方向 l 的方向余弦和 , , uuu x y z ,然后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u l x y z = + + 求出方向导数. 【解析】因为 l 与 AB 同向,为求 l 的方向余弦,将 AB = − − − − = − 3 1, 2 0,2 1 2, 2,1
7跨考教育XKUAKAODCATABorn to winABi单位化，即得[2,-2,1] = {cosα,cos β,cosy][ABI2将函数u=ln(x+y2+2)分别对x,y,z求偏导数得oul112axlAx+yy2+22ou2=0,ay4y?+z2)1(r-0.1ouA1TOz4/?+=2x(1,0,1)OuQuOuOu所以cosα+cos β+cOSal4axlaOz/Aayla121211+0x（X+XP32233(5）【答案】221002【解析】因为|B=0=10±0,所以矩阵B可逆，故r(AB)=r(A)=2-103【相关知识点】r(AB)≤min(r(A),r(B).若A可逆,则r(AB)≤r(B)=r(EB)=r[A-'(AB))≤r(AB),从而r(AB）=r(B)，即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(1)【答案】(D)ydy(x+ay)dx【解析】由于存在函数u(x,J)，使得du=（(x+y))(x+y)?由可微与可偏导的关系，知ououx+ayyax(x+y)?(x+y)?y分别对y,x求偏导数，得7
Born to win 7 单位化，即得 1 2, 2,1 cos ,cos ,cos | | 3 AB l AB = = − = . 将函数 2 2 u x y z = + + ln( ) 分别对 x y z , , 求偏导数得 2 2 (1,0,1) 1 1 A 2 u x x y z = = + + , 2 2 2 2 (1,0,1) 0 A ( ) u y y x y z y z = = + + + , 2 2 2 2 (1,0,1) 1 A ( ) 2 u z z x y z y z = = + + + , 所以 cos cos cos A A A A u u u u l x y z = + + 1 2 2 1 1 1 0 ( ) 2 3 3 2 3 2 = + − + = . (5)【答案】 2 【解析】因为 1 0 2 0 2 0 10 0 1 0 3 B = = − ,所以矩阵 B 可逆,故 r AB r A ( ) ( ) 2 = = . 【相关知识点】 r AB r A r B ( ) min( ( ), ( )) .若 A 可逆,则 1 r AB r B r EB r A AB r AB ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) − = = . 从而 r AB r B ( ) ( ) = ,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D) 【解析】由于存在函数 u x y ( , ) ,使得 2 2 ( ) ( ) ( ) x ay dx ydy du x y x y + = + + + , 由可微与可偏导的关系,知 2 ( ) u x ay x x y + = + , 2 ( ) u y y x y = + , 分别对 y x, 求偏导数,得
7跨考教育XKUAKAOEDUCATIORBorntowin"u_ a(x+ y) -(x+ay).2(x+ y)_ (a-2)x-ayaxdy(x+y)*(x+y)3u--2yayax(x+y)3uouau上'u由于、一连续，所以即ayax"axayayaxaxoy-2y(a-2)x-ay?a=2,(x+y)(x+y)3故应选(D).(2）【答案】(B)f"(x)【解析】因为f(x）有二阶连续导数，且lim1>0.所以由函数极限的局部保号性x-→0Ix|可知,在x=0的空心领域内有>0,即,“(1)>0,所以F(x)为单调递增。Ix又由f(O)=0，f(x)在x=0由负变正，由极值的第一充分条件，x=0是f(x)的极小值点，即f(O)是f(x)的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设limf(x)=A若A>0（或A0,当r00 (或 f(x)0.n-→+oazn2因为a2n收敛，所以limntan一α2,也收敛，所以原级数绝对收敛，应选(A).x→+00nn=l8
Born to win 8 2 2 4 3 ( ) ( ) 2( ) ( 2) ( ) ( ) u a x y x ay x y a x ay x y x y x y + − + + − − = = + + , 2 3 2 ( ) u y y x x y − = + . 由于 2 u y x 与 2 u x y 连续,所以 2 2 u u y x x y = ,即 3 3 ( 2) 2 ( ) ( ) a x ay y x y x y − − − = + + = a 2, 故应选(D). (2)【答案】(B) 【解析】因为 f x( ) 有二阶连续导数,且 0 ( ) lim 1 0, | | x f x → x = 所以由函数极限的局部保号性 可知,在 x = 0 的空心领域内有 ( ) 0 | | f x x ,即 f x ( ) 0 ,所以 f x ( ) 为单调递增. 又由 f (0) 0 = , f x ( ) 在 x = 0 由负变正,由极值的第一充分条件, x = 0 是 f x( ) 的极 小值点,即 f (0) 是 f x( ) 的极小值.应选(B). 【相关知识点】极限的局部保号性：设 0 lim ( ) . x x f x A → = 若 A 0 (或 A 0 ) 0, 当 0 0 − x x 时, f x( ) 0 (或 f x( ) 0 ). (3)【答案】(A) 【解析】若正项级数 1 n n a = 收敛,则 2 1 n n a = 也收敛,且当 n → + 时,有 tan lim ( tan ) lim n n n n n n →+ →+ = = . 用比较判别法的极限形式,有 2 2 tan lim 0 n n n n a n a →+ = . 因为 2 1 n n a = 收敛,所以 2 lim tan n x n a n →+ 也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A)
7跨考教育XKUAKAOEDUCATIOIBorntowin【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设≥u，和，都是正项级数，且lim=A,则n=n-aUnn=1同时收敛或同时发散；(1)当00xk故应选(C)α(x)lim【相关知识点】设在同一个极限过程中，α(x),β(x)为无穷小且存在极限=1β(x)(1）若1±0,称α(x),β(x)在该极限过程中为同阶无穷小；(2）若1=1,称α(x),β(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为α(x)~β(x)：(3）若1=0,称在该极限过程中α(x)是β(x)的高阶无穷小,记为α(x)=(β(x)9
Born to win 9 【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式： 设 1 n n u = 和 1 n n v = 都是正项级数,且 lim , n n n v A → u = 则 (1) 当 0 + A 时, 1 n n u = 和 1 n n v = 同时收敛或同时发散； (2) 当 A= 0 时,若 1 n n u = 收敛,则 1 n n v = 收敛；若 1 n n v = 发散,则 1 n n u = 发散； (3) 当 A = + 时,若 1 n n v = 收敛,则 1 n n u = 收敛；若 1 n n u = 发散,则 1 n n v = 发散. (4)【答案】(C) 【解析】用洛必达法则. 由题可知 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) x x F x x f t dt t f t dt = − , 对该积分上限函数求导数,得 2 2 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt = + − = , 所以 0 0 1 0 0 0 2 ( ) 2 ( ) ( ) lim lim lim x x k k k x x x F x x f t dt f t dt x x x → → → − = = 2 3 0 0 2 ( ) 2 ( ) lim lim ( 1) ( 1)( 2) k k x x f x f x k x k k x → → − − − − − 洛 洛 . 因为 F x ( ) 与 k x 是同阶无穷小,且 f (0) 0 ,所以 3 0 2 ( ) lim ( 1)( 2) k x f x k k x → − − − 为常数,即 k = 3 时 有 3 0 0 ( ) 2 ( ) lim lim (0) 0 ( 1)( 2) k k x x F x f x f x k k x → → − = = − − , 故应选(C). 【相关知识点】设在同一个极限过程中, ( ), ( ) x x 为无穷小且存在极限 ( ) lim ( ) x l x = , (1) 若 l 0, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若 l = 1, 称 ( ), ( ) x x 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ( ) ( ) x x ； (3) 若 l = 0, 称在该极限过程中 ( ) x 是 ( ) x 的高阶无穷小,记为 ( ) ( ) x o x = ( )
7跨考教育KUAKADUCATIOIBorntowinα()不存在(不为),称α(x),β(x)不可比较若limβ(x)(5）【答案】(D)【解析】可直接展开计算，Ja2b,0loab,00D=ab,bs-b,as1ay000ba0a4a2b2Ja2 ba-b,b=a,as=(aa -b,b,)(aa-bb)bebsasa所以选(D).三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）（1）【解析】由极坐标系下的弧微分公式得ds=Jr()+r2(0)de=a./+cos0)?+sin?odo00.0=a-2(1+cos0)do=2acosde2由于r=r(0)=a(1+cosの)以2元为周期，因而的范围是e[0,2元]又由于r(の)=r(-の)，心形线关于极轴对称.由对称性，076ds =4aj,cosdo=8a sing=8a2o1(2）【解析】用单调有界准则.由题设显然有x,>0,数列(x)有下界证明x,单调减：用归纳法.x2=/6+x=/6+10=4<x；设x<x-1，则X+1 = 6+x, </6+X- = Xn.由此，x,单调减.由单调有界准则，limx,存在设limx,=a,(a≥0)，在恒等式x+=6+x，两边取极限，即limxn1=lim/6+x=a=/6+a解之得a=3（a=-2舍去）.10
Born to win 10 若 ( ) lim ( ) x x 不存在(不为 ),称 ( ), ( ) x x 不可比较. (5)【答案】(D) 【解析】可直接展开计算, 2 2 2 2 1 3 3 1 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b D a b a b b a a b = − 2 2 2 2 1 4 1 4 2 3 2 3 1 4 1 4 3 3 3 3 ( )( ) a b a b a a b b a a b b a a b b b a b a = − = − − , 所以选(D). 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得 2 2 2 2 ds r r d a d = + = + + ( ) ( ) (1 cos ) sin 2(1 cos ) 2 cos 2 a d a d = + = . 由于 r r a = = + ( ) (1 cos ) 以 2 为周期,因而 的范围是 [0, 2 ] . 又由于 r r ( ) ( ) = − ,心形线关于极轴对称.由对称性, 0 0 0 2 4 cos 8 sin 8 2 2 s ds a d a a = = = = . (2)【解析】用单调有界准则. 由题设显然有 0 n x ,数列 xn 有下界. 证明 n x 单调减：用归纳法. 2 1 1 x x x = + = + = 6 6 10 4 ；设 n n 1 x x − ,则 1 1 6 6 n n n n x x x x + − = + + = . 由此, n x 单调减.由单调有界准则, lim n n x →+ 存在. 设 lim ,( 0) n n x a a →+ = ,在恒等式 1 6 n n x x + = + 两边取极限,即 1 lim lim 6 6 n n n n x x a a + →+ →+ = + = + , 解之得 a = 3 ( a =−2 舍去)