K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析、选择题：18小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)设函数f(x)在(-0,+oo)内连续，其中二阶导数f"(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为（）(D) 3(A)0(B)1(C) 2【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f"（x)的图形可得，曲线y=f(x)存在两个拐点.故选（C）1. 2 +(x1)e是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay'+by=ce的(2)设y=一24个特解，则（)(A) a=-3,b=2,c=-(B) a=3,b=2,c=(C) a=-3,b=2,c(D) a=3,b=2,c=1【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题—一已知解来确定微分方程此类题有两种解法，的系数，1种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法2xer为二阶常系数齐次微分方程y"+ay+by=0的解，【解析】由题意可知，23所以2.1为特征方程r2+ar+b=0的根，从而a=-(1+2）=-3，b=1×2=2，从而原方程变为y"-3y+2y=ce，再将特解y=xe代入得c=-1.故选（A）(3）若级数a,条件收敛，则x=/与x=3依次为幂级数na,(x-1)"的（）n=ln=l(A）收敛点，收敛点经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)设函数 f x( ) 在 (− + , ) 内连续，其中二阶导数 f x ( ) 的图形如图所示，则曲线 y f x = ( ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点， 并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由 f x ( ) 的图形可得， 曲线 y f x = ( ) 存在两个拐点.故选（C）. (2)设 1 1 2 ( ) 2 3 = + − x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = x y ay by ce 的一 个特解，则( ) (A) a b c = − = = − 3, 2, 1 (B) a b c = = = − 3, 2, 1 (C) a b c = − = = 3, 2, 1 (D) a b c = = = 3, 2, 1 【答案】（A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程 的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估 系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知， 1 2 2 x e 、 1 3 x − e 为二阶常系数齐次微分方程 y ay by + + = 0 的解， 所以 2,1 为特征方程 2 r ar b + + = 0 的根，从而 a = − + = − (1 2) 3 ，b = = 1 2 2 ，从而原方 程变为 3 2 x y y y ce − + = ，再将特解 x y xe = 代入得 c =−1.故选（A） (3) 若级数 1 = n n a 条件收敛，则 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1) = − n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG(B）收敛点，发散点(C）发散点，收敛点(D）发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质【解析】因为a,条件收敛，即x=2为幂级数a,(x-1)"的条件收敛点，所以--Zα,(x-1)"的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故nsl≥na,(x-1)"的收敛区间还是(0,2),因而x=V3与x=3依次为幂级数二na,(x-1)"的n=l-收敛点，发散点.故选（B）3围成的平面(4）设D是第一象限由曲线2xy=1，与直线y=x，区域，函数f(x,y）在D上连续，则（f（xy)dxdy0edeme(A)f (rcos,rsine)rdr42sin20deVsin20(B)f(rcose,rsin)rd2sin20idefsin20(C)(rcose.rsine)dr2sin20(D) [de[Vm20 f (rcose,rsin0)dr2sin20【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，edefin20所以 [[ f(x,J)dxdy= [f(rcos,rsin)rdrD4J2sin20故选（B)112若集合Q=(1,2)，则线性方程组Ax=b有(5）设矩阵Ahd-4a?d?经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a = 条件收敛，即 x = 2 为幂级数 1 ( 1)n n n a x = − 的条件收敛点，所以 1 ( 1)n n n a x = − 的收敛半径为 1，收敛区间为 (0,2) .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 ( 1)n n n na x = − 的收敛区间还是 (0,2) .因而 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1)n n n na x = − 的 收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设 D 是第一象限由曲线 2 1 xy = ，4 1 xy = 与直线 y x = ， y x = 3 围成的平面 区域，函数 f x y ( , ) 在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy = ( ) (A) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr cos , sin (B) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr cos , sin (C) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr cos , sin (D) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr cos , sin 【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出 D 的图形， 所以 ( , ) D f x y dxdy = 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr ( cos , sin ) ， 故选（B） (5) 设矩阵 2 1 1 1 1 2 1 4 A a a = ， 2 1 b d d = ，若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有 x y o
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG无穷多解的充分必要条件为()(A) a,d(B) a@,de(C)aeQ,d(D) a,de【答案】(D)1(1 1(111201a-1d-1【解析】(A,b)=9d1(14α2d?00 (a-1)(a-2))(d-1(d-2))由r(A)=r(A,b)<3，故a=l或a=2，同时d=1或d=2.故选(D)(6)设二次型f(,2,）在正交变换为x=Py下的标准形为2+-，其中P=(e,e,e），若Q=(e,-ée），则f(x,)在正交变换x=y下的标准形为(A) 2y2 -y+y?(B) 2+-T(C) 2-2-(D) 2y++【答案】(A)【解析I由x=Py，故f=xAx=y(PTAP)y=2+y-且PTAP00100= PC01由己知可得：Q=Po-10)(2 0 0)故有O"AQ=CT(PTAP)C=0-1(0 01所以f=xAx=y(QTAO)y=2-+选（A)经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a d , (B) a d , (C) a d , (D) a d , 【答案】(D) 【解析】 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) 1 2 0 1 1 1 1 4 0 0 ( 1)( 2) ( 1)( 2) A b a d a d a d a a d d = → − − − − − − ， 由 r A r A b ( ) ( , ) 3 = ，故 a =1 或 a = 2 ，同时 d =1 或 d = 2.故选（D） (6)设二次型 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换为 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ，其中 P e e e = ( 1 2 3 , , ) ，若 Q e e e = − ( 1 3 2 , , ) ，则 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换 x Qy = 下的标准形为 ( ) (A) 2 2 2 1 2 3 2y y y − + (B) 2 2 2 1 2 3 2y y y + − (C) 222 1 2 3 2yyy − − (D) 222 1 2 3 2yyy + + 【答案】(A) 【解析】由 x Py = ，故 2 2 2 1 2 3 ( ) 2 T T T f x Ax y P AP y y y y = = = + − . 且 2 0 0 0 1 0 0 0 1 T P AP = − . 由已知可得: 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Q P PC = = − 故有 200 ( ) 0 1 0 0 0 1 T T T Q AQ C P AP C = = − 所以 2 2 2 1 2 3 ( ) 2 T T T f x Ax y Q AQ y y y y = = = − + .选（A）
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG(7)若A,B为任意两个随机事件，则(1(A) P(AB)≤P(A)P(B)(B) P(AB)≥P(A)P(B)(D) P(AB)≥ P(4)P(B)(C) P(AB)≤P(4)P(B)22【答案】(C)【解析】由于ABA,ABB，按概率的基本性质，我们有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),从而 P(AB)≤ JP(A)·P(B)≤P(A)+ P(B),，选(C)2(8)设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3，则EY(Y+Y-2))=1((A) -3(B) 3(C) -5(D) 5【答案】(D)【解析】 E[X(X +Y -2)]= E(X?+XY-2X)-E(X)+E(XY)-2E(X)= D(X)+E(X)+E(X)·E(Y)-2E(X)=3+22+2×1-2×2选（D)二、填空题：9~14小题，每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上Incosx(9) limX21【答案】0【分析】此题考查”型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换-sinx1In(cosx)-tanxcos.x【解析】方法一-lim-= limlim2x2xX-0x-→>02xx-→0In(cos x)In(1+cosx-1)cOsx-2.方法二：lim-limlimlimx2x2x2x-→0x-→0x-→01-sinxxDdx（10）COS元【答案】4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (B) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (C) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB (D) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB 【答案】(C) 【解析】由于 AB A AB B , ，按概率的基本性质，我们有 P AB P A ( ) ( ) 且 P AB P B ( ) ( ) ，从而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB P A P B + ，选(C) . (8)设随机变量 X Y, 不相关，且 EX EY DX = = = 2, 1, 3 ，则 ( + − = 2) E X X Y ( ) (A) −3 (B) 3 (C) −5 (D) 5 【答案】(D) 【解析】 2 2 E X X Y E X XY X E X E XY E X [ ( 2)] ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) + − = + − = + − 2 = + + − D X E X E X E Y E X ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 = + + − = 3 2 2 1 2 2 5，选(D) . 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 2 0 ln cos lim _ . x x → x = 【答案】 1 2 − 【分析】此题考查 0 0 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一： 2 0 0 0 sin ln(cos ) tan 1 cos lim lim lim . x x x 2 2 2 x x x x → → → x x x − − = = = − 方法二： 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ln(cos ) ln(1 cos 1) cos 1 1 2 lim lim lim lim . x x x x 2 x x x x → → → → x x x x − + − − = = = = − (10) 2 2 sin ( )d _. 1 cos x x x x − + = + 【答案】 2 π 4 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORGsinx【解析】1+cos(1)若函数≥=≥(x,)由方程e°+xyz+x+cosx=2确定，则d=(o.1)=【答案】-dx【分析】此题考查隐函数求导【解析】令F(x,y,z)=ei+xyz+x+cosx-2，则F(x,y,z)= yz +1-sin x, F'= xz, F(x, y,2)=e +xy又当x=0,y=1时e=1，即z=0F'(0,1,0)_ F(0,1,0) - -1 =所以=0, 因而 dl(o.1--dx.ax/(o,1)ylonF'(0,1,0)F'(0,1,0)(12)设Q是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则([(x+2y+ 3z)dxdydz =C【答案】！4【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算【解析】由轮换对称性，[[(x + 2y+ 32)dxdydz - 6] zdxdydz- 6], zd-[[ dxdy,p其中D为平面二==截空间区域Q所得的截面，其面积为二(1-2)所以(1-2)dz=3["(3 -22 +2)dz = [[(x+ 2y+32]dxdyd -6[[ zdxdydz = 6].4200202(13）n阶行列式?020...0201【答案】2"+1-2【解析】按第一行展开得经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 【解析】 2 2 2 0 2 sin 2 . 1 cos 4 x x dx xdx x − + = = + (11)若函数 z z x y = ( , ) 由方程 + + + = cos 2 x e xyz x x 确定，则 (0,1) d _ . z = 【答案】 −dx 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令 ( , , ) cos 2 z F x y z e xyz x x = + + + − ，则 ( , , ) 1 sin , , ( , , ) z F x y z yz x F xz F x y z e xy x y z = + − = = + 又当 x y = = 0, 1 时 1 z e = ，即 z = 0. 所以 (0,1) (0,1) (0,1,0) (0,1,0) 1, 0 (0,1,0) (0,1,0) x y z z z z F F x F y F = − = − = − = ，因而 (0,1) dz dx = − . (12)设 是由平面 x y z + + =1 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 ( 2 3 ) _. x y z dxdydz + + = 【答案】 1 4 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 1 0 ( 2 3 ) 6 6 Dz x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy + + = = ， 其中 D z 为平面 z z = 截空间区域 所得的截面，其面积为 1 2 (1 ) 2 − z .所以 1 1 2 3 2 0 0 1 1 ( 2 3 ) 6 6 (1 ) 3 ( 2 ) . 2 4 x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz + + = = − = − + = (13) n 阶行列式 2 0 0 2 1 2 0 2 _. 0 0 2 2 0 0 1 2 − = − 【答案】 1 2 2 n+ − 【解析】按第一行展开得
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG2020...20...D, == 2Dn-1 +(-1)*+12(-1)n-l = 2Dn-+ + 2..00..200..-1=2(2D2 +2)+2 = 2’ D.-2 +2 +2 = 2" +2" ++2 = 2*+ 2(14)设二维随机变量(x,J)服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则P(XY-Y0,Y0)+ PLX-I0)= P(X >I)P(Y 0) 22n三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分10分）设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0是等价无穷小，求a,b,k的值【答案】a=-1,bx+aln(1+x)+bxsinx【解析】法原式limkx3+0x+a3b= limkx3x-→0a3bx*+o(x3)(1+a)xh236= lim=1kx3x-→0=0.aa即1+a=0,b-=123k1..a=-1,b-.k:23经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 1 1 1 1 2 0 0 2 1 2 0 2 2 ( 1) 2( 1) 2 2 0 0 2 2 0 0 1 2 n n D D D n n n + − − − − = = + − − = + − 2 2 1 2 2 2(2 2) 2 2 2 2 2 2 2 n n D D n n − = + + = + + = + + + − − 1 2 2 n+ = − (14)设二维随机变量 ( , ) x y 服从正态分布 N(1,0;1,1,0) ，则 P XY Y { 0} _. − = 【答案】 1 2 【解析】由题设知， X N Y N ~ (1,1), ~ (0,1) ，而且 X Y 、 相互独立，从而 P XY Y P X Y P X Y P X Y { 0} {( 1) 0} { 1 0, 0} { 1 0, 0} − = − = − + − 1 1 1 1 1 { 1} { 0} { 1} { 0} 2 2 2 2 2 = + = + = P X P Y P X P Y . 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 f x x a x bx x ( ) = + + + ln(1 ) sin ， 3 g x kx ( ) = ，若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 是等价无穷小，求 a b k , , 的值. 【答案】 a b k = − = − = − ,. 1 1 1 2 3 【解析】法一：原式 ( ) 3 0 ln 1 sin lim 1 x x a x bx x → kx + + + = ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 0 2 3 6 lim 1 x x x x x a x o x bx x o x → kx + − + + + − + = = ( ) ( ) 2 3 4 3 3 0 1 2 3 6 lim 1 x a a b a x b x x x o x → kx + + − + − + = = 即 1 0, 0, 1 2 3 a a a b k + = − = = 1 1 1, , 2 3 = − = − = − a b k
金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORGx+aln(1+x)+bxsinx法二：lim1kx3x-→0a1++bsinx+bxcosx1+x=lim=13kx2x→0因为分子的极限为0，则a=-1+2bcosx-bxsinx(1+ x)1= lim1，分子的极限为0，b：6kxx-→022bsinx-bsinx-bxcosx(1+ x)3= lim=l.k6k1.a=-1b3(16)(本题满分10分）设函数f(x)在定义域「上的导数大于零，若对任意的xel，由线y=f(x)在点(xo,(x))处的切线与直线x=x及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式【答案】f(x）【解析】设f(x)在点(xo,())处的切线方程为：y-f(x)=f()(x-x),f(x)令y=0，得到x=+X0f'f(xo)于(x)(-x)=4，即-f(xo=4，可以转化为一阶微分方故由题意，2f'(x)2程，即1可分离变量得到通解为：x+C88y11已知y(O)=2，得到C：因此x+2'28y8即f(x)=x+ 4(17)(本题满分10分)经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 法二： ( ) 3 0 ln 1 sin lim 1 x x a x bx x → kx + + + = 2 0 1 sin cos 1 lim 1 x 3 a b x bx x x → kx + + + + = = 因为分子的极限为 0，则 a =−1 ( ) 2 0 1 2 cos sin 1 lim 1 x 6 b x bx x x → kx − − + − + = = ，分子的极限为 0， 1 2 b = − ( ) 0 2 2 sin sin cos 1 3 lim 1 x 6 b x b x bx x x → k − − − − + = = ， 1 3 k = − 1 1 1, , 2 3 = − = − = − a b k (16)(本题满分 10 分) 设函数 f x( ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 0 x I ，由 线 y f x = ( ) 在点 ( x f x 0 0 , ( )) 处的切线与直线 0 x x = 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0 2 ) = ，求 f x( ) 的表达式. 【答案】 f x x = − 8 ( ) 4 . 【解析】设 f x( ) 在点 ( x f x 0 0 , ( )) 处的切线方程为： y f x f x x x − = − ( 0 0 0 ) ( )( ), 令 y = 0 ，得到 ( ) ( ) 0 0 0 f x x x f x = − + ， 故由题意， ( 0 0 ) ( ) 1 4 2 f x x x − = ，即 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 4 2 f x f x f x = ，可以转化为一阶微分方 程， 即 2 8 y y = ，可分离变量得到通解为： 1 1 8 x C y = − + ， 已知 y(0 2 ) = ，得到 1 2 C = ，因此 1 1 1 8 2 x y = − + ； 即 ( ) 8 4 f x x = − + . (17)(本题满分 10 分)
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG已知函数f(x,)=x+y+xy，曲线:x?+y?+xy=3，求f(x,)在曲线C上的最大方向导数【答案】3【解析】因为f(x,y)沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模f'(x,y)=1+y,J,'(x,y)=1+x,故gradf(x,y)={(1+y,1+x)，模为/(1+y)+(1+x)此题目转化为对函数g(x,J)=/(1+y)+(1+x)在约束条件C:+y+xy=3下的最大值.即为条件极值问题为了计算简单，可以转化为对d(x,y)=(1+y)+(1+x)在约束条件C:x+y+xy=3下的最大值构造函数：F(x,y,)=(1+y)+(1+x)[F'=2(1+x)+a(2x+y)=0F' = 2(1+y)+ (2y+x)=0, 得到 M,(1,1),M,(-1,-1),M,(2,-1),M4(-1,2)F'=x?+y?+xy-3=d(M)=8,d(M)-0,d(M)=9,d(M)=9所以最大值为=3(18)(本题满分10分)()设函数u(x)()可导，利用导数定义证明[u(x)(x)」=u(x)(x）+u(x)v(x)()设函数u,(n),u,(a)..,u,(x)可导，F(x)=u,(x)u,(x).u,(x)，写出f(x)的求导公式u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)【解析】(1)[u(x)>(x)}'=lim+h= lim (+h)(x+h)-u(++h)(x)+(+ h)(x)-u(x)()h0= lim u(x+h) (x+h)- (x) u(x+ h) - u(x) (x)hh= u(x)v(x)+u'(x)v(x)(II）由题意得f'(x)=[u(x)u(x)..-u,(x)经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 已知函数 f x y x y xy ( , ) = + + ，曲线 C： 2 2 x y xy + + = 3 ，求 f x y ( , ) 在曲线 C 上的最大方向导数. 【答案】3 【解析】因为 f x y ( , ) 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模. f x y y f x y x x y ' , 1 , ' , 1 ( ) = + = + ( ) ， 故 gradf x y y x ( , 1 ,1 ) = + + ，模为 ( ) ( ) 2 2 1 1 + + + y x ， 此题目转化为对函数 ( ) ( ) ( ) 2 2 g x y y x , 1 1 = + + + 在约束条件 2 2 C x y xy : 3 + + = 下 的最大值.即为条件极值问题. 为了计算简单，可以转化为对 ( ) ( ) 2 2 d x y y x ( , ) 1 1 = + + + 在约束条件 2 2 C x y xy : 3 + + = 下的最大值. 构造函数： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 F x y y x x y xy , , 1 1 3 = + + + + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 2 1 2 0 3 0 x y F x x y F y y x F x y xy = + + + = = + + + = = + + − = ，得到 M M M M 1 2 3 4 (1,1 , 1, 1 , 2, 1 , 1,2 ) (− − − − ) ( ) ( ) . d M d M d M d M ( 1 2 3 4 ) = = = = 8, 0, 9, 9 ( ) ( ) ( ) 所以最大值为 9 3 = . (18)(本题满分 10 分) （I）设函数 u x , v x ( ) ( ) 可导，利用导数定义证明 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x = + （II）设函数 ( ) ( ) ( ) 1 2 n u x , u x , , u x 可导， n f x u x u x u x = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ，写出 f x( ) 的求导公式. 【解析】（I） 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] limh u x h v x h u x v x u x v x → h + + − = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x → h + + − + + + − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) h h v x h v x u x h u x u x h v x → → h h + − + − = + + = + u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) （II）由题意得 1 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n f x u x u x u x =
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG=u, (x)u(x)..u,(x)+u,(x)u,'(x)..u,(x)+..+u(x)u,(x)u,'(x)(19)(本题满分10分)[==2--起点为4(0. 2,0)，终点为B(0,-V2,0),已知曲线L的方程为[= = x,计算曲线积分1=[(y+=)dx+(-2-x2+y)dy+(x2+y)dzV2【答案】元2x=cosy=2sino,【解析】由题意假设参数方程】=cosO-(2sinの+cos)sin+2sinのcos+(1+sin)sin]de{_2sin?+sincos+(1+sin'0)sin deV2sinode-2V2(20)（本题满11分设向量组,2.s内R的一个基，β=2a,+2ka，β=2az，β,=a,+(k+1)（I）证明向量组βββ,为R的一个基；(I）当k为何值时，存在罪0向量在基α,α2,α3与基β,β,β,下的坐标相同，并求所有的【答案】【解析】(J)证明：(β,β2,β)=(2α,+2kα3,2α2,α,+(k+1)α,)20020=(α1,α2,α,)2k0k+1经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n = + + + u x u x u x u x u x u x u x u x u x (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为 2 2 2 , , z x y z x = − − = 起点为 A(0, 2,0) ，终点为 B(0, 2,0 − ) ， 计算曲线积分 ( ) ( ) 2 2 2 2 d d ( )d L I y z x z x y y x y z = + + − + + + . 【答案】 2 π 2 【解析】由题意假设参数方程 cos 2 sin cos x y z = = = ， π π : 2 2 → − π 2 2 π 2 [ ( 2 sin cos )sin 2sin cos (1 sin )sin ]d − − + + + + π 2 2 2 π 2 2 sin sin cos (1 sin )sin d − = − + + + π 2 2 0 2 2 2 sin d π 2 = = (20) (本题满 11 分) 设向量组 1 , 2 3 α α ,α 内 3 R 的一个基， β1 1 3 =2 +2 α kα ， β2 2 =2α ， β3 1 3 = + +1 α (k )α . （I）证明向量组 1 2 3 为 3 R 的一个基; （II）当 k 为何值时，存在非 0 向量 ξ 在基 1 , 2 3 α α ,α 与基 1 2 3 下的坐标相同，并 求所有的 ξ . 【答案】 【解析】(I)证明： ( ) ( ( ) ) ( ) 1 2 3 1 3 2 1 3 1 2 3 , , 2 +2 ,2 , + 1 2 0 1 , , 0 2 0 2 0 1 k k k k = + = +
K金程考研要考研，找金程WWW.51DX.ORG202020=4±02kk2k0k+1故,β,β为R的一个基()由题意知，=+β+β=α+α+α0即k(β,-α)+k (β, -α)+k(β,-α)=0,k, ±0,i=1,2,3k(2α,+2kα, -α,)+k (2α, -α,)+k (α +(k+1)α, -α,)=0k(α+2kα)+k,(α)+k(α,+kα)=0有非零解即α,+2ka,α2,a,+ka=0考研011即010=0，得k=02k0kk,α, +k,α, +k,, = 0..k, =0,k+k, =0≤=ka, -kα3, ±0(21)(本题满分11分)0-2 0-3相似于矩阵B=设矩阵A=b0P31(）求a,b的值；求可逆矩阵P，使P-"AP为对角矩阵.(I)【解析】（2B-tr(A)=tr(B)=3+a=1+b+100-3-2 1b300[A|=|B|-3-201aa-b=-1[a=4[2a-b=3[b=502-300-31-203-31-12-10=E+C(II) A:30-20-2113经济学金融考研论坛http://www.51irlk.com/
要考研，找金程 WWW.51DX.ORG 经济学金融考研论坛 http://www.51jrlk.com/ 2 0 1 2 1 0 2 0 2 4 0 2 1 2 0 1 k k k k = = + + 故 1 2 3 β , , β β 为 3 R 的一个基. （II）由题意知， 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 = + + = + + k k k k k k , 0 即 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 0, 0, 1,2,3 i k k k k i − + − + − = = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 2 2 2 3 1 3 3 1 1 3 2 2 3 1 3 2 +2 2 + +1 0 +2 + 0 k k k k k k k k k k − + − + − = + + = 有非零解 即 1 3 2 1 3 +2 , , + 0 k k = 即 1 0 1 0 1 0 0 2 0 k k = ，得 k=0 1 1 2 2 3 1 2 1 3 0 0, 0 k k k k k k + + = = + = 1 1 1 3 1 = − k k k, 0 (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 0 2 3 1 3 3 1 2 a − = − − − A 相似于矩阵 1 2 0 0 0 0 3 1 b − B = . (I) 求 a b, 的值； （II）求可逆矩阵 P ，使 −1 P AP 为对角矩阵. 【解析】(I) A B tr A tr B a b ~ ( ) ( ) 3 1 1 = + = + + 0 2 3 1 2 0 1 3 3 0 0 1 2 0 3 1 − − = − − = − A B b a 1 4 2 3 5 − = − = − = = a b a a b b (II) 0 2 3 1 0 0 1 2 3 1 3 3 0 1 0 1 2 3 1 2 3 0 0 1 1 2 3 A E C − − − = − − = + − − = + − −