区Born towin考考级2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上[1-cos /x,x>0(1)）若函数f(x)=在x=0处连续，则（)axb,x≤01(4)ab=I(B)ab =(D)ab=2(C)ab= 022【答案】A/PX1-cos/x1【解析】limlim：(x）在x=0处连续b=ab选A02a2axx→0*ax2a(2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1且于(x)>0，则（f(x)dx>0(B)f, F(x)dxf f(x)dx(D), (x)dx < (x)dx【答案】B【解析】(x)为偶函数时满足题设条件，此时f(x)dx=I"f(x)dx，排除C,D.取()=2-一1滴足条件，则(0)=(2-1)号0,选B3（3）设数列(x,)收敛，则（）(B)当lim(x,+/x,)=0时，limx,=0(A)当limsinx,=0时，limx,=0(C)当lim(x,+x)=0时，limx=0(D)当lim(x,+sinx)=0时，limx,=0【答案】D【解析】特值法：（A）取x,=元，有limsinx,=0,limx=元，A错；取x，=-1，排除B,C.所以选D（4）微分方程的特解可设为全国统一服务热线：400—668—2155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 1 Born to win 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1））若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续，则（ ） (A) 1 2 ab = (B) 1 2 ab = − (C) ab = 0 (D) ab = 2 【答案】A 【解析】 0 0 1 1 cos 1 2 lim lim , ( ) x x 2 x x f x ax ax a → → + + − = = 在 x = 0 处连续 1 1 . 2 2 b ab a = = 选 A. （2）设二阶可导函数 f x( ) 满足 f f f (1) ( 1) 1, (0) 1 = − = = − 且 '' f x( ) 0 ，则（ ） ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx − − − − 【答案】B 【解析】 f x( ) 为偶函数时满足题设条件，此时 0 1 1 0 f x dx f x dx ( ) ( ) − = ，排除 C,D. 取 2 f x x ( ) 2 1 = − 满足条件，则 ( ) 1 1 2 1 1 2 ( ) 2 1 0 3 f x dx x dx − − = − = − ，选 B. （3）设数列 xn 收敛，则（ ） ( ) A 当 lim sin 0 n n x → = 时， lim 0 n n x → = ( ) B 当 lim( ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = ( ) C 当 2 lim( ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = ( ) D 当 lim( sin ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = 【答案】D 【解析】特值法：（A）取 n x = ，有 limsin 0,lim n n n n x x → → = = ，A 错； 取 1 n x = − ，排除 B,C.所以选 D. （4）微分方程的特解可设为
Born to win!区精勤求学自强不息跨考考研(A) Ae2*+e2*(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe?*+e*(Bcos2x+Csin2x)(C)Ae2*+xe2*(Bcos2x+Csin2x)(D) Axe2x+e2*(Bcos2x+Csin2x)【答案】A【解析】特征方程为：2-4元+8=0=，=2±2i: f(x)=e2*(1+cos2x)= e2x +e2* cos2x.:y = Ae2*,y, = xe2*(Bcos2x+Csin2x)故特解为：y=y+y=Ae?*+xe2*(Bcos2x+Csin2x),选C.(5) 设 (,)具有一阶偏导数,且对任意的(x,),都有()>0.>0 则axay(A) f(0,0)>f(1,1) (B) f(0,0)f(,0) (D) f(0,1)0.,(s,25(B)15<t。<20【答案】B2全国统—服务热线：400—668—2155
2 2 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 （A） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Ae e B x C x + + （B） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Axe e B x C x + + （C） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Ae xe B x C x + + （D） 2 2 ( cos2 sin 2 ) x x Axe e B x C x + + 【答案】A 【解析】特征方程为： 2 1,2 − + = = 4 8 0 2 2i 2 2 2 * 2 * 2 1 2 ( ) (1 cos 2 ) cos 2 , ( cos 2 sin 2 ), x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x = + = + = = + 故特解为： * * * 2 2 1 2 ( cos 2 sin 2 ), x x y y y Ae xe B x C x = + = + + 选 C. （5）设 f x y ( , ) 具有一阶偏导数，且对任意的 ( , ) x y ，都有 ( , ) ( , ) 0, 0 f x y f x y x y ，则 （A） f f (0,0) (1,1) （B） f f (0,0) (1,1) （C） f f (0,1) (1,0) （D） f f (0,1) (1,0) 【答案】C 【解析】 ( , ) ( , ) 0, 0, ( , ) f x y f x y f x y x y 是关于 x 的单调递增函数，是关于 y 的单调递减函数， 所以有 f f f (0,1) (1,1) (1,0) ，故答案选 D. （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 1 v v t = ( ) （单 位： m s/ ），虚线表示乙的速度曲线 2 v v t = ( ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 0 t （单位：s），则（ ） 0 5 10 15 20 25 30 t s() v m s ( / ) 10 20 （A） 0 t =10 （B） 0 15 20 t （C） 0 t = 25 （D） 0 t 25 【答案】B
Born to win栏【解析】从0到t。这段时间内甲乙的位移分别为[y(t)dt,v2(t)dt,则乙要追上甲，则[v2(t)-v,(t)dt=10，当t。=25时满足，故选C.(O（7)设A为三阶矩阵，P=(α,αzα）为可逆矩阵，使得P-AP则A(α,α,α)=(2(A) α,+α2(B) α,+2αs(D) α, +2α,(C) α,+αg【答案】B【解析】(0(0(OP-"APA(,,,)=(,,-2α222因此B正确。[200[210710072o20020（8）设矩阵A=BC0,则（）)-100100!1002]（A）A与C相似B与C相似（B）A与C相似,B与C不相似（D）A与C不相似,B与C不相似（C）A与C不相似,B与C相似【答案】B【解析】由2E-A=0可知A的特征值为2,2,1(100)因为3-r(2E-A)=1，：.A可相似对角化，即A0020由2E-B=0可知B特征值为2,2,1.因为3-r(2E-B)=2，B不可相似对角化，显然C可相似对角化，：A～C，但B不相似于C二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上全国统一服务热线：400—668—2155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 3 Born to win 【解析】从 0 到 0 t 这段时间内甲乙的位移分别为 0 0 1 2 0 0 (t) , (t) , t t v dt v dt 则乙要追上甲，则 0 2 1 0 (t) v (t) 10 t v dt − = ，当 0 t = 25 时满足，故选 C. （7）设 A 为三阶矩阵， 1 2 3 P = ( , , ) 为可逆矩阵，使得 1 0 1 2 P AP − = ，则 1 2 3 A( , , ) = （ ） （A） 1 2 + （B） 2 3 + 2 （C） 2 3 + （D） 1 2 + 2 【答案】 B 【解析】 1 1 2 3 1 2 3 2 3 0 0 0 1 1 ( , , ) ( , , ) 1 2 2 2 2 P AP AP P A − = = = = + , 因此 B 正确。 （8）设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C = = = ,则（ ） （A） A C B C 与 相似, 与 相似 （B） A C B C 与 相似, 与 不相似 （C） A C B C 与 不相似, 与 相似 （D） A C B C 与 不相似, 与 不相似 【答案】B 【解析】由 E A− = 0 可知 A 的特征值为 2,2,1, 因为 3 (2 ) 1 − − = r E A ，∴A 可相似对角化，即 100 ~ 0 2 0 0 0 2 A 由 E B− = 0 可知 B 特征值为 2,2,1. 因为 3 (2 ) 2 − − = r E B ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，∴ A C~ ，但 B 不相似于 C. 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上
Born to win!区精勤求学自强不息跨考专屏2的斜渐近线方程为(9）曲线y=1+arcsinx【答案】=×+2【解析】2: lim ≥= lim(1+ arcsin 2) = 1, lim(y- x) = lim x arcsinX→xx.y=x+2x=t+e'q2(10)设函数y=(x)由参数方程确定，dxly=sint1【答案】8【解析】dydxdycost-1+e'costdidt1+edx(cost)d'yd'y-sint(l+e')-coste'1+e'1t=0dx?dxdx?6(1+e')dt In(1 + x)(11)1(1+ x)【答案】1【解析】[ In(++)dx=- n(+ )d,(1+ x)21+xIn(1 + x) (1+)(12）设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)=ye'dx+x(1+y)e'dy，f(O,O)=0，则f(x,y)=【答案】xye"【解析】 f'= ye",f,= x(1+ y)e", f(x, j)=[ye'dx =xye'" +c(y),故全国统一服务热线：400—668—21554
4 4 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 (9) 曲线 2 y x 1 arcsin x = + 的斜渐近线方程为_ 【答案】 y x = + 2 【解析】 ( ) 2 2 lim lim(1 arcsin ) 1,lim lim arcsin 2, 2 x x x x y y x x x x x y x → → → → = + = − = = = + (10) 设函数 y y x = ( ) 由参数方程 sin t x t e y t = + = 确定，则 2 2 t 0 d y dx = = _ 【答案】 1 8 − 【解析】 ( ) ' 2 2 2 2 2 0 cos cos , 1 1 cos 1 sin (1 ) cos 1 8 1 t t t t t t t dy dx dy t t e dt dt dx e t d y t e te d y e dx dx dx e dt = = = + = + + − + − = = = − + (11) 2 0 ln(1 ) (1 ) x dx x + + = + _ 【答案】1 【解析】 2 0 0 0 2 0 2 0 ln(1 ) 1 ln(1 ) (1 ) 1 ln(1 ) 1 1 (1 ) 1 1. (1 ) x dx x d x x x dx x x dx x + + + + + + = − + + + + = − − + + = = + (12) 设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续偏导数，且 ( , ) (1 ) y y df x y ye dx x y e dy = + + ， f (0,0) 0 = ， 则 f x y ( , ) _ = 【答案】 y xye 【解析】 , (1 ) , ( , ) ( ), y y y y x y f ye f x y e f x y ye dx xye c y = = + = = + 故
Born to winf,=xe+xye'+c(y)=xe'+xye",因此c(y)=0，即c(y)=C，再由f(0,0)=0，可得f(x,y)=xye【答案】【解析】tanxdx(13)【答案】Incos]【解析】交换积分次序：I'tnx= Jaftandy=dytanxdx=Incos1[4 -2712（14）设矩阵A=1的一个特征向量为a则a[3-12【答案】-1-【解析】设α=由题设知Aα=α，故2)A23+20-02元3故a=-1三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.x-te'dt（15）（本题满分10分）求极限limVx31~+02【答案】3'Vx-te'【解析】limdt，令x-t=u，则有Vx3x-→0"Jue"du- "ue*'duNx-te'dt=-[全国统一服务热线：400—6682155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 5 Born to win ( ) y y y y y f xe xye c y xe xye = + + = + ， 因此 c y ( ) 0 = ，即 c y C ( ) = ，再由 f (0,0) 0 = ，可得 ( , ) . y f x y xye = 【答案】 【解析】 （13） 1 1 0 tan _ y x dy dx x = 【答案】 lncos1. 【解析】交换积分次序： 1 1 1 1 0 0 0 0 tan tan tan ln cos1 x y x x dy dx dx dy xdx x x = = = . （14）设矩阵 4 1 2 1 2 3 1 1 A a − = − 的一个特征向量为 1 1 2 ，则 a = _ 【答案】-1 【解析】设 1 1 2 = ，由题设知 A = ，故 4 1 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 1 2 2 2 2 a a − = + = − 故 a =−1. 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. （15）（本题满分 10 分）求极限 0 0 3 lim x t x x te dt x → + − 【答案】 2 3 【解析】 0 0 3 lim x t x x te dt x → − ，令 x t u − = ，则有 0 0 0 x x t x u x u x x te dt ue du ue du + + − = − =
Born to win!区精勤求学自强不息跨考考研Yuer+"duYue"du0原式=lim= limmrymicx-→0x-0fJue'duIxer2=limlimminy3X-0x-→03Pd'y（16）（本题满分 10 分）设函数 F(u,v)具有2 阶连续偏导数，=T(e,cos.x)，求别dx2Jrld'ydy=fi(1,1),【答案】= fi(1,1),dxdx?-【解析】y= f(e*,cos x)= y(O)= f(1,1)dy=(fe+ f(-sin x) = (1,1)-1+ (1,1).0= J(,1)dx.d'y= fie2*+ fize'(-sinx)+ fa,e'(-sinx)+ fa, sin’ x+ fier- f, cosxdx?d'y= Ji(1,1)+ f'(1,1)- f(1,1)dx?结论：dy= f(1,1)dxld'y= fr(1,1)+ f(1,1)- f(1,1)dx?(17)（本题满分 10分）求lim之条mn(1+4)-inn1【答案】4【解析】2-1+1 dx)=limknIn(1+)=I'ln(1+x)dx2 -(n(1+x)2x In(1+ x)dx = -in1txn（18）（本题满分10分）已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值全国统—服务热线：400—668—21556
6 6 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 0 0 3 3 0 0 2 2 0 3 1 0 0 2 2 = lim lim 2 lim lim 3 3 2 x x x u x u x x x u x x x ue du e ue du x x ue du xe x x + → → → → = = = = 原式 （16）（本题满分 10 分）设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续偏导数， ( ,cos ) x y f e x = ，求 x 0 dy dx = ， 2 2 x 0 d y dx = 【答案】 2 ' '' 1 11 2 0 0 (1,1), (1,1), x x dy d y f f dx dx = = = = 【解析】 ( ( )) 0 ' ' ' ' ' 1 2 1 2 1 0 0 2 '' 2 '' '' '' 2 ' ' 2 11 12 21 22 1 2 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 ( ,cos ) (0) (1,1) sin (1,1) 1 (1,1) 0 (1,1) ( sin ) ( sin ) sin cos (1,1) (1,1) (1,1) x x x x x x x x x x y f e x y f dy f e f x f f f dx d y f e f e x f e x f x f e f x dx d y f f f dx = = = = = = = + − = + = = + − + − + + − = + − 结论： ' 1 0 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) x x dy f dx d y f f f dx = = = = + − （17）（本题满分 10 分）求 2 1 lim ln 1 n n k k k → = n n + 【答案】 1 4 【解析】 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) (ln(1 ) ) 2 2 1 4 n n k k k x x x dx x dx x x dx → = n n x − + + = + = + = + − = + （18）（本题满分 10 分）已知函数 y x( ) 由方程 3 3 x y x y + − + − = 3 3 2 0 确定，求 y x( ) 的极值
XBorn to win跨考考【答案】极大值为y(1)=1，极小值为y(-1)=0【解析】两边求导得：3x?+3yy'-3+3y=0(1)令y=0得x=±16x+6y(y')+3yy"+3y"=0(2)对（1）式两边关于x求导得[x=1[x=-1将x=±1代入原题给的等式中，得orly=0(y=1将x=1,y=1代入（2)得y"(1)=-10故x=1为极大值点，y(1)=1；x=-1为极小值点，(-1)=0f(x)0,limx(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；(Im)方程f(x)f(x)+(f(x)2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】f(x)0,lim--→0+xf(x)20,Vxe(0,)有)0根据零点定理得至少存在一点E(8,1)，使f()=0，即得证全国统一服务热线：400—668—21557
( 全国统一服务热线：400—668—2155 7 Born to win 【答案】极大值为 y(1) 1 = ，极小值为 y( 1) 0 − = 【解析】 两边求导得： 2 2 3 3 ' 3 3 ' 0 x y y y + − + = （1） 令 y ' 0 = 得 x =1 对（1）式两边关于 x 求导得 ( ) 2 2 6 6 ' 3 '' 3 '' 0 x y y y y y + + + = （2） 将 x =1 代入原题给的等式中，得 1 1 1 0 x x or y y = = − = = ， 将 x y = = 1, 1 代入（2）得 y ''(1) 1 0 = − 将 x y = − = 1, 0 代入（2）得 y ''( 1) 2 0 − = 故 x =1 为极大值点， y(1) 1 = ； x =−1 为极小值点， y( 1) 0 − = （19）（本题满分 10 分）设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上具有 2 阶导数，且 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + ，证明： () 方程 f x( ) 0 = 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根； ( ) 方程 ' ' 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ( )) 0 + = 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I） f x( ) 二阶导数， 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + 解：1）由于 0 ( ) lim 0 x f x x → + ，根据极限的保号性得 0, (0, ) x 有 ( ) 0 f x x ，即 f x( ) 0 进而 x f 0 (0, ) 0 有 ( ) 又由于 f x( ) 二阶可导，所以 f x( ) 在 [0,1] 上必连续 那么 f x( ) 在 [ ,1] 上连续，由 f f ( ) 0, (1) 0 根据零点定理得： 至少存在一点 ( ,1) ，使 f ( ) 0 = ，即得证
Born to win!精勤求学自强不息(II)由(1)可知f(O)=0，3(0,I),使f()=0，令F(x)=f(x)f(x)，则f(O)=f()=0由罗尔定理3nE(0,5),使f(n)=0,则 F(O)=F(n)=F()=0,对F(x)在(0,n),(n,)分别使用罗尔定理：(0,),(,)且,(0,1),，使得F()=F()=0，即F(x)=f(x)F"(x)+(F(x))=0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。(20）（本题满分11分）已知平面区域D=((x,y)Ix+y°≤2y),计算二重积分[[(x+1)~dxdy【答案】5元4[解析 [(++1]'dcy= J[(r+1)dy=2] xddy+ ] ddy=2f,dofp cos odo+ -(21)（本题满分11分）设(x)是区间0,内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L:y=(x)上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(o,Y)，法线与x轴相交于点（X,,0)，若X，=Y,，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。【答案】【解析】设p(x,(x))的切线为Y-y(x)=y(x)(X-x)，令X=0得Y,=y(x)-y(x)x，法线Y-y(x)=(X-x),令Y=0得X,=x+(x)y(x)。由X,=Y,得y-x(x)=x+y(x)，即y(x)-1。令y，则J=X，按照齐次微分方程的解法不难解出xIIn(u +1) + arctan u = -In|x|+C,X（22）（本题满分11分）设3阶矩阵A=（α，α2，α）有3个不同的特征值，且α=α,+2αz。(I)证明： r(A)=2(I)若β=α,+α,+α，求方程组Ax=β的通解。全国统—服务热线：400—668—21558
8 8 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 （II）由（1）可知 f (0) 0 = ， = (0,1), ( ) 0 使f ，令 F x f x f x ( ) ( ) '( ) = ，则 f f (0) ( ) 0 = = 由罗尔定理 = (0, ), '( ) 0 使f ，则 F F F (0) ( ) ( ) 0 === ， 对 F x( ) 在 (0, ),( , ) 分别使用罗尔定理： 1 2 (0, ), ( , ) 且 1 2 1 2 , (0,1), ，使得 1 2 F F '( ) '( ) 0 = = ，即 ( ) 2 F x f x f x f x '( ) ( ) ''( ) '( ) 0 = + = 在 (0,1) 至少有两个不同实根。 得证。 （20）（本题满分 11 分）已知平面区域 ( ) 2 2 D x y x y y = + , | 2 , 计算二重积分 ( ) 2 1 D x dxdy + 。 【答案】 5 4 【解析】 ( ) ( ) 2 2sin 2 2 2 2 2 0 0 5 1 1 2 2 cos 4 D D D D x dxdy x dxdy x dxdy dxdy d r d + = + = + = + = （21）（本题满分 11 分）设 y x( ) 是区间 3 0, 2 内的可导函数，且 y(1) 0 = ，点 P 是曲线 L: y y x = ( ) 上任 意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 (0,Y p ) ，法线与 x 轴相交于点 ( X p ,0) ，若 X Y p p = ，求 L 上 点的坐标 ( x y, ) 满足的方程。 【答案】 【解析】设 p x y x ( , ( )) 的切线为 Y y x y x X x − = − ( ) ( ) ( ) ，令 X = 0 得 ( ) ( ) Y y x y x x p = − ， 法 线 ( ) 1 ( ) ( ) Y y x X x y x − = − − ,令 Y = 0 得 ( ) ( ) X x y x y x p = + 。由 X Y p p = 得 y xy x x yy x − = + ( ) ( ) ，即 1 ( ) 1 y y y x x x + = − 。 令 y u x = ， 则 y ux = ， 按 照 齐 次 微 分 方 程 的 解 法 不 难 解 出 1 2 ln( 1) arctan ln | | u u x C x + + = − + , （22）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 A = ( 1 2 3 , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2 = + 2 。 () 证明： r A( ) 2 = ( ) 若 = + + 1 2 3 ，求方程组 Ax = 的通解
Born to winkeR【答案】（I）略：（II）通解为k【解析】（I）证明：由α=α+2α可得α+2α-α=0，即ααα线性相关，因此，A=α,α,α=0，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.(M2且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为Λ：,*+00:: r(A)=r(A)= 2(II）由（1）r(A)=2，知3-r(A)=1，即Ax=0的基础解系只有1个解向量，-12由2=0可得（0，则Ax=0的基础解系为又β=αα，即αB，则Ax=β的一个特解为(1keR综上，Ax=β的通解为k（23）（本题满分11分）设二次型f（xxx）=2x-x+ax+2xx-8x+2xx在正交变换X=QY下的标准型+y，求a的值及一个正交矩阵Q111T210f x=Qy -3y +6y2【答案】a=2;Q=下T61112V6下【解析】全国统—服务热线：400—668—2155
( 全国统一服务热线：400—668—2155 9 Born to win 【答案】（I）略；（II）通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R + − 【解析】 （I）证明：由 3 1 2 = + 2 可得 1 2 3 + − = 2 0 ，即 1 2 3 , , 线性相关， 因此， 1 2 3 A = = 0 ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 1 2 1 2 , 0 0 = ∴ r A r ( ) ( ) 2 = = （II）由（1） r A( ) 2 = ，知 3 ( ) 1 − = r A ，即 Ax = 0 的基础解系只有 1 个解向量， 由 1 2 3 + − = 2 0 可得 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 2 2 0 1 1 A = = − − ，则 Ax = 0 的基础解系为 1 2 1 − ， 又 = + + 1 2 3 ，即 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 1 1 1 1 A = = ，则 Ax = 的一个特解为 1 1 1 ， 综上， Ax = 的通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R + − （23）（本题满分 11 分）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 X QY = 下的标准型 2 2 1 1 2 2 y y + ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q . 【答案】 2 2 1 2 1 1 1 3 2 6 1 2 2; 0 , 3 6 3 6 1 1 1 3 2 6 a Q f x Qy y y − = = − = − + 【解析】
Born to win!区精勤求学自强不息跨考考研f(x,x,x)=X"AX，其中A=-41a由于f(x,2,）=XAX经正交变换后，得到的标准形为+[21-41-1故r(A)=2=A=0=1=0=a=2，1-4a2则将α=2代入，满足r(A)=2，因此a=2符合题意，此时A=[2-24-1IE-A--11+10=4=-3,2=0,2=6,一4-2-11由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α,1(-1)0由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为α,=1(1)2由(OE-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α=-3令P=(α,α2,α)，则P-AP6由于α，αzα彼此正交，故只需单位化即可：0-1,0,1),βB,:1B12.10°216111J3下2210QTAQ-6则Q=(Bββ)=TJ60111万J610全国统—服务热线：400—668—2155
10 10 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = ，其中 2 1 4 1 1 1 4 1 A a − = − − 由于 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = 经正交变换后，得到的标准形为 2 2 1 1 2 2 y y + ， 故 2 1 4 ( ) 2 | | 0 1 1 1 0 2 4 1 r A A a a − = = − = = − ， 将 a = 2 代入，满足 r A( ) 2 = ，因此 a = 2 符合题意，此时 2 1 4 1 1 1 4 1 2 A − = − − ，则 1 2 3 2 1 4 | | 1 1 1 0 3, 0, 6 4 1 2 E A − − − = − + − = = − = = − − ， 由 ( 3 ) 0 − − = E A x ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1 1 1 1 = − ； 由 (6 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 2 1 0 1 − = 由 (0 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 1 2 1 = 令 P = ( 1 2 3 , , ) ， 则 1 3 6 0 P AP − − = ，由于 1 2 3 , , 彼 此 正 交， 故 只需 单 位 化即可： 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1, 1,1 , 1,0,1 , 1,2,1 , 3 2 6 T T T = − = − = ， 则 ( 1 2 3 ) 1 1 1 3 2 6 1 2 0 3 6 1 1 1 3 2 6 Q − = = − ， 3 6 0 T Q AQ − =