考研数学历年真题：2014年考研数学三真题与解析

2014年考研数学三真题与解析、选择题页1一8小题，每小题4分，共32分1.设lima，=a+0，则当n充分大时，下列正确的有（(B) a /≤(A) 2a/>11(D)a,a-22nn【详解】因为lima,=a0，所以V>0，3N，当n>N时，有a,-a所以选择（A）a-8a≤a+8，取8=222．下列曲线有渐近线的是(B) y=x+sinx(A) y=x+sinx11(D)y=x+sin-(C) y=x+sin-xX【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以，1可知 lim兰=1且 lim(y=x)=lim sin=0，所以有斜渐近线y=x【详解】对于y=x+sin+xx→0x应该选(C)3.设P(x)=a+bx+cx2+dx，则当x→0时，若P(x)-tanx是比x高阶的无穷小，则下列选项O中错误的是（(D) d=(A) a=0(B) b=1(C) C=06x +o(x),显然a=0,b=1,c=0,d=【详解】只要熟练记忆当x→0时tanx=x+应该选（D）334.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在[0,1]上（)(A) 当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x))(B)当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)(C) 当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)(D) 当 f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间[a，上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断.如果对区间上任意两1

1 2014 年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1．设 = ≠ 0 →∞ a a n n lim ，则当 n充分大时，下列正确的有（ ） （A） 2 a an > （B） 2 a an − (D) n an a 1 0，∃N ，当n > N 时，有 a − a ，所以选择（A） 2．下列曲线有渐近线的是 （A） y = x + sin x （B） y = x + sin x 2 （C） x y x 1 = + sin （D） x y x2 1 = + sin 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于 x y x 1 = + sin ，可知 = 1 →∞ x y x lim 且 0 1 − = = →∞ →∞ x y x x x lim( ) limsin ，所以有斜渐近线 y = x 应该选（C） 3．设 2 3 P(x) = a + bx + cx + dx ，则当 x → 0时，若 P(x) − tan x 是比 3 x 高阶的无穷小，则下列选项 中错误的是（ ） （A）a = 0 （B）b = 1 （C）c = 0 （D） 6 1 d = 【详解】只要熟练记忆当 x → 0时tan ( ) 3 3 3 1 x = x + x + o x ，显然 3 1 a = 0,b = 1,c = 0,d = ，应该选（D） 4．设函数 f (x) 具有二阶导数， g(x) = f (0)(1− x) + f (1)x ，则在[0,1]上（ ） （A）当 f '(x) ≥ 0 时， f (x) ≥ g(x) （B）当 f '(x) ≥ 0 时， f (x) ≤ g(x) （C）当 f ′′(x) ≥ 0 时， f (x) ≥ g(x) （D）当 f ′′(x) ≥ 0 时， f (x) ≤ g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两

点x,,及常数0≤1，恒有(1-)x,+x,)≥(1-)(x)+f(x)，则曲线是凸的.显然此题中x,=0,x=1,=x，则(1-)f(x)+f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x=g(x)，而f(1-a)x, + ax,)= f(x),故当"(x)≥0时，曲线是凹的，即(1-)x,+x,)≤(1-)f(x)+f(x2)，也就是f(x)≤g(x),应该选（D)【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(x)= f(x)-g(x)=f(x)-f(O)(1-x)-f(1)x,则F(0)=F(1)=0,且 F"(x)=f"(x),故当f"(x)≥0时，曲线是凹的，从而F(x)≤F(0)=F(1)=0，即F(x)=f(x)-g(x)≤0，也就是f(x)≤g(x)，应该选 (D)0abo00ba等于5.行列式cd-cood(A) (ad -bc)2(B) -(ad-bc)2(C) a'd?-b2c?(D) -a’d? +bc?【详解】oab0aobaob00+ bloCd0000ablab+bc-adcdfocd=-ad(ad -bc)+ bc(ad -bc)=-(ad -bc)2应该选（B).6.设α,αzα，是三维向量，则对任意的常数k,l，向量α,+kαs，α,+lα,线性无关是向量α,αz,α线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解】若向量α1，α2,α,线性无关，则2

2 点 1 2 x , x 及常数0 ≤ λ ≤ 1，恒有 (( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f 1− λ x + λx ≥ 1− λ f x + λf x ，则曲线是凸的． 显然此题中 x1 = 0, x2 = 1,λ = x ，则(1− λ) f (x1 ) + λf (x2 ) = f (0)(1− x) + f (1)x = g(x)，而 f (( − )x + x ) = f (x) 1 2 1 λ λ ， 故当 f ′′(x) ≥ 0 时，曲线是凹的，即 (( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f 1− λ x + λx ≤ 1− λ f x + λf x ，也就是 f (x) ≤ g(x)， 应该选（D） 【详解 2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F(x) = f (x) − g(x) = f (x) − f (0)(1− x) − f (1)x ，则 F(0) = F(1) = 0，且 F"(x) = f "(x) ，故当 f ′′(x) ≥ 0 时，曲线是凹的，从而 F(x) ≤ F(0) = F(1) = 0，即 F(x) = f (x) − g(x) ≤ 0，也就是 f (x) ≤ g(x)，应该选（D） ５．行列式 c d c d a b a b 0 0 0 0 0 0 0 0 等于 （A） 2 (ad − bc) （B） 2 − (ad − bc) （C） 2 2 2 2 a d − b c （D） 2 2 2 2 − a d + b c 【详解】 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ad(ad bc) bc(ad bc) (ad bc) c d a b bc c d a b ad c d c a b b c d d a b a c d c d a b a b = − − + − = − − = − + = − + 应该选（B）． 6．设α1 α 2 α 3 , , 是三维向量，则对任意的常数k,l ，向量α1 + kα 3 ，α 2 α 3 + l 线性无关是向量α1 α 2 α 3 , , 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量α1 α 2 α 3 , , 线性无关，则

(100(α,+kα,α,+lα,)=(α,αz,α,)=(α，αz,α)K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等(kl)于2，所以向量α,+kα，αz+lα一定线性无关1(000而当α时，对任意的常数k,l，向量α+kαs，α,+lα,线性无关，但(o(o)0αj,αz,α,线性相关；故选择（A).7.设事件A，B想到独立，P(B)=0.5,P(A-B)=0.3则P(B-A)=（(A) 0.1(B) 0.2(C) 0.3(D) 0.4【详解) P(A-B)= 0.3 = P(A)- P(AB)= P(A)- P(A)P(B)= P(A)-0.5P(A)=0.5P(A) 所以P(A)=0.6，P(B-A)= P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(A)=0.2.故选择 (B).X-X服从的分布是8.设Xi,X2,X,为来自正态总体N(0,"）的简单随机样本，则统计量S=12|x:l(B) F(2,1)(C) t(I)(D) t(2)(A) F(1,I)X?【详解]S-，显然-~N(0,),x(0),且~ N(0,1)与V2aaV2gV2|x/~2/x3X,-X,X32aX,-X2_ X,-X2～×(I)相互独立，从而S=t(1)a2xV2/x?x302故应该选择（C).二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设某商品的需求函数为Q=40一2p（p为商品的价格），则该商品的边际收益为【详解】R(p)=pQ=40p-2p2，边际收益R'(p)=40-4p.10.设D是由曲线y+1=0与直线x+y=0及y=2所围成的有界区域，则D的面积为【详解】 S=fdy'dx+'dydx=+ In213

3 （α1 + kα 3 ，α 2 α 3 + l ） K k l ( , , ) ( , , ) 1 2 3 0 1 1 2 3 1 0 α α α = α α α           = ，对任意的常数 k,l ，矩阵 K 的秩都等 于 2，所以向量α1 + kα 3 ，α 2 α 3 + l 一定线性无关． 而当           =           =           = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 α1 α 2 α 3 , , 时，对任意的常数 k,l ，向量 α1 + kα 3 ， α 2 α 3 + l 线性无关，但 α1 α 2 α 3 , , 线性相关；故选择（A）． 7．设事件 A，B 想到独立， P(B) = 0.5, P(A− B) = 0.3则 P(B − A) = （ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 【详解】 P(A− B) = 0.3 = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A) − 0.5P(A) = 0.5P(A) ． 所以 P(A) = 0.6， P(B − A) = P(B) − P(AB) = 0.5 − 0.5P(A) = 0.2 ．故选择（B）． 8．设 X1 X2 X3 , , 为来自正态总体 ( , ) 2 N 0 σ 的简单随机样本，则统计量 3 1 2 2 X X X S − = 服从的分布是 （A） F(1,1) （B） F(2,1) （C） t(1) （D）t(2) 【详解】 2 3 1 2 3 1 2 2 2 X X X X X X S − = − = ，显然 ~ (0,1) 2 1 2 N X X σ − ， ~ (1) 2 2 2 3 χ σ X ，且 ~ (0,1) 2 1 2 N X X σ − 与 ~ (1) 2 2 2 3 χ σ X 相互独立，从而 ~ (1) 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 t X X X X X X X X X S σ σ − = − = − = 故应该选择（C）． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．设某商品的需求函数为Q = 40 − 2 p （ p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】 2 R( p) = pQ = 40 p − 2 p ，边际收益 R'( p) = 40 − 4 p ． 10 ． 设 D 是由曲线 xy +1 = 0 与直线 x + y = 0 及 y = 2 所围成的有界区域，则 D 的面积 为 ． 【详解】 2 2 0 1 1 2 1 1 0 0 = + = + ln ∫ ∫− ∫ ∫− y y S dy dx dy dx

"xe?*dx11.设[则a：020"'xe2dx-|_e"r【详解】(2x-1) l =(2a-1)+所以a24N12.二次积分[:To(-en -a-Toferd='dxd-f'er(-)dy【详解】f'ere -f'e" dy+f'ye" dy=f' ye" dy=(e-1)13.设二次型f(xi,x2,x)=x-x+2axx+4x2x的负惯性指数是1，则a的取值范围是【详解】由配方法可知f(x,x2,x,)=x-x2 +2ax,x, +4x2x,=(x +ax,)2 -(x2 -2x,)2 +(4-a)x2由于负惯性指数为1，故必须要求4-a2≥0，所以a的取值范围是[-2,2]2x,0<x<2030214.设总体X的概率密度为f(x,)=，其中e是未知参数，X,X,，X是来自总［o，其它1X是°的无偏估计，则常数C=体的简单样本，若C-【详解1E(X)-,所以[c=Cne，由于cx？是的无偏估计，X3A212故Cn=25n三、解答题15.（本题满分10分）(t'(e' -1)-t)dt求极限limx→+0x In(1+-)x

4 11．设 4 1 0 2 = ∫ a x xe dx ，则a = ． 【详解】 4 1 2 1 4 2 1 4 4 1 2 0 2 0 2 = = − = − + ∫ ( )| ( a ) e x e xe dx a a x a x ．所以 . 2 1 a = 12．二次积分 =         − ∫ ∫ e dx x e dy y y x 1 1 0 2 2 ． 【详解】 ( ) ( ) 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = = − = − − = −         − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ e e dy ye dy ye dy e dy e y dy x e dx dy dy e dx x e e dx dx x e dy x dx y y y x y x x y y x y y x 13 ． 设二次型 1 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 − x + 2ax x + 4x x 的负惯性指数是 1 ， 则 a 的取值范围 是 ． 【详解】由配方法可知 2 3 2 2 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 4 2 4 x ax x x a x f x x x x x ax x x x ( ) ( ) ( ) ( , , ) = + − − + − = − + + 由于负惯性指数为 1，故必须要求4 0 2 − a ≥ ，所以a 的取值范围是[− 2,2]． 14．设总体 X 的概率密度为      < < = , 其它 , ( , ) 0 2 3 2 2 θ θ θ θ x x f x ，其中θ 是未知参数，X X Xn , ,, 1 2 是来自总 体的简单样本，若 ∑= n i C Xi 1 2 是 2 θ 的无偏估计，则常数C = ． 【详解】 2 2 2 2 2 5 3 2 θ θ θ θ = = ∫ 2 dx x E(X ) x ，所以 2 1 2 2 5 E C X Cn θ n i i =        ∑= ，由于 ∑= n i C Xi 1 2 是 2 θ 的无偏估计， 故 1 2 5 Cn = ， n C 5 2 = ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 求极限 ln( ) ( ( ) ) lim x x t e t dt x t x 1 1 1 2 1 1 2 + − − ∫ →+∞ ．

【分析】.先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限.【详解】['(t'(ei -1)- t)dt[(t'(e' -1)-t)dtlim(x(ex-1)-x)limlimxx-→+00x-→+oHx In(1 +-道r++a1-r16.（本题满分10分）设平面区域D=(x,)]1≤x+≤4,≥0.y≥0f。计算[sin(/+)dxdyx+y详[解1由性对称得可sin(元/x+y2((x+ y)sin(元/x?+ y)x? +yysin（元）dxdyrd2x+yx+yx+y-sin(π /x + y)Udxdrsinrdr=12S17.（本题满分10分）a'z.az设函数(u)具有二阶连续导数，z=(ecosJ)满足=(4z+e*cosy)e2*.若ax2"ayf(0)=0,f(0)=0，求f(u)的表达式【详解】设u=ecosy,则z=f(u)=f(ecosy),a'zaz.=f'(u)ercosy,= f"(u)e?* cos y+ f'(u)e* cos y;axax?a°zOz.=f"(u)e2"sin"y-f"(u)e"cosy:-f'(u)e"siny,ayy20z.a'z= f"(u)e2x = f"(e" cos y)e?xax2+ ay?az.a"z由条件(4z + e* cos y)e2xax?Qy?可知f"(u)=4f(u)+u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程，对应齐次方程的通解为：5

5 【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2  =      = + + − = − − − − = + − − →∞ →+∞ →+∞ →∞ ∫ ∫ x x o x x x x e x x t e t dt x x t e t dt x x x x t x x t x lim ( ( ) lim( ( ) ) ( ( ) ) lim ln( ) ( ( ) ) lim 16．（本题满分 10 分） 设平面区域 { 1 4 0 0} 2 2 D = (x, y)| ≤ x + y ≤ , x ≥ . y ≥ ．计算 ∫∫ + + D dxdy x y x sin( x y ) 2 2 π 【 详 解 】 由对称性可得 4 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − + = + + + = + + = + + ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D D dxd d r rdr x y dxdy x y x y x y dxd x y y x y dxd x y x x y θ π π π π π π sin sin( ) sin( ) sin( ) ( )sin( ) 17．（本题满分 10 分） 设函数 f (u) 具有二阶连续导数， z f (e cos y) x = 满 足 x x z e y e y z x z 2 2 2 2 2 = (4 + cos ) ∂ ∂ + ∂ ∂ ． 若 f (0) = 0, f '(0) = 0，求 f (u)的表达式． 【详解】 设 u e y x = cos ，则 z f (u) f (e cos y) x = = ， f u e y f u e y x z f u e x z x y x x '( ) , "( ) cos '( ) cos cos = + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 ; f u e y f u e y y z f u e y y z x x x '( ) sin , = "( ) sin − '( ) cos ∂ ∂ = − ∂ ∂ 2 2 2 2 ； x x x f u e f e y e y z x z 2 2 2 2 2 2 = "( ) = "( cos ) ∂ ∂ + ∂ ∂ 由条件 x x z e y e y z x z 2 2 2 2 2 = (4 + cos ) ∂ ∂ + ∂ ∂ ， 可知 f "(u) = 4 f (u) + u 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：

f(u)=C,e2"+Ce-2"其中C,C,为任意常数对应非齐次方程特解可求得为*4故非齐次方程通解为f(u)=C,e2"+C,1将初始条件f(0)=0,F(0)=0代入，可得C1616-所以f(u)的表达式为f(u)=1616418.（本题满分10分）求幂级数(n+1)(n+3)x"的收敛域、和函数=【详解】a由于lim所以得到收敛半径R=1a当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为(-1,1)令和函数S(x)=Z(n+1)(n+3)x",则1=0S(x)=Z(n + 4n+3)x" =(n+2)(n+1)x" +(n+1)x" =31(高)(高)19.（本题满分10分）设函数f(x),g(x)在区间[a.b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：(1) 0≤f, g()dt ≤x-a, xe[a,b]: ()s(g()x(2)【详解】(1) 证明: 因为 0≤g(x)≤1, 所以[,odx≤,g(t)dt≤,1dt x e[a,b])即0≤f, g(t)dt ≤x-a, x e[a,b].(2) F()-I" (m)g(m)au- r (m)dam

6 u u f u C e C e 2 2 2 1 − ( ) = + 其中C1 C2 , 为任意常数． 对应非齐次方程特解可求得为 y u 4 1 * = − ． 故非齐次方程通解为 f u C e C e u u u 4 2 1 2 2 = 1 + − − ( ) ． 将初始条件 f (0) = 0, f '(0) = 0代入，可得 16 1 16 1 C1 = ,C2 = − ． 所以 f (u)的表达式为 f u e e u u u 4 1 16 1 16 1 2 2 = − − − ( ) ． 18．（本题满分 10 分） 求幂级数∑ ∞ = + + 0 1 3 n n (n )(n )x 的收敛域、和函数． 【详解】 由于 1 1 = + →∞ n n n a a lim ，所以得到收敛半径 R = 1． 当 x = ±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为(−1,1)． 令和函数 S(x) = ∑ ∞ = + + 0 1 3 n n (n )(n )x ，则 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 4 3 2 1 1 ( ) " ' ( ) ( ) ( )( ) ( ) " ' x x x x x x S x n n x n n x n x x x n n n n n n n n n n − −  =      − +         − =         +         = ∑ + + = ∑ + + + ∑ + = ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ∞ = ∞ = ∞ = 19．（本题满分 10 分） 设函数 f (x), g(x)在区间[a.b]上连续，且 f (x) 单调增加，0 ≤ g(x) ≤ 1，证明： （1） g t dt x a x [a b] x a ≤ ( ) ≤ − , ∈ , ∫ 0 ； （2） ∫ ∫ ≤ ∫ + b a a g t dt a f x dx f x g x dx b a ( ) ( ) ( ) ( ) ． 【详解】 （1）证明：因为0 ≤ g(x) ≤ 1，所以 dx g t dt dt x [a b] x a x a x a ≤ ( ) ≤ ∈ , ∫ ∫ ∫ 0 1 ． 即 g t dt x a x [a b] x a ≤ ( ) ≤ − , ∈ , ∫ 0 ． （2）令 ∫ ∫ ∫ = − + x a a g t dt a x a F x f u g u du f u du ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

则可知 F(a)=0, 且 F(x)= f(x)g(x)-g(x)(a+J. g(t)dt)因为0≤g(t)dt≤x-a,且f(x)单调增加,所以(a+J g()dt)≤ f(a+x-a)=f(x)。 从而F(x)=(x)g(x)-g(x)(a+J, g(t)dt)≥ f(x)g(x)-g(x)f(x)=0, xe[a,b])也是F(x)在[a,b]单调增加，则F(b)≥F(a)=0，即得到Tr ()'()g()a.20.（本题满分11分）(1 -2 3 -4)设A=01-1E为三阶单位矩阵，20(13(1)求方程组AX=0的一个基础解系；(2)求满足AB=E的所有矩阵.【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：1-2341-23-101010A=1112030LO43-10(1得到方程组AX=0同解方程组[x =-x4x2=2x4[x, = 3x42得到AX=0的一个基础解系31xIizX2J23（2）显然B矩阵是一个4×3矩阵，设B：y3X373X4y4Z4对矩阵（AE)进行进行初等行变换如下：7

7 则可知 F(a) = 0 ，且       = − + ∫ x a F'(x) f (x)g(x) g(x) f a g(t)dt ， 因为 g(t)dt x a, x a ≤ ≤ − ∫ 0 且 f (x) 单调增加， 所以 f a g(t)dt f (a x a) f (x) x a  ≤ + − =      + ∫ ．从而  ≥ − = 0      = − + ∫ F'(x) f (x)g(x) g(x) f a g(t)dt f (x)g(x) g(x) f (x) x a ， x ∈[a,b] 也是 F(x)在[a,b]单调增加，则 F(b) ≥ F(a) = 0，即得到 ∫ ∫ ≤ ∫ + b a a g t dt a f x dx f x g x dx b a ( ) ( ) ( ) ( ) ． 20．（本题满分 11 分） 设           − − − = 1 2 0 3 0 1 1 1 1 2 3 4 A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组 AX = 0 的一个基础解系； （2） 求满足 AB = E 的所有矩阵． 【详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：           − → −           − − − − →           − − − − →           − − − = 0 0 1 3 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 3 0 1 1 1 1 2 3 4 0 4 3 1 0 1 1 1 1 2 3 4 1 2 0 3 0 1 1 1 1 2 3 4 A ， 得到方程组 AX = 0 同解方程组      = = = − 3 4 2 4 1 4 3 2 x x x x x x 得到 AX = 0 的一个基础解系               − = 1 3 2 1 ξ 1 ． （2）显然 B 矩阵是一个4×3矩阵，设               = 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z x y z B 对矩阵(AE) 进行进行初等行变换如下：

(13100-2400(AE) =0L102-6010U4-00017由方程组可得矩阵B对应的三列分别为0A2V.L3yX2.20即满足AB=E的所有矩阵为(2-c)6-C2-1-c,-1+2c,-3+2c,1+2c;B=-1+3c-4+3c1+3c3cC2C3其中c,C2,C,为任意常数21.（本题满分11分）11..10.0100211证明n阶矩阵相似::..：1100n0000B:【详解】证明：设A:.0on.1分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：[a-1-1-1a-1..-1-1NE-A-=(a-n)a"-l,:::..a-1-1-1所以A的n个特征值为=n,,=,=...,=0；(0而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化。且A～0X

8           − − − − − − − →           − − − − − − →           − − − − − →           − − − = 0 0 1 3 1 4 1 0 1 0 2 1 3 1 1 0 0 1 2 6 1 0 0 1 3 1 4 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 3 4 1 0 0 0 4 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 3 4 1 0 0 1 2 0 3 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 3 4 1 0 0 (AE) 由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为               − +               − − =               1 3 2 1 0 1 1 2 1 4 3 2 1 c x x x x ，               − +               − − =               1 3 2 1 0 4 3 6 2 4 3 2 1 c y y y y ，               − +               − =               1 3 2 1 0 1 1 1 3 4 3 2 1 c z z z z ， 即满足 AB = E 的所有矩阵为               − + − + + − + − + + − − − − = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 4 3 1 3 1 2 3 2 1 2 2 6 1 c c c c c c c c c c c c B 其中 1 2 3 c ,c ,c 为任意常数． 21．（本题满分 11 分） 证明n阶矩阵               1 1 1 1 1 1 1 1 1       与               0 0 n 0 0 2 0 0 1       相似． 【详解】证明：设 A =               1 1 1 1 1 1 1 1 1       ， B =               0 0 n 0 0 2 0 0 1       ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − − − − − − − − − − − = n E A λ n λ λ λ λ λ ( )       ， 所以 A 的 n个特征值为λ1 = n,λ2 = λ3 = λ n = 0； 而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且               0 0  λ A ~ ；

2002...-2QE-B-=(2-n)2"-I:...oo...a-n所以B的n个特征值也为=n,,==..，=0对于n-1重特征值a=0，由于矩阵（0E-B)=-B的秩显然为1,所以矩阵B对应n-1重特征值元=0的特征向量应该有n一1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对(0角化，且B00011002相似从而可知n阶矩阵:..:1...010n22.（本题满分11分）设随机变量X的分布为P(X=1)=P(X=2)=在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布2U(0,i),i=1,2 .(1)求Y的分布函数；(2）求期望E(Y).【详解】（1）分布函数F(y) = P(Y≤y) = P(Y ≤y,X = I)+ P(Y≤y,X = 2):P(Y ≤ y/ X =1)P(X =1)+ P(Y ≤y/ X = 2)P(X =2)(P(Y≤y/ X = 1)+ P(Y≤y/ X =2)当y<0时，F(y)=0当0<1时，F()=y+=+V22-4l+ly--v+!当1≤y<2时，F(y)=y+222-412当y≥2时，F(y)=1所以分布函数为9

9 1 0 0 0 2 0 1 − = − − − − − = n n n E B λ λ λ λ λ λ ( )       所以 B 的n个特征值也为λ1 = n,λ2 = λ3 = λ n = 0； 对于n −1重特征值λ = 0 ，由于矩阵(0E − B) = −B 的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 n −1重特征值λ = 0 的特征向量应该有n −1个线性无关，进一步矩阵 B 存在 n个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对 角化，且               0 0  λ B ~ 从而可知n阶矩阵               1 1 1 1 1 1 1 1 1       与               0 0 n 0 0 2 0 0 1       相似． 22．（本题满分 11 分） 设随机变量 X 的分布为 2 1 P(X = 1) = P(X = 2) = ，在给定 X = i 的条件下，随机变量Y 服从均匀分布 U(0,i),i = 1,2 ． （1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望 E(Y ). 【详解】（1）分布函数 ( ( / ) ( / )) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 = ≤ = + ≤ = = ≤ = = + ≤ = = = ≤ = ≤ = + ≤ = P Y y X P Y y X P Y y X P X P Y y X P X F y P Y y P Y y X P Y y X 当 y < 0时， F( y) = 0； 当0 ≤ y < 1时， y y F y y 4 3 2 2 1 2 1 ( ) = + = ； 当1≤ y < 2时， 2 1 4 1 2 2 1 2 1 = + = y + y F( y) ； 当 y ≥ 2时， F( y) = 1． 所以分布函数为

o,J<0,0≤y<1F(y) :1?y,1≤y<24[1,J≥23,0<y<14(2）概率密度函数为f(y)=F"(y)=,l<y<2,0其它[dy=E(Y)ydy+J1440423.（本题满分11分）2设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为P(X=O)=,P(X =1) =且X，Y的相关系数321Pxy =2(1)求二维随机变量（X,Y）的联合概率分布：(2)求概率P(X+Y≤1)1221[详解]由于X，Y的概率分布相同，故P(X=O)=5,P(X =1) =P(Y = 0)= -,P(Y =1) =3322显然EX=EY=DX = DY =39E(xy)-E(XY)-EXEYCOV(X,Y)9相关系数pxy=2192DXDYNDXDY5所以E(XY)=9而E(XY)=1×1xP(X=1,Y=1),所以P(X=1,Y=1):从而得到(X,Y)的联合概率分布：910

10          ≥ + ≤ < ≤ < < = 1 2 1 2 2 4 1 0 1 4 3 0 0 y y y y y y F y , , , , ( ) （2）概率密度函数为          < < < < = = 其它 , , , ( ) '( ) 0 1 2 4 1 0 1 4 3 y y f y F y ， 4 3 4 4 3 2 1 1 0 = + = ∫ ∫ dy y E(Y ) ydy ． 23．（本题满分 11 分） 设随机变量 X，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 3 2 1 3 1 P(X = 0) = , P(X = ) = ，且 X，Y 的相关系数 2 1 ρ XY = ． （1） 求二维随机变量(X,Y )的联合概率分布； （2） 求概率 P(X +Y ≤ 1)． [详解]由于 X，Y 的概率分布相同，故 3 2 1 3 1 P(X = 0) = , P(X = ) = ， 3 2 1 3 1 P(Y = 0) = , P(Y = ) = ， 显然 3 2 EX = EY = ， 9 2 DX = DY = 相关系数 ( ) 9 2 9 4 2 1 − = − = = = E XY DX DY E XY EXEY DX DY COV X Y XY ( , ) ( ) ρ ， 所以 9 5 E(XY ) = ． 而 E(XY ) = 1×1× P(X = 1,Y = 1) ，所以 9 5 P(X = 1,Y = 1) = ，从而得到(X,Y )的联合概率分布：