2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的[1-cos x,x>0在x=0连续，则(1）若函数f(x)=axb,x≤0(A)ab=!(B)ab=_!(D)ab=2(C) ab = 022(2）设二阶可到函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1且f"(x)>0，则(A) F"f(x)dx>0(B) J,(x)dxJ(x)dx(D) L"(x)dx0,(则axdy
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. （1）若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x=0 连续，则 (A) 1 2 ab = (B) 1 2 ab = − (C) ab = 0 (D) ab = 2 （2）设二阶可到函数 f x( ) 满足 f f f (1) ( 1) 1, (0) 1 = − = = − 且 f x ( ) 0 ，则 (A) 1 1 f x dx ( ) 0 − (B) 1 2 f x dx ( ) 0 − (C) 0 1 1 0 f x dx f x dx ( ) ( ) − (D) 1 1 1 0 f x dx f x dx ( ) ( ) − （3）设数列 xn 收敛，则 (A)当 lim sin 0 n n x → = 时， lim 0 n n x → = (B)当 lim ( ) 0 n n n n x x x → + = 时，则 lim 0 n n x → = (C)当 2 lim( ) 0 n n n x x → + = , lim 0 n→ = (D)当 lim( sin ) 0 n n n x x → + = 时， lim 0 n n x → = （4）微分方程 2 4 8 (1 cos 2 ) x y y y e x − + = + 的特解可设为 k y = (A) 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x Ae e B x C x + + (B) 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x Axe e B x C x + + (C) 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x Ae xe B x C x + + (D) 2 2 ( cos 2 sin 2 ) x x Axe xe B x C x + + （5）设 f x( ) 具有一阶偏导数，且在任意的 ( , ) x y ，都有 ( , ) ( , ) 0, f x y f x y x y 则
(A) f(0,0)> f(1,1)(B) f(0,0) f(1,0)(D) f(0, 1) 25(A) t。=10(B)15<to <20个Vmis)t(S)253010IsS20000（7）设A为三阶矩阵，P=(αf,α2,α）为可逆矩阵，使得P-"AP=001则002A(α,α2,α,)=(A)aα, +α2(B)α +2α3(C)α, +αs(D)α, +2α220020200（8）已知矩阵A=1000-(A)A与 C相似，B与 C相似(B)A与C相似，B 与 C不相似
(A) f f (0, 0) (1,1) (B) f f (0, 0) (1,1) (C) f f (0,1) (1, 0) (D) f f (0,1) (1, 0) （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度 曲线 v v t = 1 ( ) （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 v v t = 2 ( )，三块阴影部分面积的数值依 次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t （单位:s）,则 (A) 0 t =10 (B) 0 15 20 t (C) 0 t = 25 (D) 0 t 25 （7）设 A 为三阶矩阵， 1 2 3 P = ( , , ) 为可逆矩阵，使得 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 P AP − = ， 则 1 2 3 A( , , ) = (A) 1 2 + (B) 2 3 + 2 (C) 2 3 + (D) 1 2 + 2 （8）已知矩阵 200 0 2 1 0 0 1 A = ， 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B = ， 1 0 0 0 2 0 000 C = ，则 (A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分（9）曲线y=x(1+arcsin2x）的斜渐近线方程为[x=t+e'（10）设函数y=y(x)由参数方程）确定，贝dxy=sint(11)ln(1+dx(1 + x)(12）设函数f（x,y)具有一阶连续偏导数，且df (x,y)=ye'dx+x(1 +y)e'dy,f (o,o)= 0,则f(x,y)=rl tan Xdx《13)dvX41-2的一个特征向量为（14）设矩阵A=2则a31-12三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）Ix-te'dt求limr→0+Vx3（16）（本题满分10分）数()具有阶连续性导致(。c)（17）（本题满分10分）2条1n(1+)求limk=in2n（18）（本题满分10分）已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值（19）（本题满分10分）f(x)0, limx（1）方程f(x）=0在区间（0,1)至少存在一个根
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 二、填空题：9~14 题，每小题 4 分，共 24 分. （9）曲线 ( ) 2 y x x = + 1 arcsin 的斜渐近线方程为 （10）设函数 y y x = ( ) 由参数方程 sin t x t e y t = + = 确定，则 2 2 t 0 d y dx = （11） ( ) 2 0 ln(1 ) 1 x dx x + + + = （12）设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续偏导数，且 ( , 1 , 0,0 0 ) ( ) ( ) y y df x y ye dx x y e dy f = + + = ，则 f x y ( , ) = （13） 1 1 0 tan y x dy dx x = （14）设矩阵 4 1 2 1 2 3 1 1 A a − = − 的一个特征向量为 1 1 2 ，则 a = 三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 求 → + − 0 0 3 lim x t x x te dt x （16）（本题满分 10 分） 设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续性偏导数， y , ( ) x = f e cosx ,求 0 dy d x x = , 2 2 0 d y d x x = （17）（本题满分 10 分） 求 2 1 lim ln 1 n n k k k → n n = + （18）（本题满分 10 分） 已知函数𝑦(𝑥)由方程𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0确定，求𝑦(𝑥)的极值 （19）（本题满分 10 分） f x( ) 在 0,1 上具有 2 阶导数， 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + ，证明 （1）方程 f x( ) 0 = 在区间 (0,1) 至少存在一个根
(2）方程f(x)+F"(x)+[F(x)}"=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分11分）已知平面区域D=((x,)2+y22y)，计算二重积分(x+1)dxdy（21）（本题满分11分）3设(x)是区间(0,)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=(x)上的任意一2点，L在点P处的切线与y轴相交于点(O,Yp)，法线与x轴相交于点(Xp,O)，若X，=Yp，求L上点的坐标(x,J)满足的方程。（22）（本题满分11分）三阶行列式A=(α,α2,α）有3个不同的特征值，且α=α,+2α(1）证明r(A)=2（2）如果β=α+α,+α,求方程组Ax=b的通解（23）（本题满分11分）设f(,2)=2x-+ax+2x-8x+2x在正交变换x=Q下的标准型为+求a的值及一个正交矩阵Q
（2）方程 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) 0 + + = 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同的实根 （20）（本题满分 11 分） 已知平面区域 ( ) 2 2 D x y x y y = + , 2 ，计算二重积分 ( ) 2 1 D x dxdy + （21）（本题满分 11 分） 设 y x( ) 是区间 3 (0, ) 2 内的可导函数，且 y(1) 0 = ，点 P 是曲线 L y y x : ( ) = 上的任意一 点， L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 (0, ) YP ，法线与 x 轴相交于点 ( , 0) XP ，若 X Y p P = ，求 L 上点的坐标 ( , ) x y 满足的方程。 （22）（本题满分 11 分） 三阶行列式 1 2 3 A = ( , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2 = + 2 （1）证明 r A( ) 2 = （2）如果 = + + 1 2 3 求方程组 Ax b = 的通解 （23）（本题满分 11 分） 设 1 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 x Qy = 下的标准 型为 2 2 1 1 2 2 y y + 求 a 的值及一个正交矩阵 Q