区Born to win跨考专2017年考研数学一真题及答案解析、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上[1-cos Vx.x>0在x=0处连续，则（(1）若函数f(x)=axb,x≤o(A)ab= !(B)ab= -22(C)ab = 0(D)ab = 2【答案】A1limt1-cos /x11【解析】lim，：f(x)在x=0处连续：b=ab:选A22a2aX→0*axaxx→0+(2）设函数f(x)可导，且f(x)f(x)>0，则（)(B)f(I) f(-1)(C)/F()>f(-1)l(D)/f(1)0[f(x)0,.(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。L(m)>00)或l(x)<0(3）函数f(x,y,=)=x2y+z在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（(A)12(B)6(C)4(D)2【答案】D122af=gradf=(4,1,0) ([解析】 gradf =[2xy,x,22),→ gradf a20) =(4,1,0)= =2[ul333Ou选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v=v（t）（单全国统一服务热线：400—668—21551
全国统一服务热线：400—668—2155 1 Born to win 2017 年考研数学一真题及答案解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续，则（ ） ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) 0 2 A ab B ab C ab D ab = = − = = 【答案】A 【解析】 0 0 1 1 cos 1 2 lim lim , ( ) x x 2 x x f x ax ax a → → + + − = = 在 x = 0 处连续 1 1 . 2 2 b ab a = = 选 A. （2）设函数 f x( ) 可导，且 ' f x f x ( ) ( ) 0 ，则（ ） ( ) ( ) ( ) (1) ( 1) (1) ( 1) ( ) (1) ( 1) (1) ( 1) A f f B f f C f f D f f − − − − 【答案】C 【解析】 ' ( ) 0 ( ) ( ) 0, (1) '( ) 0 f x f x f x f x 或 ( ) 0 (2) '( ) 0 f x f x ，只有 C 选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选 C。 （3）函数 2 2 f x y z x y z ( , , ) = + 在点 (1, 2,0) 处沿向量 u = (1,2,2) 的方向导数为（ ） ( )12 ( )6 ( )4 ( )2 A B C D 【答案】D 【解析】 2 (1,2,0) 1 2 2 {2 , ,2 }, {4,1,0} {4,1,0} { , , } 2. | u | 3 3 3 f u gradf xy x z gradf gradf u = = = = = 选 D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 1 v v t = ( ) （单
Born to win!精勤求学自强不息考考册位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=v()，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t。（单位：s)，则（(m/s)101151020255301(s)(D)t。>25(A)=10(B)15<to<20(C)t。 = 25【答案】B【解析】从0到t。这段时间内甲乙的位移分别为y(t)dt,v2(t)dt,则乙要追上甲，则y2(t)-V,(t)dt=10，当t。=25时满足，故选C（5）设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（(A)E-αα不可逆(B)E+αα不可逆(C)E+2αα不可逆(D)E-2αα不可逆【答案】A【解析】选项A,由(E-αα)α=α-α=0得(E-αα)x=0有非零解，故E-αα=0。即E-αα不可逆。选项B,由r(αα)α=1得ααT的特征值为n-1个0，1.故E+αα的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。[20021000020（6）设矩阵A=1则（:L00000011(A)A与C相似,B与C相似(B)A与C相似,B与C不相似(C)A与C不相似,B与C相似(D)A与C不相似,B与C不相似【答案】B2全国统—服务热线：400—668—2155
2 2 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 位： m s/ ），虚线表示乙的速度曲线 2 v v t = ( ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 0 t （单位：s），则（ ） 0 5 10 15 20 25 30 t s() v m s ( / ) 10 20 0 0 0 0 ( ) 10 ( )15 20 ( ) 25 ( ) 25 A t B t C t D t = = 【答案】B 【解析】从 0 到 0 t 这段时间内甲乙的位移分别为 0 0 1 2 0 0 (t) , (t) , t t v dt v dt 则乙要追上甲，则 0 2 1 0 (t) v (t) 10 t v dt − = ，当 0 t = 25 时满足，故选 C. （5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T T T T A E B E C E D E − + + − 不可逆 不可逆 不可逆 不可逆 【答案】A 【解析】选项 A,由 ( ) 0 − = − = T E 得 ( ) 0 − = T E x 有非零解，故 − = 0 T E 。即 − T E 不可逆。选项 B,由 ( ) 1 = T r 得 T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 + T E 的特征值为 n-1 个 1，2.故可 逆。其它选项类似理解。 （6）设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C = = = ,则（ ） ( ) ( ) ( ) , , ( ) , , A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与 相似 与 相似 与 相似 与 不相似 与 不相似 与 相似 与 不相似 与 不相似 【答案】B
Born to win【解析】由（aE-A)=0可知A的特征值为2,2,1001因为3-r(2E-A)=1，A可相似对角化，且A02020由2E-B=0可知B特征值为2,2,1.因为3-r(2E-B)=2，：.B不可相似对角化，显然C可相似对角化：A~C，且B不相似于C(7)设A,B为随机概率，若0P(AB)的充分必要条件是（(A)P(B|A) >P(BA)(B)P(B|A)P(BA)【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则A选项符合题意。（8）设X,X,X,(n≥2)为来自总体N(u,I)的简单随机样本，记X=X，则下列结论中不正确n的是（)(A)(X,-)服从分布(B)2(X，-X）服从分布-(C)(X,-X)服从分布(D)n(X-μ)服从x分布i=l【答案】B【解析】X ~ N(u,1),X, -μ~ N(0,1)(X,-μ)~x(n),A正确→(n-1)S2=Z(X,-X) ~x(n-1), C正确,i=l= X~N(μ,-), Vn(X-μ)~ N(0,I),n(X-μ)2~ x(1I), D正确,=~ N(02),=X~2(),故B错误。2全国统一服务热线：400—668—2155
全国统一服务热线：400—668—2155 3 Born to win 【解析】由 ( ) 0 E A − = 可知 A 的特征值为 2,2,1 因为 3 (2 ) 1 − − = r E A ，∴A 可相似对角化，且 100 ~ 0 2 0 0 0 2 A 由 E B− = 0 可知 B 特征值为 2,2,1. 因为 3 (2 ) 2 − − = r E B ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A C~ ，且 B 不相似于 C （7）设 A B, 为随机概率，若 0 ( ) 1,0 ( ) 1 P A P B ，则 P A B P A B ( ) ( ) 的充分必要条件是（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A P B A P B A B P B A P B A C P B A P B A D P B A P B A 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。 （8）设 1 2 , ( 2) X X X n n 为来自总体 N( ,1) 的简单随机样本，记 1 1 n i i X X n = = ，则下列结论中不正确 的是（ ） ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) n i n i n i i A X B X X C X X D n X = = − − − − 服从 分布 服从 分布 服从 分布 服从 分布 【答案】B 【解析】 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ,1), (0,1) ( ) ( ), ( 1) ( ) ( 1) C 1 ~ ( , ), ( ) (0,1), ( ) ~ (1), ( ) ~ (0, 2), ~ (1), B 2 i n i i n i i n X N X N X n A n S X X n X N n X N n X D n X X N = = − − − = − − − − − 正确 ， 正确， 正确, 故 错误
Born to win!区精求学自强不息跨考考研由于找不正确的结论，故B符合题意。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上1(9）已知函数f(x)=，则 (3)(0)=1+2【答案】f(O)=-6【解析】1S(-1)"x2(-x2)" =f(x):1+x2 = 1-(-x3)(x)=(-1)"2n(2n-1)(2n-2)x2n-3 = (0)=0(10）微分方程y+2y+3y=0的通解为y=【答案】y=e(ccosV2x+c,sin/2x)，（c,c,为任意常数）【解析】齐次特征方程为22+2+3=0→4,2=-1+2i故通解为e*(c,cos2x+C,sin2x)[-9在区域D=(x,)]|x+<1)内与路径无关，则(11）若曲线积分「2+y-1a=【答案】α=lapaQ-2xy2axyaP_oQ，由积分与路径无关知【解析】a=-1(x + y2-1)2ax" (x2 + y2-1)2ayaxay(12)幂级数(-1)"-I nx"-I 在区间(-1,1)内的和函数S(x)=n=11【答案】s(x)=(1+ x)1) "- x"-l (-1)【解析】-1 + xn=10（13）设矩阵A：α,αz,α,为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα,Aαz,Aα,的秩为(o11全国统一服务热线：400—668—2155
4 4 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 由于找不正确的结论，故 B 符合题意。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 已知函数 2 1 ( ) 1 f x x = + ，则 (3) f (0) =_ 【答案】 f (0) 6 = − 【解析】 2 2 2 2 0 0 ''' 2 3 ''' 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( 1) 2 (2 1)(2 2) (0) 0 n n n n n n n n f x x x x x f x n n n x f = = − = = = = − = − + − − = − − − = (10) 微分方程 '' ' y y y + + = 2 3 0 的通解为 y = _ 【答案】 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x y e c x c x − = + ，（ 1 2 c c, 为任意常数） 【解析】齐次特征方程为 2 1,2 + + = = − + 2 3 0 1 2i 故通解为 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x e c x c x − + (11) 若曲线积分 2 2 L 1 xdx aydy x y − + − 在区域 2 2 D x y x y = + ( , ) | 1 内与路径无关，则 a =_ 【答案】 a =1 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( 1) ( 1) P xy Q axy y x y x x y − = = + − + − 由积分与路径无关知 1 P Q a y x = = − (12) 幂级数 1 1 1 ( 1)n n n nx − − = − 在区间 ( 1,1) − 内的和函数 S x( ) = _ 【答案】 ( ) 2 1 ( ) 1 s x x = + 【解析】 ' ' 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 (1 ) n n n n n n x nx x x x − − − = = − = − = = + + （13）设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A = ， 1 2 3 , , 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 1 2 3 A A A , , 的秩为
区Born to win跨考考好【答案】2【解析】由α，α，α,线性无关，可知矩阵α，α，α可逆，故r(Aαi, Aα2, Aα,)=r(A(αi,α2,α,))=r(A)再由r(A)=2 得r(Aα, Aα2, Aα,)=2（14）设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5Φ(x)+0.5Φ()，其中Φ(x)为标准正态分布函数，则EX =【答案】20.5(x-)，故EX=0.5x(x)d+5-xp(-d【解析】F(x)=0.5(x)+2厂 x0()= EX=0. 今号4=1, 则 x0(号)x=2/(4+2)(0dt=8.1+4/0()dt=8 2因此E(X)=2三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）d?1dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y=f(e,cosx)，必dxdx=fa),dy= fi(, 1)【答案】dx?dx【解析】y= f(e*,cos x)= y(0)= f(1,1)dy=(fie + f(-sin x) = fi(1,1)-1+ fi(1,1)-0= fi(1,1)dxd'y fie2*+ fie'(-sin x)+ fe'(-sin x)+ f, sin’x+ frer- f cos xdr2d'y= fi(1,1)+ f(1,1)- f(1,1)-dr?结论：全国统—服务热线：400—668—2155
全国统一服务热线：400—668—2155 5 Born to win _ 【答案】2 【解析】由 1 2 3 , , 线性无关，可知矩阵 1 2 3 , , 可逆，故 r A A A r A r A ( 1 2 3 1 2 3 , , , , ) = = ( ( )) ( ) 再由 r A( ) = 2 得 r A A A ( 1 2 3 , , 2 ) = （14）设随机变量 X 的分布函数为 4 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 2 x F x x − = + ，其中 ( ) x 为标准正态分布函数，则 EX = _ 【答案】2 【解析】 0.5 4 ( ) 0.5 ( ) ( ) 2 2 − = + x F x x ，故 0.5 4 0.5 ( ) ( ) 2 2 + + − − − = + x EX x x dx x dx ( ) 0 + − = = x x dx EX 。令 4 2 − = x t ，则 4 ( ) 2 + − − x x dx = 2 4 2 ( ) 8 1 4 ( ) 8 ( ) + + − − + = + = t t dt t t dt 因此 E X( ) 2 = . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. （15）（本题满分 10 分） 设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续偏导数， ( ,cos ) x y f e x = ，求 x 0 dy dx = ， 2 2 x 0 d y dx = 【答案】 2 ' '' 1 11 2 0 0 (1,1), (1,1), x x dy d y f f dx dx = = = = 【解析】 ( ( )) 0 ' ' ' ' ' 1 2 1 2 1 0 0 2 '' 2 '' '' '' 2 ' ' 2 11 12 21 22 1 2 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 ( ,cos ) (0) (1,1) sin (1,1) 1 (1,1) 0 (1,1) ( sin ) ( sin ) sin cos (1,1) (1,1) (1,1) x x x x x x x x x x y f e x y f dy f e f x f f f dx d y f e f e x f e x f x f e f x dx d y f f f dx = = = = = = = + − = + = = + − + − + + − = + − 结论：
Born to win!区精勤求学自强不息跨考专班dy= f,(1,1)dxd',= fr(1,1)+ f(1,1)- f2(1,1)dx（16）（本题满分10分）求lim之0故x=1为极大值点，y(1)=1；x=-1为极小值点，(-1)=0（18）（本题满分10分）f(x)0,limx()方程(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；全国统—服务热线：400—668—21556
6 6 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 ' 1 0 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) x x dy f dx d y f f f dx = = = = + − （16）（本题满分 10 分）求 2 1 lim ln 1 n n k k k → = n n + 【答案】 1 4 【解析】 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) (ln(1 ) ) 2 2 1 4 n n k k k x x x dx x dx x x dx → = n n x − + + = + = + = + − = + （17）（本题满分 10 分） 已知函数 y x( ) 由方程 3 3 x y x y + − + − = 3 3 2 0 确定，求 y x( ) 的极值 【答案】极大值为 y(1) 1 = ，极小值为 y( 1) 0 − = 【解析】 两边求导得： 2 2 3 3 ' 3 3 ' 0 x y y y + − + = （1） 令 y ' 0 = 得 x =1 对（1）式两边关于 x 求导得 ( ) 2 2 6 6 ' 3 '' 3 '' 0 x y y y y y + + + = （2） 将 x =1 代入原题给的等式中，得 1 1 1 0 x x or y y = = − = = ， 将 x y = = 1, 1 代入（2）得 y ''(1) 1 0 = − 将 x y = − = 1, 0 代入（2）得 y ''( 1) 2 0 − = 故 x =1 为极大值点， y(1) 1 = ； x =−1 为极小值点， y( 1) 0 − = （18）（本题满分 10 分） 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上具有 2 阶导数，且 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + ，证明： () 方程 f x( ) 0 = 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
ABorn to win(Im)方程f(x)f(x)+(f(x))=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】f(x)0,lim0+x()0根据零点定理得：至少存在一点(8,1)，使f()=0，即得证(II)由(1)可知f(0)=0,e(0,1),使f()=0，令F(x)=f(x)F(x)，则f(0)=f()=0由罗尔定理3nE(0,5),使f(n)=0，则F(O)=F(n)=F()=0,对F(x)在(0,n),(n,)分别使用罗尔定理：(0,n),n2(,)且 ,nz(0,1),n,使得 F()=F()=0,即F(x)=f(αx)f"(x)+(f(x))=0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。（19）（本题满分10分）设薄片型物体S是圆锥面≥=x2+被柱面=2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为μ=9/+y+2。记圆锥面与柱面的交线为C(I)求C在xOy平面上的投影曲线的方程；(II)求S的M质量。【答案】64【解析】=x2+y=x? +y2 = 2x（1）由题设条件知，C的方程为22=2x全国统—服务热线：400—668—2155
全国统一服务热线：400—668—2155 7 Born to win ( ) 方程 ' ' 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ( )) 0 + = 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I） f x( ) 二阶导数， 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + 解：1）由于 0 ( ) lim 0 x f x x → + ，根据极限的保号性得 0, (0, ) x 有 ( ) 0 f x x ，即 f x( ) 0 进而 x f 0 (0, ) 0 有 ( ) 又由于 f x( ) 二阶可导，所以 f x( ) 在 [0,1] 上必连续 那么 f x( ) 在 [ ,1] 上连续，由 f f ( ) 0, (1) 0 根据零点定理得： 至少存在一点 ( ,1) ，使 f ( ) 0 = ，即得证 （II）由（1）可知 f (0) 0 = ， = (0,1), ( ) 0 使f ，令 F x f x f x ( ) ( ) '( ) = ，则 f f (0) ( ) 0 = = 由罗尔定理 = (0, ), '( ) 0 使f ，则 F F F (0) ( ) ( ) 0 === ， 对 F x( ) 在 (0, ),( , ) 分别使用罗尔定理： 1 2 (0, ), ( , ) 且 1 2 1 2 , (0,1), ，使得 1 2 F F '( ) '( ) 0 = = ，即 ( ) 2 F x f x f x f x '( ) ( ) ''( ) '( ) 0 = + = 在 (0,1) 至少有两个不同实根。 得证。 （19）（本题满分 10 分） 设薄片型物体 S 是圆锥面 2 2 z x y = + 被柱面 2 z x = 2 割下的有限部分，其上任一点的密度为 2 2 2 = + + 9 x y z 。记圆锥面与柱面的交线为 C () 求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程； ( ) 求 S 的 M 质量。 【答案】64 【解析】 （1）由题设条件知， C 的方程为 2 2 2 2 2 2 2 z x y x y x z x = + + = =
Born to win!区精勤求学自强不息跨考考研[x? + y2 =2x则C在xoy平面的方程为z=0(2)m= [u(x,y,z)ds = [[9 Jx +y? +2 ds =92Jx+y2dxdyr*+-.r2dr=64=18/2de（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A=（α，α2，α）有3个不同的特征值，且α=α+2αz(I)证明 r(A)=2.(Im)若β=α,+α,+α，求方程组Ax=β的通解。keR【答案】（I）略：（II）通解为k【解析】I）证明：由α=α+2α可得α+2α-α=0，即α,αzα线性相关，因此，A=α,α,α=0，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0M20且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为△：0:. r(A)=r(A)= 2(II）由（1）r(A)=2，知3-r(A)=1，即Ax=0的基础解系只有1个解向量，1由+2-=0可得0，则Ax=0的基础解系为又=即=β，则Ax=β的一个特解为(1全国统—服务热线：400—668—2155
8 8 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 则 C 在 xoy 平面的方程为 2 2 2 0 x y x z + = = （2） 2 2 2 2 2 2 2 : 2 2cos 2 2 0 2 (x, y,z) 9 9 2 2 18 64 s s D x y x m dS x y z dS x y dxdy d r dr + − = = + + = + = = （20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 A = ( 1 2 3 , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2 = + 2 。 () 证明 r A( ) 2 = ； ( ) 若 = + + 1 2 3 ，求方程组 Ax = 的通解。 【答案】（I）略；（II）通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R + − 【解析】 （I）证明：由 3 1 2 = + 2 可得 1 2 3 + − = 2 0 ，即 1 2 3 , , 线性相关， 因此， 1 2 3 A = = 0 ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 1 2 1 2 , 0 0 = ∴ r A r ( ) ( ) 2 = = （II）由（1） r A( ) 2 = ，知 3 ( ) 1 − = r A ，即 Ax = 0 的基础解系只有 1 个解向量， 由 1 2 3 + − = 2 0 可得 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 2 2 0 1 1 A = = − − ，则 Ax = 0 的基础解系为 1 2 1 − ， 又 = + + 1 2 3 ，即 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 1 1 1 1 A = = ，则 Ax = 的一个特解为 1 1 1
Born to win跆考考keR综上，Ax=β的通解为k（21）（本题满分11分）设二次型f(，，）=2x-x+ax+2x-8x+2x在正交变换X=QY下的标准型^+，求a的值及一个正交矩阵Q111i下210,J x=Qy-3y+6y2【答案】a=2;0=T万1116下2【解析】24)111f(x,X2,x)=XTAX，其中A=-1-41a由于f(x,,）=AX经正交变换后，得到的标准形为+121-4-1故r(A)=2=|A|=0=11=0=a=2,-41an将α=2代入，满足r(A)=2，因此α=2符合题意，此时A购元-24-11+1ME-A-102=-3=02=6，一42-2-1由（-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α,-10由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为α,=1全国统一服务热线：400—668—2155
全国统一服务热线：400—668—2155 9 Born to win 综上， Ax = 的通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R + − （21）（本题满分 11 分）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 X QY = 下的标准型 2 2 1 1 2 2 y y + ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q 【答案】 2 2 1 2 1 1 1 3 2 6 1 2 2; 0 , 3 6 3 6 1 1 1 3 2 6 a Q f x Qy y y − = = − = − + 【解析】 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = ，其中 2 1 4 1 1 1 4 1 A a − = − − 由于 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = 经正交变换后，得到的标准形为 2 2 1 1 2 2 y y + ， 故 2 1 4 ( ) 2 | | 0 1 1 1 0 2 4 1 r A A a a − = = − = = − ， 将 a = 2 代入，满足 r A( ) 2 = ，因此 a = 2 符合题意，此时 2 1 4 1 1 1 4 1 2 A − = − − ，则 1 2 3 2 1 4 | | 1 1 1 0 3, 0, 6 4 1 2 E A − − − = − + − = = − = = − − ， 由 ( 3 ) 0 − − = E A x ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1 1 1 1 = − ； 由 (6 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 2 1 0 1 − =
Born to win!区精勤求学自强不息跨考考研-2由(OE-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α:1令P=(α,α,α)，则P-AP6由于α，α，α彼此正交，故只需单位化即可：01(-1,0,1),β, (1,2,1)°,(1,-1,1)",ββ, =-2/3V6111下T210则O=(β β, β)=QTAQ:63T601/1下2J6=O-3y2 +6y2（22）（本题满分11分）设随机变量XY相互独立，且X的概率分布为P(X=O)=P(X=2)=2[2y, 0<y<]的概率密度为f(y)=0，其他(I)求P(Y≤EY)(II)求Z=X+Y的概率密度。0<z<1z.Xx【答案】(D)P(Y≤EY}=:(I)f2(=):z-2.2<z<39【解析】10全国统—服务热线：400—668—2155
10 10 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win! 精勤求学 自强不息 由 (0 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 1 2 1 = 令 P = ( 1 2 3 , , ) ， 则 1 3 6 0 P AP − − = ，由于 1 2 3 , , 彼 此 正 交， 故 只需 单 位化 即可： 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1, 1,1 , 1,0,1 , 1,2,1 , 3 2 6 T T T = − = − = ， 则 ( 1 2 3 ) 1 1 1 3 2 6 1 2 0 3 6 1 1 1 3 2 6 Q − = = − ， 3 6 0 T Q AQ − = 2 2 1 2 3 6 x Qy f y y = = − + （22）（本题满分 11 分）设随机变量 X Y, 相互独立，且 X 的概率分布为 1 ( 0) ( 2) 2 P X P X = = = = ，Y 的概率密度为 2 0 1 ( ) 0, y y f y = ， 其他 () 求 P Y EY ( ) ( ) 求 Z X Y = + 的概率密度。 【答案】 4 , 0 1 (I) { } ;(II) ( ) 9 2,2 3 Z z z P Y EY f z z z = = − 【解析】