考研数学历年真题：2015年考研数学三真题与答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上：）(（1）设）是数列下列命题中不正确的是（A）若lim,=a，则limr2=limt2+i=a(B)若limz2=limT2+1=a,则limz=a(C) 若limr = a,则limr3 = limz2r-1 =a(D)若limra = limt3- =a,则 limz = a(2）设函数f(r）在(一8o，十8o）内连续，其中二阶导数f"（r）的图形如f(x)C)图所示，则曲线v=f（r）的拐点的个数为(B) 1(A)0(C) 2(D) 3(3)设D=((.y)2+y≤2r2+≤2y),函数f()在D上连续，则f(r,y)drdy=-(A) [ dol2f(rcos,rsino)rdr+f(rcos,rsin)rdrHdo(r)d(B)f(rcos,rsing)rdr(C) 2 drJ-f(ry)dy(D) 2f(a,y)dy（4）下列级数发散的是C27(A)(B)=In2型≥(-1)"±1(C)(D)Inn=n=(1121（5）设矩阵A=若集合Q=(12)，则线性方程组Ax=b有无穷多解14a()的充分必要条件为(A)ad(B)aEn,dEn(C)aEQ,d n(D)aEQ,dEn（6）设二次型f(ai，r2r3）在正交变换为x=Py下的标准形为2y十一，其中P=（er，e2,es）若Q=（ei，一es，e2），则f(i，x2，x3）在正交变换x=Qy下的标准形为（(A)2-+(B)+-（C)2——(D)2++（7）若A，B为任意两个随机事件，则()(A)P(AB)≤P(A)P(B)(B)P(AB)≥P(A)P(B)数学三试题第1页

书 !"#$% &!’ !"#$!"#$%&’()*+,-./*0.1 ,!231"!!"41#541#6#7$%6!8951:;2?@#AB,>2? CD1E? =@A%3BC*$(!""1DE1F!G !!!" !&". !+"! !,"% !-"$ !$"(+ $ #!"%*","%&*% #%"%"%&*% #%*$%4!(!"%*"5+ H 78%3 $+ (!"%*"/"/*$ !!!" !&" % ! # . /" % %012" . (!-012"%-2(3""-/-& % ! % ! # /" % %2(3" . (!-012"%-2(3""-/- !+" % ! # . /" % %2(3" . (!-012"%-2(3""-/-& % ! % ! # /" % %012" . (!-012"%-2(3""-/- !," %%! . /" % " !’槡!’"%(!"%*"/* !-" %%! . /" % 槡%"’"% " (!"%*"/* !#"+*I!JK1) !!!" !&"& * #$! # "# !+"& * #$! ! 槡# ’3!&! ! #" !,"& * #$% !’!"# &! ’3# !-"& * #$! #& ## !4"(LM!$ ! ! ! ! % % ! # % ’ ( ) % * %.$ ! / / ’ ( ) % * %2NO#$ #!%%$%3CPQRS!"$#TUVWX 1YZ[\]^G !!!" !&"%+#%/+# !+"%+#%/,# !,"%,#%/+# !-"%,#%/,# !5"(:_‘(!"!%"%%"$"5/abcG"$$%+1de>G%*% !&*% %’*% $%9-$$ !&!% &%%&$"%2’$ !&!%’&$%&%"%3(!"!%"%%"$"5/abc"$’%+1de>G !!!" !&"%*% ! ’*% % &*% $ !+"%*% ! &*% % ’*% $ !,"%*% ! ’*% % ’*% $ !-"%*% ! &*% % &*% $ !6"20%1GfghFijk^%3 !!!" !&"2!01"#2!0"2!1" !+"2!01"-2!0"2!1

(C) P(AB)<P(A)P(B)P(A)P(B)(D) P(AB)≥22(8）设总体X～B(m,0),X,X2,X3为来自该总的简单随机样本,X为样本均值，则E[2(X, -X))]=()(A) (m-1)m(1-)(B) m(n-1)0(1-0)(C) (m-1)(n-1)0(1-)(D)mm(1-0)二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(9)limlncost0r(10)设f(r)连续,g(r)=rf(t)dt,若g(1)=1,(1)=5,则f(1)=（11）若函数=（,）由方程er+2+3十zyz=1确定，则de（12）设函数y=y(r）的微分方程y"十y—2y=0的解，且在r=0处y（r）取得极值3，则y(r)（13）若3阶矩阵A的特征值为2，一2,1,B=A2一A十E，其中E为3阶单位阵，则行列式IB =(14）设二维随机变量（r,y）服从正态分布N(1,0,1,1,0)，则P(XY一Y<0)=三、解答题（15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）设函数f(r）=r十aln(1十r）+brsinr，g（r）=kr3，若f(α）与g（r）在工→0时是等价无穷小，求a，b，k的值(16)（本题满分10分)计算二重积分[r(+y)drdy,其中D=(r,y)/+y≤2,≥121.第2页数学三试题

!"#$% &%’ !,"2!01"#2!0"2!1" % !-"2!01"-2!0"2!1" % !""(lm 3 ! 1!4%""%3!%3%%3$ Gnopl1qrijst%3. G s t u v%3 5 & # 6$! ’ ( !36 ’3."% $ !!!" !&"!4’!"#"!!’"" !+"4!#’!""!!’"" !,"!4’!"!#’!""!!’"" !-"4#"!!’"" W!NX1"7!!#41#541#6#7%#6!HIPYZOP1Q !!!RSTUV!$ !7"’()"". ’3012" "% $ ! !!."((!""78%$!""$ % "% . "(!7"/7%2$!!"$!%$8!!"$4%3(!!"$ ! !!!"24!9$9!"%*"wQR8"&%*&$9 &"*9 $!0x%3/9 !.%." $ ! !!%"(4!*$*!""1yZQR*)&*8’%*$.1X%z5"$.{*!""|}~v$%3 *!""$ ! !!$"2$;LM!1€vG%%’%%!%( $!% ’!&)%9-)G$;rM%3‚*ƒ ,(,$ ! !!#"(:„ijb…!"%*"†‡/ˆZ‰:!!%.%!%!%."%32#3;’; /.$$ ! 0![P1"!4!%$41#77#6!HI[PZOP1Q !!!RSTUV![P\Z;]L^ _!‘_abcdefg!$ !!4"!t%ŠZ!.Z"(4!(!""$"&%’3!!&""&."2(3"%<!""$="$%2(!""‹<!"" 5"".Œ)ŽUV%%%.%=1v! !!5"!t%ŠZ!.Z"‘’:Z$+ "!"&*"/"/*%9-+ $ #!"%*","% &*% #%%*- "%$!

（17）（本题满分10分）为实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格MC的边际成本，n为需求弹性（n>0)MC（1）证明定价模型P=1-1:n（2）若该商品的成本函数C（Q）=1600十Q?.需求函数为Q=40一P，试由（1）中的定价模型确定此商品的价格（18）（本题满分10分）设函数f（r）在定义域I上的导数大于零，若对任意的xoEI.曲线=f(r）在点（ro，f(zo））处的切线与直线r=o及轴所围成区域的面积恒为4，且f（0）=2,求f(）的表达式（19）（本题满分10分）（I）设函数u(r),(r）可导，利用导数定义证明[u(r)u(r)=u(r)u(r）+u(r)u(r)（）设函数u（）,uz(），u（）可导，f(）=u()uz(r).u（）,写出f(）的求导公式.01a（20）（本题满分11分）设A=且A3=0.alo1a(1）求a的值；（2）若矩阵X满足X一XA一AX十AXA2=E.E为3阶单位阵，求X.数学三试题第3页

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20-3)2013b（21）（本题满分11分）设矩阵A=相似于矩阵BC0310311.-2a（I）求a,b的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵[2-ln2.>0,（22）（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为f（r）三10.T0.对X进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现时停止.记Y为观测次数（I）求Y的概率分布；(II)求EY.（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为：10≤≤1,f(r.0) =lo，其他.其中为未知参数，1，工2，，工，为来自该总体的简单随机样本.（I）求0的矩估计量（Ⅱ）求?的最大似然估计量数学三试题第4页

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2015年全国硕士研究生入学统-一考试数学三试题解析一、选择题-1)"+1发散.故选(C).2Inn(1) (D)(2)(C)(3)(B)(4)(C)(D)u =兴 im s = lim(Fe-l<l.(5)(D)(6) (A)(7)(C)(8) (B)(n+i00所以收敛.（1）解：根据收敛数列与子数列间的关系可知（A）、(1 1111(B)、(C)均正确.对(D)，可取as=a+aart3n1:2ad(5）解：(A,b）1114d=a+3n+1*a3ut2=2a+3n+21(111知 lim asm= lim dantl =a,01d-1a-1-tolim aat2 = 2a.(o0(a-1)(a-2)(d-1)(d-2))由r(A)=r(A,b)<3.故a=1或a=2,同时..lima.+a.d = 1或 d = 2. 故选(D).（2）解：拐点出现在二阶导数等于0.或二阶导数不(6)解:由x=Py,故f =xTAx =yT(PT AP)y=2存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异十一强且号.因此，由(z)的图形可得，曲线y=f(r)存(200在两个拐点.故选（C)010PTAP =（3）解：此题考查将二重积分转化为极坐标下的累次-100积分.如图所示(100P0Q=P01=PC,6-p=2cosglo-1.0)p=2sing020AQTAQ = CT(PT AP)C=-10D001.所以f=A=(OTAQ)=2+选(A).故应选(B).（7）解：由于ABCA,ABCB,按概率的基本性质，(4)解：(A)S=u+u+...+u我们有P(AB)≤P(A)且P(AB)≤P(B),从而++++P(AB)≤P(A)+P(B),选(C).828e82+s.=()+$++(8) 解:[,2(x-X]- S = DX =++s.-++++++-m(1-0)88r+1→E[(X,-X)2= m(n-1)(1-0),→5.=%(1-(+))-g二、填空题s. = %存在,则收效。(9)-1(10)= 2111n(1+1)~(B)u=收敛，所ninInn2dr2dy(11)-(12)e-2x+2e以(B)收敛33(14) 30(C)-1)"+1之元·因为(-1)"W!(13)21+2InnInn2m208(-1)Y分别收敛和发散，所以0（9）【思路探索】此题考查型未定式极限，可直接V2InnInn0.1

书 ! !"#$!"#$%&’()*+,-./*0.123 ,!451 !!"!"" !#"!$" !%"!&" !’"!$" !("!"" !)"!*" !+"!$" !,"!&" !!"2"!"#$%&’(%&)*+,-.!*"# !&"#!$"/01!2!""$-3"%#$"%! %# $"%#%! $"% ! %#%!$"%#%# $#"% ! %#%#$ .-./#"%0 "%# $ -./#"%0 "%#%! $"$ -./#"%0 "%#%# $#"! 1 -./#"%0 "# #"! !#"2"456789:;%9:;%? @8*5$AB8C5*DEFG9:;H%I J!KL$M&’!("*NO-P$QR)$&!("@ 8FS45!TU!$"! !%"2"LVWXY9Z[\]^_‘abc*de [\!fNgh TiU!&"! !’"2"!*"*# $+! %+# %%%+# $ ! , % # ,# %%% # ,#$ ! ,*# $ ! "! , # % # ,% %%% # ,#%! $ + ,*# $ ! , % ! ,# %%% ! ,# , # ,#%! $*# $ , ’3 !, ! "! ! " , # , # +&,#$ -./#"0 *# $ , ’3@8$j#$! !&"+# $ ! 槡# -4 !% ! "! # ! ! # % # $% 0 #$! ! # % # #$$g k!&"#$! !$"% 0 #$# !,!"# %! -4# $% 0 #$# !,!"# -4# %% 0 #$# ! -4# $K_ % 0 #$# !,!"# -4# $% 0 #$# ! -4# \l#$mno$g k % 0 #$# !,!"# %! -4# no$TU!$"! !""+#$#’ ##$-./#"0 +#%! +# $-./#"0 #! " #%! # $5,! &!$ gk#$! !("2"!!$""$ ! ! ! ! ! # " - ! ’ "# - ’ ( ) #* " ! ! ! ! 2 ! ",! -,! 2 2 !",!"!",#" !-,!"!-,# ’ ( ) "* $ M.!!"$.!!$""&%$T"$!>"$#$pq -$!>-$#!TU!""! !)"2"M#$$%$T&$#6!#$%6!$6!$"%$#)# ! %)# # ,)# %!B $6!$ $ # 2 2 2 ! 2 2 2 , ’ ( ) !* ! &$$ ! 2 2 2 2 ! 2 , ’ ( ) ! 2* $$’$ &6!& $’6!$6!$"’$ # 2 2 2 ,! 2 ’ ( ) 2 2 !* ! gk&$#6!#$%6!&6!&"%$#)# ! ,)# # %)# %! U!*"! !+"2"M=/0 +/$/0 +0$rst*uvwx$ yz{1!/0",1!/"B1!/0",1!0"$|} 1!/0",1!/"%1!0" # $U!$"! !,"2"2 ! #,!% # 3$! ( ) !43,4-"# $ 2*# $ 54 $ 6"!!,"" $2 % # 3$! ( ) !43,4-"# $6!#,!""!!,""! 6!781 !3", ! #!!!!!!!! !!2"$# !!!", ! %7(, # %7) !!#"5,#( %#5( !!%"#! !!’"! # !3"#9:;<$LVWX2 2 ~€‘‚$-ƒ„

小，则用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换。sinrlim 2+ aln(1+) + hrsinz解:方法一limlh(cos 2)cosrkrs=lim22=m[+a(+-++2)+1tanr十业=lim22rkr3方法二limln(cos 2) = lim In(1+ cos r-1)(r-+o())a2a2-0r-01kr3M1= lim COs z-1lim[+a)+(6-号)2+22r--0= limkr3f(t)dt,求导得(r）=(10）解：已知g(r）=+0()号-=136()d+2f(2)，故有(1)=f(t)dt=kra1.@(1)=1+2f(1)=5.则f(1)=2即1+a=0.6-=0.%=13k2（11）解：当r=0.y=0时，2=0，则对该式两边求号=1偏导可得.a=-1.b=-23(3e-+2t: + 2y)=—y2ert2r,法二：lim +aln(1+a)+hrsinrark.r3-012(3er+2yta= + ary)2er+2y+3:ay1++bsinz+brcos.t+7= lim=1.将（0.0.0）点值代人即有3kr2a==-1.32=-2因为分子的极限为0.则α=一133y(0.0)(0.0)3-1a + 2beosr-brsinzIdr-量dy则可得dz/(0.0)=..lim=1.6krr-01(dr+2dy).1分子的极限为0,b=-32（12）解：由题意知：（0）=3，y（0）=0，由特征方22bsinr—bsinr-rcosz(1 +r)3程入2十入2=0解得入=1入=2lim6k所以微分方程的通解为：y=Ce+Ce.代1= 1,k =-人(0）=3,（0)=0解得C=2.C=1解3得y=2e十e-2x.a=-1.b=-.k=-2.3（13）解：A的所有特征值为2，一2,1.B的所有特征值为3.7.1.（16）解：r(r+y)drdyD所以1B|=3×7X1=21.-[2drdy+[rydrdy(14）解：由题设知.X～N(11),Y～N(0.1).而且DX、Y相互独立从而-aP(XY-Y0.Y0122(/2--2)d=P(X>1)P(Y0)2V2-dr-号=22222:三、解答题=sim2/f 2sin 12costdt号（15）解：法一：由于f（）.g（r）在x→0是等价无穷2

! " …†‡ˆ‰j$Š-k… !=!2$!"$}B 4#> ¥¦§¨$|} 1+4>,> &2,$1+!4,!"> &2,$1+4, !02$> &2,%1+4,!&2$> 02, $1+4 0!,1+> &2,%1+4 &!,1+> 02, $ ! # < ! # % ! # < ! # $ ! #! 0!2=1 !!("2"‰’*M=&!("$?!("8("2©<‹Œ Ž$j -./("2 (%"-4!!%("%@(:.4( A(% $-./("2 (%" (,(# # %(% % ! " %B!(%" A( 1 2 % % @( (,(% ) ! " %B!(%" A( 3 % 4 $-./("2 !!%""(% @, ! "" # (# A( 1 2 % % " %(% , @ )(’ %B!(%" A( 3 % 4 $!$ œ!%"$2$@, " # $2$" %A$!! 1"$,!$@$, ! #$A$, ! %! ‰9*-./("2 (%"-4!!%("%@(:.4( A(% $-./("2 !% " !%(%@:.4(%@(89:( %A(# $!$ K_\(*‘‚_2$j"$,!! 1-./("2 , ,! !!%("# %#@89:(,@(:.4( )A( $!$ \(*‘‚_2$@$, ! #! -./("2 , # !!%("%,#@:.4(,@:.4(,@(89:( )A $!$A$, ! %! 1"$,!$@$, ! #$A$, ! %! !!)"2"55 (!(%)"7(7) $55 (# 7(7)%55 ()7(7) $.#! 2 7( . 槡#,(# (# (# 7) $.#! 2 (#!槡#,(# ,(#"7( $.#! 2 (#槡#,(#7(, # ( ($ 槡#:.4 6666667 .# ! ’ 2#:.4# 7#89:# 777, # (

=u((r...u(+u(u(r...u(r+.sin?2tdt-3+u()u(r).un'(r).4=2（zsinudu(20)解：（I)A=0-|A|=04550010a1（17）解：（1）由题意，MR=MC，利润最大，又收益a=d=↓1aa=P+%R = PQ.MR = 011aa3dQdo0→=0.Qdl)= P(1-1),P(1+（I）由题意知nX-XA*-AX十AXA?=EAQ,而 P(1-)=QX(E-A)-AX(E-A)=E一其中=APQdpn→(E-A)X(E-A)=EP→X=(E-A)-I(E-A)-IMC-=P=_MC=[(E-A)(E-A)]1-1→X=(E-A2-A)-17（2）由题意知，MC=2Q，0-11PPE-A1. (-1) 7=40-P40-p-12则 P= 2(40- P)2→P=30.00(1-40-pD10P101（18）解：设fr）在点（ro，f(ro)）处的切线方程为0:-10y-f(ro)=f(ro)(r-a)01:1001f(0)+0.令=0.得到=112:00-1f(ro)011:101f(r)·（ro-)[=4即故由题意，1...00011f(ra)lo-21:01-12(o).-三4.可以转化为一阶微分方f(ro)011:-1012程，即0，可分离变量得到通解为：010-+18,lo01.2-1131r十C.已知v(O）=2.得到C=84(12y01C11Q因此即()=8+r+43(o0-1(19）解：（I)[u(r))(10(32= lim Mr+h)uz+h) -u(r)(n)0(h.0023=limmu(+h)(+h)-+h))+..X=1-1u(r+h)v(r)-u(r)(r)(21-1)= limu(r+h) 2r+h) -() +(21)解:(I)A～B→tr(A)=tr(B)hl-0→3+a=1+6+1.lm r+h)-n((a)IA|=IB Ihr=u(r)(r)+u(r)(r)0220（I）由题意得3b10f()=[u()u().u()1-2031·3

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a=4-b记S(r)n.(n-)rrr3)=8'从而 P(Y = n)=C-Ip(1-p)-2p= (n-X=x,为0的矩估计量；台() (号)一，n=2.3.，为Y的概率分8f(a:0)（I）似然函数L()=布；当≤≤1时,(0)=(1）"1-0=n·P(Y=n)(I)E(Y) =1则InL()=—nln(1-).2 (n-1()()"从而dinL(@)保。关于单调增加，den (n-)[() -2() +所以0=minX..X...X.为e的最大似然估计量。().+4*

! $ 1 ",@$,! +#",@$%$ "$’ +@$(! !#" ! $ 2 # ,% ,! % ,% ! , ’ ( ) # ’* $ ! 2 2 2 ! 2 ’ ( ) 2 2 !* % ,! # ,% ,! # ,% ! , ’ ( ) # %* $+%’$ ’$ ,! # ,% ,! # ,% ! , ’ ( ) # %* $ ,! ,! ’ ( ) !* !! ,# %"! ’*žŸ™$! $$# $2$$% $’! $$2q$!2+,’"#$2*u¹¡,_"! $!#$ !$2"6-"# $ !,%$2$!"6- $$(q$!’+,’"#$2*u¹¡,_"% $ !,!$,!$!"6! !*žŸ™$! $!%$’*!$!$(! ´$$ !"!$"#$"%"$ # ,% ,! ! 2 ,! ’ ( ) 2 ! !* $ 1$,!!$ $ ! ! ’ ( ) (* ! !##"2"!""ºH_»¼™­=%*st$j H$1!4 0%"$. %0 % #,( -4#7($ ! ,$ |}1+> $#,$;! #,!H!!,H"#,# H $ !#, !"! "! , # ! "+ , #,# $#$#$%$%$_> *st\ ½- !#"2!>"$ % 0 #$# #&1+> $#, $ % 0 #$# #&!#,!"! "! , # ! "+ , #,# $ % 0 #$# #&!#,!"(! "+ , #,# ,#! "+ , #,! % ! "+ , # )! º*!!("$ % 0 #$# #&!#,!"(#,#$,!&(&!$j *!!("$ % 0 #$# #&!#,!"(#,# $ !% 0 #$# #&(#,!"8 $ !% 0 #$# (#"’$ # !!,("%$ *#!("$ % 0 #$# #&!#,!"(#,! $(% 0 #$# #&!#,!"(#,# $(*!!(" $ #( !!,("%$ *%!("$ % 0 #$# #&!#,!"(# $(# % 0 #$# #&!#,!"(#,# $(#*!!(" $ #(# !!,("%$ gk *!("$*!!(",#*#!("%*%!(" $#,’(%#(# !!,("% $ # !,( $ |}2!>"$*! "+ , $!)! !#%"2"!""2!4"$. %0 ,0 (&!(-""7( $. ! " (& ! !," 7($!%" # $ ´2!4"$4-$œ!%" # $4-$¡P"7$#4-,!$ 4- $ ! #% # 3$! 43 _"*¾¿À¸- !#"ÁÂH%I!""$ 8 # 3$! &!(3-""$ •",(3,!q$I!""$8 # 3$! ! !,"$ ! ! " !," # $ j-4I!""$,#-4!!,""! |}-4I!"" 7" $ # !," $+="ÃÄÅÆ$ gk"7$ /.4+4!$4#$%$4#,_"*¬­Á ¿À¸!