考研数学历年真题：2018考研数学二真题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上=1，则1.若lim(e+ax+bx)x-→011.b=-1b=-1A.B.a=a=2211,b=1.b=1c.a=D.a:22【答案】B【解析】+2ar+bIn(e° +a° +bx)e"+2ax+b2x(e*+ax2 +bx)+ax?2x1=lim(ercelim(e"+2ax+b)=0[b=-1e"+2ax+b=lim-031e"+2ax+b402xa:lim=02x-→02x2.下列函数中，在x=0处不可导的是B. f (x)=|xsin /xA. f(x)=xsin|xlD. f(x)=cos /xC. f (x)= cosx【答案】D【解析】A可导：x sin (Ix)[x sin (Ix)×-sinx = 0, fi(0)= limx-sinxf.(0) = limlimlim=0xxx→0X→0xx-→0*X→0*xB可导：sin风xsin风x-sin Vx-x·sin -xf(0) = limlim0. f'(0) = limlim0x→0xx→0"xX-0xx→0xC可导：1Xcos|x|-1cos|x|122f'(0) = lim= lim=0, f'(0)= lim= lim=0xx→0xX-0x-0Xx-→0xD不可导：

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1.若   2 1 2 0 lim 1     x x x e ax bx ，则 A. 1 , 1 2 a b    B. 1 , 1 2 a b     C. 1 , 1 2 a b   D. 1 , 1 2 a b    【答案】B 【解析】       2 2 0 2 2 0 0 2 ln 1 lim 2 lim 2 lim 2 2 0 1 lim x x x x x x x e ax b e ax bx e ax b x e ax bx x x x x x e ax bx e e e                   0 2 lim 0 2 x x e ax b  x       0 0 lim 2 0 1 1 2 lim 0 2 2 x x x x e ax b b e ax b a x                         2.下列函数中，在 x  0 处不可导的是 A. f x x x    sin B. f x x x    sin C. f x x    cos D. f x x    cos 【答案】D 【解析】 A 可导：         - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                    B 可导： -     0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                      C 可导：     2 2 0 0 0 0 1 1 cos 1 cos 1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x                       D 不可导：

网VixlCOSCOs2f"(0) = lin=lim,f'(0)= limlim22-0xxx:(0)+ f'(0)[2-ax, x≤-1x0时，D当F"(x)>0时，【答案】D【解析】A错误: ()=-+÷J(n)x=(-++)x=0, ()=-10

          0 0 0 0 1 1 - cos 1 1 1 cos 1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f                             3.设函数     2 , 1 1, 0 , , 1 0, 1, 0 , 0 ax x x f x g x x x x x b x                      若 f x g x      在 R 上连 续，则 A. a b   3, 1 B. a b   3, 2 C. a b    3, 1 D. a b    3, 2 【答案】D 【解析】                                 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 0 1 lim lim lim 1 1 1 2 lim lim lim 1 2 1 lim lim lim 1 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x b b b f x g x f x g x a a f x g x f x g x a                                                                                  a  3 4. .设函数 f x  在   0,1 上二阶可导，且   1 0 f x dx  0,  则 A.当 f x    0 时， 1 0 2        f B. 当 f x    0 时， 1 0 2        f C. 当 f x    0 时， 1 0 2        f D. 当 f x    0 时， 1 0 2        f 【答案】D 【解析】 A 错误：       1 1 0 0 0, 1 0 1 1 1 , 2 , 0 2 2 f x x f x dx x dx f x f                           B 错误：       1 0 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 0 3 3 2 4 3 12 f x x f x dx x dx 0, 2 0, f x f                              

C 错误: ()=x-,J(x)dx=J (x-)x=0. ()=1>0, ()=0D正确：由"(x)>0可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出号 (1+x)2dx,N=[I+dx,K=(1+cosx)dx,则5.设M:1+x2A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】 C【解析】2xM=J(1+dx=[1d1+x[-号,号时,+Vosx≥1,所以K>ME22令f(x)=1+x-e,f(0)=0, f(x)=1-e[-1 0, 0当xe[0号时,，「()0;当x[82e[-,时，有(x)≤0，从可有≤1，由比较定理得N<M,故选C所以xe2'216. ~ dx[2- (1- x)dy+ f"'dx[2 (1-xy)dyBS5A.-3636【答案】Cf (1-xy)dy+J ax [ (I- xy)dy= J[(1-xy)dxdy= J[ dxdy= S, =【解析】如图「dx

C 错误：       1 1 0 0 1 1 1 , 0 2 2 0, 1 0, 2 f x x f x dx dx f x x f                       D 正确： 由 f x    0 可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出 1 0 2 f        5.设     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1                    x x x M dx N dx K x dx x e 则 A. M N K   B. M K N   C. K M N   D. K N M   【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e                                                                   时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选 6.     2 2 0 2 1 2 1 0 1 1 x x x x dx xy dy dx xy dy             A. 5 3 B. 5 6 C. 7 3 D. 7 6 【答案】C 【解析】如图, 2 2 0 2 1 2 1 0 7 (1 ) (1 ) (1 ) 3 x x D x x D D dx xy dy dx xy dy xy dxdy dxdy S                  

(110)7.下列矩阵中，与矩阵01相似的为1001110-0101B.000110010DC.00【答案】A【解析】方法一：排除法[1 1 0]011令Q=特征值为1,1,1，r(E-9)=210011TO1-1一0100选项A：令A=-12A的特征值为1,1,1，r(E-A)=rLo00100110[o01110选项B：令B=0B的特征值为1,1,1，r(E-B)=r0-1=1Lo0Lo001To11-1-1100100选项C：令C=0C的特征值为1,1,1，r(E-C)=r1Lo000001001000选项B：令D=D的特征值为1,1,l，r(E-D)=r0=11Lo00001

D y x  y x  O 2 y x  2 7.下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1           相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1            B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1            C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1            D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1            【答案】A 【解析】 方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q            ，特征值为 1,1,1，r E Q     2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A             ， A 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r                选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B             ， B 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r               选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C             ，C 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r               选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D             ， D 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r             

若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r(E-Q)=r(E-J)，故选（A）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）[10-1010001令P=000100111相似0故选（A)8.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（X,Y)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A)B.r(A BA)=r(A)C.r(A B)=max(r(A), r(B).D.r(A B)=r(AT B')【答案】（A）【解析】 r(E,B)=n=r(A,AB)=r[A(E,B)]=r(A)故选（A）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上lim x*[arctan(x+1)-arctan x]=9.X-→+【答案】1【解析】原式拉格朗日中值定理limx=1,ce(x,x+l)1+6210.曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是【答案】y=4x-322【解析】y=x?+2lnx，定义域为(xx>0，y=2x+y"=2-，令y"=0，则x=±1，由于x>0，故x=1，故拐点为(1,1)，y()=4，则过拐点(1,1)的切线方程为y-1=4(x-1)即y=4x-3

若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J  相似，从而 r E Q r E J        ，故选（A） 方法二：构造法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P            ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P              1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P                        ，所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1                      与 相似 故选（A） 8.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( , ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ).  B. r A BA r A ( ) ( ).  C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}.  ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B  【答案】（A） 【解析】 r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( )     故选（A） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. 9. 2 lim [arctan( 1) arctan ] x x x x    _. 【答案】1 【解析】原式 2 2 1 lim 1, ( , 1) x 1 x  x x       拉格朗日中值定理 . 10. 曲线 2 y x x   2ln 在其拐点处的切线方程是_. 【答案】 y x   4 3 【解析】 2 y x x   2ln ，定义域为 { 0} x x  ， 2 y x ' 2 x   ， 2 2 y '' 2 x   ，令 y '' 0  ，则 0 x  1 ，由于 x  0 ，故 0 x 1 ，故拐点为 (1,1) ， 0 y x'( ) 4  ，则过拐点 (1,1) 的切线方程 为 y x    1 4( 1) 即 y x   4 3

11. dxx2-4x+3【答案】ln22【解析】P-4x+3 dx= Jdx :2一(x-3)(x1)-3-x-1-1n5-3_1=lim In±-3 In 2x-15-12x--x= cos' t,=≥对应点处的曲率为12.曲线在t=4[y=sin"t【答案】23-sin'tcost【解析】'-tant,3cost(-sint)sect4V212-3costsint3costsint24/2[y"23k3(1+y2)2(1+1)2O=xy确定，13.设函数z=z(x,y)由方程lnz+eC【答案】！4Oz【解析】根据题意，得z(2,)=1，对方程两边同时对x偏导数并讲点代入，得ax2.114.设A为3阶矩阵，α,αz,α,为线性无关的向量组若Aα,=2α,+α+α，Aα,=α,+2α，Aα,=-α,+α，则A的实特征值为【答案】2[200【解析】 (A,Aα2,Aα,)= A(α,α2,α)=(α,α,α,)11211

11. 2 5 1 4 3 dx x x      _. 【答案】 1 ln 2 2 【解析】 2 5 1 4 3 dx x x      5 1 ( 3)( 1) dx x x     5 1 1 1 ( ) 2 3 1 dx x x       5 1 3 ln 2 1 x x     1 3 5 3 lim ln ln 2 1 5 1 x x  x       1 ln 2 2  12. 曲线 3 3 cos sin x t y t      ， 在 4 t   对应点处的曲率为_. 【答案】 2 3 【解析】 2 2 sin cos ' tan 3cos ( sin ) t t y t t t      ， 4 ' 1 t y     ， 2 2 4 4 sec 1 '' 3cos sin 3cos sin t t y t t t t       ， 4 5 1 4 2 '' 2 3 3( ) 2 t y     ， 3 3 2 2 2 4 2 '' 3 2 3 (1 ' ) (1 1) y k y      . 13.设函数 z z x y  ( , ) 由方程 1 ln z z e xy    确定，则 1 (2, ) 2 z x    _. 【答案】 1 4 【解析】根据题意，得 1 z(2, ) 1 2  ，对方程两边同时对 x 偏导数并讲点代入，得 1 (2, ) 2 z x    1 4 . 14.设 A 为 3 阶矩阵， 1 2 3    , , 为线性无关的向量组. 若 1 1 2 3 A       2 ， 2 2 3 A     2 ， A   3 2 3    ，则 A 的实特征值为_. 【答案】2 【解析】 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 2 1 A A A A                      

[200"α,α2,α线性无关，P=(α,α2,α)可逆，..P-"AP=B21A与B相似，特征值相等[2E-B=(-2)(?-2+3)=0=实特征值=2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分10分）求不定积分[e2arctanVe*-1dxI(e*arctan Ve---}(e -1)- Ve--1)+C【答案】！【解析】[arctan Ve-ide2x原式：12-(e?* arctan Ve"-1-[e?dx21+e*-1 2Ve*-1(e2* arctan Ve -1 -dx.2Ver-1pe2x* arctan e*-1--der2Ver-1(e arctan e*-1-(e-1)- Je--1)+C-de*,令Ver-1=t,e*=t?+1,x=ln(t?+1)Vex-l=de =[( +1). 211[(t? +1)dt=dt:t+t+C12+Ver-1+(er2t2 +1(e*arctan e--I(e*-1)- Ve--1)+C故原式=16.（本题满分10分）已知连续函数f(x)满足f(t)dt+[tf(x-t)dt=ax?

1 2 3    , , 线性无关，   1 2 3   P    , , 可逆， 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 P AP B                A B 与 相似，特征值相等    2     E B       2 2 3 0 实特征值   2 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分） 求不定积分 2 arctan 1  x x e e dx . 【答案】 3 2 2 1 1 ( tan 1 ( 1) 1) 2 3 x x x x e arc e e e C       【解析】   2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 arctan 1 2 1 1 ( arctan 1 ) 2 1 1 2 1 1 ( arctan 1 ) 2 2 1 1 = ( arctan 1 ) 2 2 1 1 1 = ( arctan 1 1 1) 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e de e e e e dx e e e e e dx e e e e de e e e e e C                           原式 2 1 x x x e de e   ,令 2 2 1 , 1, ln( 1) x x e t e t x t       2 2 3 2 3 2 2 ( 1) 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 1 2 1 3 3 x x x x x e t t de dt t dt t t C e e C e t t                   故原式 3 2 2 1 1 ( tan 1 ( 1) 1) 2 3 x x x x  e arc e e e C       16.（本题满分 10 分） 已知连续函数 f x( ) 满足 2 0 0 ( ) ( ) x x f t dt tf x t dt ax     

(I）求f(x)；（I）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1，求a的值。【答案】(I) (x)=e"(2ae*-2a): (IM)α=号2【解析】（D,tf(x-t)dt 令x-t=u xf, f(u)du-f,uf(u)dh则有。f()dt+xf。f(u)du-uf(u)du=ax，两边同时对x求导，则有f(x)+ J。 f(u)du= 2ax,f(x)+f(x)=2a,故f(x)=e-*(2ae*+C),由于当x=0时，f(0)=0,则C=-2a,综上f(x)=e-(2ae-2a)(IM) 由于J’ (x)dx=1, 则 fe(2ae*-2a)dx=1= 2a+2a(e--1)=1=a 217.（本题满分10分）[x=t-sint（(0≤t≤2元）与x轴围成，计算二重积分(x+2y)dxdy设平面区域D由曲线(y=1-cos【答案】3元2+5元【解析】如图：则[(x+2y)dxdy=J"dx"(x+2y)dy=J[(xy+y)" Jdx2元= J。[()+((x)1dx令x=tsint=J。 (t-sint)(1-cost) +(1-cost) dt =3元? +5元,18:（本题满分10分）已知常数k≥ln2-1，证明：(x-1)(x-lnx+2klnx-1)≥0【解析】当0<x<1时，x-1<0.只需证明x-ln2x+2klnx-1≤0即可设(x)=x-ln2x+2klnx-1,则

（I）求 f x( ) ；（II）若 f x( ) 在区间 [0,1] 上的平均值为 1，求 a 的值。 【答案】（I） ( ) (2 2 ) x x f x e ae a    ；（II） 2 e a  【解析】（I） 0 0 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ( ) ( ) 2 , ( ) (2 ), 0 (0) 0 2 , ( ) (2 2 ). x x x x x x x x x x x tf x t dt x t u x f u du uf u du f t dt x f u du uf u du ax x f x f u du ax f x f x a f x e ae C x f C a f x e ae a                              令 则有 ，两边同时对 求导，则有 故 由于当 时， ， 则 综上 （II）由于 1 0 f x dx ( ) 1   ，则 1 1 0 (2 2 ) 1 2 2 ( 1) 1 . 2 x x e e ae a dx a a e a            17.（本题满分 10 分） 设平面区域 D 由曲线 sin (0 2 ) 1 cos x t t t y t           与 x 轴围成，计算二重积分 ( 2 ) D   x y dxdy . 【答案】 2 3 5    【解析】如图：则 2 ( ) 0 0 ( ) 2 2 0 0 2 2 0 ( 2 ) ( 2 ) [( ) ] [ ( ) ( ( )) ] D y x y x x y dxdy dx x y dy xy y dx xy x y x dx                令 x t t  sin 2 2 3 2 0 ( sin )(1 ) (1 cos ) 3 5 . t t cost t dt            18. （本题满分 10 分） 已知常数 k   ln 2 1 ，证明： 2 ( 1)( ln 2 ln 1) 0 x x x k x      【解析】 当 0 1  x 时, x  1 0 .只需证明 2 x x k x     ln 2 ln 1 0 即可. 设   2 f x x x k x     ln 2 ln 1, 则 x y0 2

F()=1_21nx, 2k_ X-21n+2kx+x设g(x)=x-2lnx+2k，则g(0)=1-2- ×=2<0.xX1故g(x)≥g(0)=1+2k≥1+2ln2-2=2ln2-1=ln=≥0ef"(x)≥0，故f(x)在(0,1)内单增，故f(x)≤(1)=0当x≥1时，x-1≥0.只需证明x-ln2x+2klnx-1≥0即可设f(x)=x-lnx+2klnx-1,g(x)=x-2lnx+2kI(t)=1-2Inx+ 2k_ --21nx+2kxx4g(t)=1-2-x-2<0.xx故g(x)在[1,+)单减，g(x)≥g(+0)≥0所以f'(x)≥0，故f(x)在(1,+o)内单增，故f(x)≥f(1)=0综上得证19.（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【解析】假设圆的半径为x，正方形边长为V，正三角形边长为z，则有2元x+4y+3z=2,x≥0,y≥0,z≥0今()=++22+(2元x+4y+32-2)4V3(x,y,)=x + +22+2(2元x+4y+32-2)4[=2元x+2元=0axaf =2y+4=0dy_2+3元=02Oz2元x+4y+3z-2=0

  2ln 2 2ln 2 1        x k x x k f x x x x 设 g x x x k      2ln 2 ，则   2 2 1 0.       x g x x x 故     4 g x g k           1 1 2 1 2ln 2 2 2ln 2 1 ln 0 e f x    0 ，故 f x  在   0,1 内单增，故 f x f       1 0 . 当 x 1 时, x  1 0 .只需证明 2 x x k x     ln 2 ln 1 0 即可. 设   2 f x x x k x     ln 2 ln 1, g x x x k      2ln 2   2ln 2 2ln 2 1        x k x x k f x x x x   2 2 1 0.       x g x x x 故 g x  在 1, 单减， g x g        0 所以 f x    0 ，故 f x  在   1+， 内单增，故 f x f       1 0 . 综上得证. 19. （本题满分 10 分） 将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存 在最小值？若存在，求出最小值。 【解析】假设圆的半径为 x，正方形边长为 y，正三角形边长为 z，则有 2 4 3 2, 0, 0, 0  x y z x y z       令     2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 f x y z x y z x y z              2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 2 2 0 2 4 0 3 3 0 2 2 4 3 2 0 f x y z x y z x y z f x x f y y f z z x y z                                            

(1,2,2V3求解上述方程得到，驻点为元+4+3V32/3(元435)+(2最小面积为，Smin元+4+3/34元+4+3／3元+4+3/3020（本题满分11分）告(x≥0)，点0(0,0)，点A(0,1)，设P是L上的动点，S是直线0A已知曲线L：y=9与直线AP及曲线L所围成图形的面积，若P运动到点(3.4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率。【答案】10xdx=1+2元I+【解析】 S(x)=1+27209J0O2x(0)+6x2x(0)S(x)=227_4 ± 6.3 .4 =10将x=3,x(0)=4,代入有S"=22721（本题满分11分）设数列(x)满足：x,>0，x,e=e"-1(n=1,2)，证明(x,)收敛，并求limx,。【答案】0【解析】e-(1)由x,e=e-1有e-lnXnXn则 =Ine*-!X设f(x)=et-1-x: f'(x)=e-1>0(x>0),且f(0)=0:.(x)单调递增,故(x)>0而e*-1>x(x>0)

求解上述方程得到，驻点为   1 1,2,2 3  +4+3 3 最小面积为， 2 2 2 min 1 2 3 2 3 1 = +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 4 S                             。 20. （本题满分 11 分） 已知曲线 L： 4 2 ( 0) 9 y x x   ，点 O(0,0) ，点 A(0,1) ，设 P 是 L 上的动点，S 是直线 OA 与直线 AP 及曲线 L 所围成图形的面积，若 P 运动到点 (3,4) 时沿 x 轴正向的速度是 4，求 此时 S 关于时间 t 的变化率。 【答案】10. 【解析】   3 2 2 0 1 4 4 2 1 2 9 9 2 27 x x x S x x x x dx                   2 6 2 27 x t x x t S x      将 x x t   3, 4,   代入有 2 4 6 3 4 10 2 27 S       21. （本题满分 11 分） 设数列  n x 满足： 1 x  0 ， 1 1( 1, 2,.) n n x x n x e e n     ，证明  n x 收敛，并求 lim n n x  。 【答案】0 【解析】 (1)由 1 1    n n x x n x e e 有 1 1 1 1 ln        n n n x x x n n n e e e x x x 则 1 2 1 1 ln   x e x x 设     1 x f x e x         1 0 0 x f x e x ,且 f   0 0   f x  单调递增,故 f x   0 而    1 0   x e x x