.....菏泽学院化学化工学院2017级2017-2018学年第一学期a化学专业《高等数学》期末试卷..................E（A）参考答案及评分标准“布（110分钟）三四五号-总核分人分得分得分t判断题（每小题2分，共10分）...闵卷人（对的打“"，错的打“×"，答案填在题前括号内）学群（X)1、曲线y=x无拐点r'sin!（V）2、极限lim-文不可以用洛必达法则求得sinxNx'+x+1.....的铅直渐近线（V)3、直线x=-1是用数f(x)=(x+1)2（4、当x0时，(=“不（×)5、若数列(4,1的奇子列和偶子列郁收敛，那么数列(a,必定收敛。.............+..........“吉得分二、单项选择题（每小题3分，共15分，答索填在题前括号内）阅卷人（A）1、当x→0时，下列变量是无穷小量的是aeC. sin !A. n(I+x)D.e3a&................................（D)2、设y=ei，则dy=（共6页）第1页（共6页）第2页
（ 共 6 页 ） 第 1 页 （ 共 6 页 ） 第 2 页 菏泽学院化学化工学院 201 7 级 201 7 -201 8 学年第 一学期 化学专业《高等数学》期末试卷 （A）参考答案及评分标准 （110 分钟） 一、 判断题（每小题 2 分，共 1 0 分 ） （对的打“√”，错的打“×” ，答案填在题前括号内 ） ( × )1、曲线 3 y x = 无拐点 . ( √ )2、极限 2 0 1 sin limx sin x x → x 不可以用洛必达法则求得 . ( √ )3、直线 x =− 1 是函数 3 2 1 ( ) ( 1) x x f x x + + = + 的铅直渐近线 . ( √ )4、当 x 0 时， 1 (ln ) x x = . ( )5、若数列 { }n a 的奇子列和偶子列都收敛，那么数列 { }n a 必定收敛 . 二、单项选择题（每小题 3 分，共 1 5 分，答案填在题前括号内 ） ( A ) 1 、 当 x → 0 时，下列变量是无穷小量的是 A ．ln(1 ) 2 + x B ． x e 1 C ． x1 sin D ． x e ( D ) 2 、 设 x y e 1 = ，则 dy = ························装·······················订························密························封························线························· 学院：_ 年级：_ 专业：_ 姓名：_ 学号：_ ························阅·······················卷························密························封························线························· 题 号 一 二 三 四 五 总 分 核分 人 得 分 得 分 阅卷人 得 分 阅卷人
AcidcI!LelB.e'axD.-e'dr1、求极限号（B）3、计算积分sn工3unT的值为-=1+xD号A.nB. 0C. -n*：(-).3分T（C)4、[seex的值为seex...8分m3xA. Injsinx|+CB. In|cosx+CShn tan't10分14032C. Insecx+ tan x|+CD, Injesexcot +C2、求不定积分ecosxdt（B)5、函数y=x-3x的单调递减区间是解： Je"cos xd-fe'dsinx"1分B.[1,1]A (a,-1)=e*sinx Jsin xde*3分C. [1,+0)D. (-0,+90)=e-"sinx+sinx-e-'dx=e"sinx-Je'd cosx分得=e-'sinr-(e-"cos-[cos.xde-)三、填空题（每小题3分，共15分）闵卷人=e"sinx-e"co-Je-"cosxdr..·7分I、设y=[n(1+,则 y = 2In(1+2x)移项得2. ('lnxdx= -1.2je* cos xd =e(sinxcosx)3、当x→0时，/+ax-1与cosx-1是等价无穷小，则常数aJe"cos xtx =故...0分(sin.xcos.x)+CJex<03、求方程x-y-3ay=0所确定的隐函数y=(x)的导数4、设(x)=，且(x)在x=0点连续，则a的值为[a+xx≥0*解：方程两边同时对x求导，得3x°3y’y3oy3axy/ =0--2分5、设()=1+，且(0)=1,则(x)=x++1整理得X-yy-ay-ay'=04分邸(+ax)y=-@得分四，计第题（每小愿10分，共40分）闵卷人（共6页）第3页（共6页）第4页
（共 6 页） 第 3 页 （共 6 页） 第 4 页 A. e dx x 1 B. e dx x 2 1 − C. e dx x x 1 2 1 D. e dx x x 1 2 1 − （ B ）3、计算积分 2 sin 1 x dx x − + 的值为 A. B.0 C. − D. 2 ( C )4、 sec xdx 的值为 A. ln sin x C+ B. − + ln cos x C C. ln sec tan x x C + + D. ln csc cot x x C − + ( B )5、函数 y x 3x 3 = − 的单调递减区间是 A. (−,−1] B. [−1,1] C. [1,+) D. (−,+) 三、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、设 2 0 ln(1 ) x y t dt = + ，则 y = 2ln(1 2 ) + x . 2、 1 0 ln xdx = −1. 3、当 x →0 时， 3 2 1 1 + − ax 与 cos 1 x − 是等价无穷小，则常数 a = 3 2 − . 4、设 0 ( ) 0 x e x f x a x x = + ，且 f x( ) 在 x = 0 点连续，则 a 的值为 1 . 5、设 f (x) = 1+ x ，且 f (0) = 1 ，则 f (x) = 1 2 1 2 x + x + . 四．计算题（每小题 10 分，共 40 分） 1、求极限 − x→ x x tan x 1 1 lim 2 0 . 解： 3 0 2 0 tan lim tan 1 1 lim x x x x x x x x − = − → → ．．．．．．．．．．3 分 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → ．．．．．．．．．．．．8 分 3 1 3 tan lim 2 2 0 = = → x x x ．．．．．．．．．．．．10 分 2、求不定积分 cos x e xdx − . 解： cos x e xdx − = sin x e d x − .1 分 = sin sin x x e x xde − − − .3 分 = sin sin x x e x x e dx − − + = sin cos x x e x e d x − − − = sin ( cos ) x x x e x e cosx xde − − − − − = sin cos x x x e x e cosx e xdx − − − − − .7 分 移项得 2 cos (sin cos ) x x e xdx e x x − − = − 故 cos (sin cos ) 2 x x e e xdx x x C − − = − + .10 分 3、求方程 3 3 x y axy − − = 3 0 所确定的隐函数 y f x = ( ) 的导数. 解：方程两边同时对 x 求导，得 2 2 3 3 3 3 0 x y y ay axy − − − = .2 分 整理得 2 2 x y y ay axy − − − = 0 .4 分 即 2 2 ( ) y ax y x ay + = − 得 分 阅卷人 得 分 阅卷人
.......+.++...+...则(0)=0...+.....a-10分y+axJ(x)=In(1+x)+1-1+y4、计算心形线r=a(1+cosの)(a>0)所围成的图形的面积1学院：x.............+...= In(1+x)+解：1+x2-+o0ao4分4分“e布由于x>01+x>1=d(+2cos+cos°)d从而(x)>0(x)单调增加+++ **6分年额，.....(3+4cos+cos 29)d7分故对x>0，有(x)>(0)20................*++*8分a[30+4sing+=sin20]22即(I+x)In(1+x)arctanx>0“学群-3edaretan x专业：所以10分In(1+x)>21+x..........10分++++*+....得分国五、综合题（每小题10分，共20分）相配..+......................闻巷人“不事1、试证方程一+2x+1=0在开区间(-1,0)内恰有一个根姓名：证明：设f(x)=x+2x+1.....-3分由于(-1)=-20所以()单调增布综上所给方程恰有一个实根.10分我....2a&arctanx+++*+......................................2、试证：当x>0时，In(1+x)>1+x证明：设-2分J(x)=(1+x)In(1+x)arctan.x（共6页）第5页（共6页）第6页
（ 共 6 页 ） 第 5 页 （ 共 6 页 ） 第 6 页 22 x ay y y ax − = + .10 分 4 、计算心形线 r a = + (1 cos ) ( 0) a 所围成的图形 的面积 . 解： 2 2 0 1 2 (1 cos ) 2 s a d = + ．．．．．．．．．．．．．． 4 分 2 2 0 a d (1 2cos cos ) = + + 2 0 (3 4cos cos 2 ) 2a d = + + ．．．．．．．．．．．．．．．． 7 分 2 0 1 [3 4sin sin 2 ] 2 2 a = + + 2 3 2a = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 五、综合 题 （每小题 10 分， 共 20 分 ） 1 、试证方程 3 x x + + = 2 1 0 在开区间 ( 1,0) − 内恰有一个根. 证明： 设 3 f x x x ( ) 2 1 = + + 由于 f ( 1) 2 0 − = − ； f (0) 1 = ； . 3 分 又 f x( ) 在上 [ 1,0] − 连续 所以 f x( ) 在 ( 1,0) − 区间 上至少有一 个零点 即 3 x x + + = 2 1 0 至少有一个实根. 6 分 又 2 f x x ( ) 3 2 0 = + 所以 f x( ) 单调增 综上所给方程恰有 一个实根 .10 分 2 、试证：当 x 0 时， arctan ln(1 ) 1 x x x + + . 证明：设 f x x x x ( ) (1 )ln(1 ) arctan = + + − . 2 分 则 f (0) 0 = 2 1 ( ) ln(1 ) 1 1 f x x x = + + − + 2 2 ln(1 ) 1 x x x = + + + . 4 分 由于 x 0 1 1 + x 从而 f x ( ) 0 f x( ) 单调增加 . 6 分 故对 x 0 ，有 f x f ( ) (0) . 8 分 即 (1 )ln(1 ) arctan 0 + + − x x x 所以 arctan ln(1 ) 1 x x x + + . 10 分 ························装·······················订························密························封························线························· 学院：_ 年级：_ 专业：_ 姓名：_ 学号：_ ························阅·······················卷························密························封························线························· 得 分 阅卷人 ························装·······················订························密························封························线························· 学院：_ 年级：_ 专业：_ 姓名：_ 学号：_ ························阅·······················卷························密························封························线·························