2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.下列函数中，在x=0错误！未找到引用源。处不可导的是（）。A. f(x) =xsin(x)B. f(x)=|x|sin( /xl)c. f(x)=cos(x)D. f(x)= cos(/风)【答案】D【解析】A可导：x sin (Ix)[x sin (Ix)x-sinx=0, f'(0)= limx-sinxf(0) = lim0limlimxx-→0xX→00X→0*xxB可导：[xsin [μsin x·sin x-x·sin-x= 0, J:(0) = limf(0) =limlimlimx→0xxx10x→0T-→0xC可导：1xcosx|-1cos|x|-122f(0) = lim=0lim0, f'(0)= lim-lim一3+0*x→0xx-0xX-0xxD不可导：V风-1cos /-1cOs,22f(0) = lim, Ji(0) = lim= limlim20xX0xx→0xx→0*xf'(0)+ f(0)2.已知函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且[f(x)dx=0,则A.当F()0时，D.当"(x)>0时，【答案】D【解析】
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1. 下列函数中，在 x 0 错误!未找到引用源。处不可导的是（ ）。 A. f x x x ( ) sin( ) B. f x x x ( ) sin( ) C. f x x cos( ) D. f x x ( ) cos( ) 【答案】D 【解析】 A 可导： - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x B 可导： - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x C 可导： 2 2 - 0 0 0 0 1 1 cos -1 cos -1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x D 不可导： - 0 0 0 0 - 1 1 - cos -1 1 1 cos -1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim - 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f 2 .已知函数 f x 在 0,1 上二阶可导，且 1 0 0, f x dx 则 A.当 f x 0 时， 1 0 2 f B. 当 f x 0 时， 1 0 2 f C. 当 f x 0 时， 1 0 2 f D. 当 f x 0 时， 1 0 2 f 【答案】D 【解析】
A错误: I(n)=-x+-J(x)x=I(-++)x=0 ()=-1(1C 错误: ()=x-J(a)=(x-)t=0, (c)=1>0, ()=0D正确：方法1：由f"(x)>0可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出方法2："，介于x和之间，)+f(=)(x-)+f"(5)(x-f(x)= f(()x=)+x-)+(x-1)dx=f())"dx=()+f"()+又f"(x)>0,故f(=)N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】C【解析】2xM=[(1+)dxld1+x[] +21,以 M令f(x)=1+x-er,f(0)=0, f'(x)=1-er当xe0.时，(x)0 32元元，有/(t)≤0，从可有≤1，由比较定理得N<M,故选C时，所以xe22
A 错误： 1 1 0 0 0, 1 0 1 1 1 , 2 , 0 2 2 f x x f x dx x dx f x f B 错误： 1 0 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 0 3 3 2 4 3 12 f x x f x dx x dx 0, 2 0, f x f C 错误： 1 1 0 0 1 1 1 , 0 2 2 0, 1 0, 2 f x x f x dx dx f x x f D 正确：方法 1：由 f x 0 可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出 1 0 2 f 方法 2： 2 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 0, ( ) 0. 2 f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f 介于 和 之间, 又 故 3.设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1 x x x M dx N dx K x dx x e 则 A. M N K B. M K N C. K M N D. K N M 【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 - , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 - , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e 时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选
4.设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q.时平均成本最小，则（A. C'(00)=0 B.C'(Q)=C(00) c.C'(00)=QC(00) D. Q.C'(Q0)=C(0.)【答案】D【解析】根据平均成本C=C(Q)根据若产量为9时平均成本最小，则有QC'(0)0-c(Q)C(0)2.-C(@) =0 =C(0)2 =C(0)Q?Q210=00E1 0)(15.下列矩阵中，与矩阵011相似的为(0 0100001(00C【答案】A【解析】方法一：排除法[11 0]特征值为1,1,1，r(E-Q)=2令Q=00011TO100-A的特征值为1,1,1，r(E-A)=r02选项A：令A=-1Lo0lo00[o1001-0选项B：令B=100B的特征值为1.1.1，r(E-B)=r11000000110000选项C：令CC的特征值为1,1,1，r(E-C)=00000
4. 设某产品的成本函数 C Q 可导，其中 Q 为产量，若产量为 Q0 时平均成本最小，则( ) A. 0 C Q 0 B. C Q C Q 0 0 C. C Q Q C Q 0 0 0 D. Q C Q C Q 0 0 0 【答案】D 【解析】根据平均成本 C Q C Q ，根据若产量为 Q0 时平均成本最小，则有 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 Q Q Q Q C Q Q C Q C Q Q C Q C C Q Q C Q Q Q 5.下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1 相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1 B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1 C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1 D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1 【答案】A 【解析】方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q ，特征值为 1,1,1，r E Q 2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A ， A 的特征值为 1,1,1， 0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r 选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B ， B 的特征值为 1,1,1， 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r 选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C ，C 的特征值为 1,1,1， 0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r
[1O001选项B：令D=00D的特征值为1,1,1，r(E-D)=r0001000若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r(E-9)=r(E-J)，故选（A)方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）[1 1 0][1 -1 0]0令P=0100100001R所以相似00.01故选（A)6.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（X,Y)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A).B.r(A BA)=r(A).D.r(A B)=r(A BT)C.r(A B)=max(r(A), r(B)).【答案】（A）【解析】 r(E,B)=n=r(A, AB)=r[A(E,B)]=r(A)故选（A）7.设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，[f(x)dx=0.6,则P(X<0)=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】A【解析】特殊值法：由已知可将f(x)看成随机变量XN(1,α2)的概率密度，根据正态分布的对称性，P(X<0)=0.2X8.已知X,X..,X，为来自总体X~N(u,G)的简单随即样本，nl(X-m)，则12(X-X),s
选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D ， D 的特征值为 1,1,1， 0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r 若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J 相似，从而 r E Q r E J ，故选（A） 方法二：构造法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P ，所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 与 相似 故选（A） 6.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( , ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ). B. r A BA r A ( ) ( ). C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}. ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B 【答案】（A） 【解析】 r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( ) 故选（A） 7.设 f x( ) 为某分布的概率密度函数， f x f x (1 ) (1 ) ， 2 0 f x dx 0.6 ，则 P X{ 0} A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A 【解析】特殊值法：由已知可将 f x( ) 看成随机变量 2 X N 1, 的概率密度，根据正态分 布的对称性， P X 0 0.2 8. 已 知 1 2 , , , X X X n 为 来自总体 2 X N~ ( , ) 的简单随即样本， 1 1 n i i X X n ， 2 * 2 1 1 1 1 ( ) , ( ) 1 1 n n i i i i S X X S X n n ，则
n(X-μ) ~ (n)(n(X-μ)~ (n-1)Bssn(X-) ~1(n)n(X-μ) ~ (n-1)DS"S*【答案】B口 N(1,0),(-)Sa【解析】XNx(n-1)u.a/nn以(X-)(n-1)，故选项B正确，而A错.又与S相互独立，所以）sX=" N(0.1),("-1)"(n)，与S相互独立On(X-μ)所以"t(n)，故选项C，D错。In-is*二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上9.曲线f(x)=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是【答案】y=4x-3:2=2-【解析】v=x?+2lnx，定义域为(xlx>0，y'=2x+令v"=0，则x=±1，由于x>0，故x=1，故拐点为(1,1)，y(x)=4，则过拐点(1,1)的切线方程为y-1=4(x-1)即y=4x-310. fe'arcsin -e*dx =【答案】e'arccose"-i-e+C【解析】[e'arcsin -e?*dx=[arcsini-ede't=e[arcsini-fdtI= cosu= -[ usin udu= ucosu-[cosudu= ucosu-sinu+C=e"arccose"-i-e2+C11.差分方程△y-y=5的解为
A. ( ) ~ ( ) n X t n S B. ( ) ~ ( 1) n X t n S C. * ( ) ~ ( ) n X t n S D. * ( ) ~ ( 1) n X t n S 【答案】B 【解析】 2 X N , n ， 2 2 2 1 1,0 , 1 X n S N n n ， 又 2 X S 与 相互独立，所以 1 n X t n S ，故选项 B 正确，而 A 错. *2 2 2 1 0,1 , X n S N n ， 2 X S 与 相互独立 所以 * 1 n X t n n S ，故选项 C，D 错。 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 曲线 2 f x x x ( ) 2ln 在其拐点处的切线方程是_. 【答案】 y x 4 3 【解析】 2 y x x 2ln ，定义域为 { 0} x x ， 2 y x ' 2 x ， 2 2 y '' 2 x ，令 y '' 0 ，则 0 x 1 ，由于 x 0 ，故 0 x 1 ，故拐点为 (1,1) ， 0 y x'( ) 4 ，则过拐点 (1,1) 的切线方程 为 y x 1 4( 1) 即 y x 4 3. 10. 2 arcsin 1 x x e e dx _. 【答案】 2 arccos 1 x x x e e e C . 【解析】 2 2 2 2 arcsin 1 arcsin 1 arcsin 1 cos sin cos cos cos sin arccos 1 x x x x x x x x e e dx e de t e t dt t u u udu u u udu u u u C e e e C 11. 差分方程 2 5 x x y y 的解为_
【答案】y=C,+C,2*-5【解析】△y,-y,=5=y+2-2y1=5,特征方程为：r2-2r=0=r=0,r=2,齐次形式的通解：C+C,2*,由于f(x)=5,故特解设为y=a,代入得a=-5综上，通解为y=C+C,2-512.设函数f(x)满足f(x+△x)-f(x)=2xf(x)Ax+o(△x)，且f(O)=2，则f(1)=【答案】2e【解析】f(x+ Ax)- f(x) = 2xf(x)Ax +o(Ax)(x+Ar)-f(α)= 2xf(x)= F(x)=2xf(x)= limx-0Ax= f(x)=CetC= f(0)=2= f(x)= 2er = f(I)=2e13.设A为3阶矩阵，αi,α2,α,为线性无关的向量组。若Aα,=2α,+αz+α，Aα,=α+2α，Aα,=-α+α，则A的实特征值为【答案】2[200[解析 (Aα,Aα2, Aα,)= A(α,α2,α,)=(α,α2,,)[121]2001αα2α线性无关..P=(αα2α）可逆，."AP=B211A与B相似，特征值相等E-B=（-2)(-2+3)=0=实特征值=214.已知事件A,B,C相互独立,且p(A)=p(B)=p(C)=,则 p(ACIAU B)=2【答案】！3【解析】
【答案】 = 2 5 1 2 x x y C C 【解析】 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 5 2 5, 2 0 0, 2, 2 , ( ) 5, , 5 2 5 x x x x x x y y y y r r r r C C f x y a a y C C 特征方程为： 齐次形式的通解： 由于 故特解设为 代入得 综上，通解为 12.设函数 f x( ) 满足 f x x f x xf x x o x ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ，且 f (0) 2 ，则 f (1) _. 【答案】2e 【解析】 2 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (0) 2 ( ) 2 (1) 2 x x x f x x f x xf x x o x f x x f x xf x f x xf x x f x Ce C f f x e f e ， 13.设 A 为 3 阶矩阵， 1 2 3 , , 为线性无关的向量组. 若 1 1 2 3 A 2 ， 2 2 3 A 2 ， A 3 2 3 ，则 A 的实特征值为_. 【答案】2 【解析】 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 2 1 A A A A 1 2 3 , , 线性无关, 1 2 3 P , , 可逆, 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 P AP B A B 与 相似，特征值相等 2 E B 2 2 3 0 实特征值 2 14.已知事件 A B C , , 相互独立，且 1 ( ) ( ) ( ) 2 p A p B p C ，则 p AC A B ( | ) _. 【答案】 1 3 【解析】
P(4C[4U B)-P(4Ca(AUB) _ P(4CUABC)_ P(4C)+P(ABC)-P(ABC)P(AUB)P(AUB)P(A)+P(B)-P(AB)P(A)P(C)1P(A)+P(B)-P(A)P(B)3三、解答题：15一23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤lim=2,求a.b15折(ax+b)erro【答案】α=l,b=1【解析】方法1：71511(a+bt)elim | (ax+b)e*Inf-→01(a+bt)(1+t+o(t)-1(a-1)+(a+b) +0(l) = 2In= lim10t1-→0ta-1=0[a=1故。a+b=2[b=1方法2：1= lim (ax+b)([1+lim |(ax+b)ex -x-x+00x→+αtx-→+ox= lim[(a-1)x+a+b+b. +(ax + b)o(-)) = 2x[a-1=0[a=故a+b=2[b=]16.求[xdxdy,D由y=/3(1-x)与y=/3xy轴围成3元_V3【答案】1632N2rdy=Errv(-r)[解析】 [ x'dxdy=, a[,3216D
1 3 P AC A B P AC ABC P AC P ABC P ABC P AC A B P A B P A B P A P B P AB P A P C P A P B P A P B 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. 1 lim ( ) 2 x x ax b e x ,求 ab, 【答案】 a b 1 1 ， 【解析】方法 1： 1 1 0 0 0 ( ) 1 lim ( ) ln ( )(1 ( )) 1 ( 1) ( ) ( ) lim ln 2 t t x x x t t t a bt e ax b e x t t a bt t o t a a b t o t t t 故 1 0 1 2 1 a a a b b 方法 2： 1 1 1 lim ( ) lim ( ){[1 ( )] } 1 lim [( 1) ( ) ( )] 2. x x x x ax b e x ax b o x x x b a x a b ax b o x x 故 1 0 1 2 1 a a a b b 16.求 2 , D x dxdy D 由 2 y x 3(1 ) 与 y x 3 y 轴围成 【答案】 3 3 32 16 【解析】 2 2 3(1 ) 2 2 2 0 3 3 3 32 16 x x D x dxdy dx x dy
17.一根绳长2m截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小，并求该最小值。【答案】【解析】假设圆的半径为x，正方形边长为V，正三角形边长为z，则有2元x+4y+3z=2,x≥0,y≥0,z≥0+++(2+4y+2)4V3(x,y,2)=x2+y +22+(2元x+4y+32-2)4af=2元×+2元／=0ax=2y+4α=0dyz+31=0z22元x+4y+3z-2=0求解上述方程得到，驻点为元+4+3/2/3+.V37最小面积为，Smin+元+4+3V3元+4+3V3【元+4+3/】元+4+3／318.已知cos2xa,x",求a(1+x)21=0【答案】13【解析】cos2xa.x(1+ x)722nx2mcos2x=（cost=(2n)!(2n)!n=0则根据0=(Z(-1)"x"-Zn(-1)"**-1+根据1+x=(则1Zaxcos2x(1+ x)2根据-左右两边同此项系数相同
17.一根绳长 2m,截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面 积总和最小，并求该最小值。 【答案】 【解析】假设圆的半径为 x，正方形边长为 y，正三角形边长为 z，则有 2 4 3 2, 0, 0, 0 x y z x y z 令 2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 f x y z x y z x y z 2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 2 2 0 2 4 0 3 3 0 2 2 4 3 2 0 f x y z x y z x y z f x x f y y f z z x y z 求解上述方程得到，驻点为 1 1,2,2 3 +4+3 3 最小面积为， 2 2 2 min 1 2 3 2 3 1 = +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 4 S 。 18.已知 2 0 1 cos 2 (1 ) n n n x a x x ，求 n a 【答案】 【解析】 2 0 1 cos 2 (1 ) n n n x a x x , 根据 2 0 1 cos 1 2 ! n n n t t n ，则 2 2 0 1 cos 2 1 2 2 ! n n n n x x n ； 根据 0 1 1 1 n n n x x ，则 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x n x x x ； 根据 2 0 1 cos 2 (1 ) n n n x a x x ，左右两边同此项系数相同
a, =(-1)"*(n+1)= n+1n为奇数时，a,=(-1)2*+(-1)"(n+1)=(-1)2"-n-1n!n!n为偶数时，n+1,n为奇数n为偶数an12n综上n!19.数列x,x>0,x,e=e-1,n=1,2..，证明数列[x,)收敛，并求limx【解析】e.-l= ne*-1(1)有界性：由x,e=e-1有elxXnXn则x, = lne*-1x设f(x)=e-1-x: f"(x)=e*-1>0(x>0),且f(0)=0:.f(x)单调递增,故f(x)>0而er-1>x(x>0)e-1在时大于1,而=ln-1>0因此Xxi用数学归纳法可证之.对Vn,x>0单调性： X-,=Ine*-1-Ine-=In.=lnXnxnxe设g(x)=e'-1-xe', g(x)=-xer显然当x>0时，g(x)<0,则g(x)单调递减，又：g(0)=0..g(x)<g(0)=0,..e*-1<xe*xe
n 为奇数时， 1 1 1 1 n n a n n ； n 为偶数时， 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ! ! n n n n n n a n n n n 综上 2 1, 1 1 2 1, ! n n n n n a n n n 为奇数 为偶数 19.数列 1 1 , 0, 1, 1,2,. n n x x n n x x x e e n ，证明数列 n x 收敛，并求 lim n n x 【解析】 (1)有界性：由 1 1 n n x x n x e e 有 1 1 1 1 ln n n n x x x n n n e e e x x x 则 1 2 1 1 ln x e x x 设 1 x f x e x 1 0 0 x f x e x ,且 f 0 0 f x 单调递增,故 f x 0 而 1 0 x e x x 因此 1 1 1 x e x 在 1 x 时大于 1,而 1 2 1 1 ln 0 x e x x , 用数学归纳法可证之. 对 , 0 n n x 单调性： 1 1 1 1 ln = ln ln ln n n n n n x x x x n n n x n n n e e e x x x e x x x e 设 1 x x g x e xe ， x g x xe 显然当 x 0 时， g x 0, 则 g x 单调递减，又 g 0 0 1 0 0, 1 1 x x x x e g x g e xe xe
e-l.. X+1-X, = In<0,n=1,2,3,...Xhet故(x,)单调递减综上可知(x）单调递减且存在下届，limx,存在.(2)设limx,=a,n-→aae"=e"-1.故a=020.（本题满分11分）设实二次型f(x,,x)=(x-x+x)+(+x)+(x+ax），其中a是参数。(1)求f(,2,)=0的解(2)求f(x,,x)的规范形【解析】(1) : f(x,x2,x)=0X-x+x=0x+x=0[x +ax, =0[1-11]11A=001110100a-2a0271011①当a-2=0，即a=2时，r(A)=2<3.A→000f(x,,)=0有非零解2,keR通解为x=k-1②当a-2±0，即a±2时，r(A)=3,f(x,x2,x)=0只有0解
1 1 ln 0, 1,2,3, n n x n n x n e x x n x e 故 n x 单调递减 综上可知 n x 单调递减且存在下届， lim n n x 存在. （2）设 lim n n x a , 1 a a ae e .故 a 0 20. （本题满分 11 分） 设实二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ax ( , , ) ( ) ( ) ( ) ，其中 a 是参数。 （1） 求 1 2 3 f x x x ( , , ) 0 的解 （2） 求 1 2 3 f x x x ( , , ) 的规范形 【解析】 （1） 1 2 3 f x x x ( , , ) 0 1 2 3 2 3 1 3 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 2 x x x x x x ax A a a ①当 a 2 0 ，即 a 2 时， 1 0 2 ( ) 2 3, 0 1 1 0 0 0 r A A 1 2 3 f x x x ( , , ) 0 有非零解 通解为 2 1 , 1 x k k R ②当 a 2 0 ，即 a 2 时， 1 2 3 r A f x x x ( ) 3, ( , , ) 0 只有 0 解