2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1-cos/xx>0在x=0处连续，则（1）若函数f(x)=axb,x≤01(A) ab= !(B) ab =(C)ab=0(D)ab= 222(2）设函数f(x)可导，且f(x)f(x)>0则(A) f(I)> (-1)(B) f(1)(-1)(D)[ (1)25(A) t。 = 10 (B)15<t <20(C) to = 25(m/s)1020T5101520251(s)030
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的 （1）若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续，则 (A) 1 2 ab = (B) 1 2 ab = − (C) ab = 0 (D) ab = 2 （2）设函数 f x( ) 可导，且 f x f x ( ) ( ) 0 则 (A) f f (1 1 ) −( ) (B) f f (1 1 ) −( ) (C) f f (1 1 ) −( ) (D) f f (1 1 ) −( ) （3）函数 ( ) 2 2 f x y z x y z , , = + 在点 (1, 2,0) 处沿向量 n(1, 2, 2) 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的 速度曲线 v v t = 1 ( ) （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 v v t = 2 ( )，三块阴影部分面积的数 值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t （单位:s）,则 (A) 0 t =10 (B) 0 15 20 t (C) 0 t = 25 (D) 0 t 25 0 5 10 15 20 25 30 t s( ) v m s ( / ) 10 20
（5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A）E-ααT不可逆（B）E+αα不可逆(C）E+2αα不可逆(D)E-2αα不可逆[2 0 0][2 1 000021B=0200则02（6）已知矩阵A=60012[00 1]00(A)A与 C 相似,B 与 C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C) A与 C 不相似,B 与 C 相似(D)A与C不相似，B与C不相似(7)设 A,B为随机事件,若0 P(AB)的充分必要条件是（）A. P(B[4) > P(B|)BP(B|A)P(B|4)D. P(B[4)<P(B|A)11（8）设X,X...X,(n≥2)来自总体N(u,1)的简单随机样本，记X=Xni=l则下列结论中不正确的是：(A)Z(X,-)服从x分布(B)2(X-X)"服从分布(C)(X,-X)服从分布(D) n(-μ)? 服从分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。1f(x)=则 F(3)(0)=1+x2（9）已知函数
（5）设 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则 (A) T E − 不可逆 (B) T E + 不可逆 (C) 2 T E + 不可逆 (D) 2 T E − 不可逆 （6）已知矩阵 200 0 2 1 0 0 1 A = 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B = 100 0 2 0 0 0 2 C = ，则 (A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 （7）设 A B, 为随机事件，若 0 ( ) 1, 0 ( ) 1 P A P B ,则 P A B P A B ( ) ( ) 的充分必要 条件是（） A. P B A P B A ( ) ( ) B P B A P B A ( ) ( ) C. P P (B A B A ) ( ) D. P P (B A B A ) ( ) （8）设 1 2 , . ( 2) X X X n n 来自总体 N( ,1) 的简单随机样本，记 1 1 n i i X X n = = 则下列结论中不正确的是： (A) 2 ( ) − Xi 服从 2 分布 (B) 2 1 2( ) X X n − 服从 2 分布 (C) 2 1 ( ) n i i X X = − 服从 2 分布 (D) 2 n X( ) − 服从 2 分布 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （9） 已知函数 2 1 ( ) 1 f x x = + ,则 (3) f (0) = _
（10）微分方程y"+2y+3y=0的通解为y=(11)若曲线积分[李二在区域D=(,)+nl1+nn（17）（本题满分10分）已知函数y(x）由方程x+y-3x+3y-2=0确定，求y(x）得极值（18）（本题满分10分）
（10）微分方程 y y y + + = 2 3 0 的通解为 y = _ （11）若曲线积分 2 2 dy 1 L xdx ay x y − + − 在区域 ( ) 2 2 D , 1 = + x y x y 内与路径无关，则 a = （12）幂级数 ( ) 1 1 1 1 n n n nx − − = − 在区间（-1,1）内的和函数 S x( ) = （13）设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A = ， 1 2 3 , , 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 1 2 3 A A A , , 的秩为 （14）设随机变量 X 的分布函数为 ( ) ( ) 4 0.5 0.5 2 x F x x − = + ，其中 ( x) 为标准正 态分布函数，则 EX= 三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 10 分） 设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续偏导数， ( , ) x y f e cosx = ,求 0 dy d x x = ， 2 2 0 d d x y x = （16）（本题满分 10 分） 求 2 1 lim ln 1 n n k k k k → = n n + （17）（本题满分 10 分） 已知函数 y x( ) 由方程 3 3 x y x y + − + − = 3 3 2 0 确定，求 y x( ) 得极值 （18）（本题满分 10 分）
F(x)在[01]上具有 2 阶导数, ()>0. im (<00+x证（1）方程f(x）=0在区间(0,1)至少存在一个根（2）方程f(x)+F"(x)+[f(x)}"=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根（19）（本题满分10分）设薄片型物体S是圆锥面Z=+y被柱面Z=2x割下的有限部分，其上任一点弧度为u(x,J,2)=9/x+y2+2。记圆锥与柱面的交线为C（1）求C在xOy平面上的投影曲线的方程(2)求 S的质量M（20）（本题满分11分）三阶行列式A=(α,α2,α）有3个不同的特征值，且α=α,+2α(1)证明r(A)=2（2）如果β=α,+α,+α,求方程组Ax=b的通解（21）（本题满分11分）设f(2)=2x-+ax+2x-8x+2x在正交变换x=Qy下的标准型为+求a的值及一个正交矩阵（22）（本题满分11分）设随机变量XY互独立，且X的概率分布为P(X=0)=P(X=2)=，Y概率密度为[2y,0<y<1f(y):0,其他(1)求P(Y≤EY)(2)求Z=X+Y的概率密度-（23）（本题满分11分）
f x( ) 在 0,1 上具有 2 阶导数， 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + 证（1） 方程 f x( ) 0 = 在区间 (0,1) 至少存在一个根 （2） 方程 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) 0 + + = 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同的实根 （19）（本题满分 10 分） 设薄片型物体 S 是圆锥面 2 2 Z x y = + 被柱面 2 Z x = 2 割下的有限部分，其上任一点 弧度为 2 2 2 u x y z x y z ( , , ) 9 = + + 。记圆锥与柱面的交线为 C （1）求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量 M （20）（本题满分 11 分） 三阶行列式 1 2 3 A = ( , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2 = + 2 （1）证明 r A( ) 2 = （2）如果 = + + 1 2 3 求方程组 Ax b = 的通解 （21）（本题满分 11 分） 设 1 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 x Qy = 下的标准型为 2 2 1 1 2 2 y y + 求 a 的值及一个正交矩阵 Q . （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 XY 互独立，且𝑋的概率分布为 1 P 0 P 2 2 X X = = = = ，Y 概率密度为 ( ) 2 , 0 1 0, y y f y = 其他 (1)求 PY EY (2)求 Z X Y = + 的概率密度 （23）（本题满分 11 分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果x，x2，,x，相互独立，且均服从正态分布N（u,α），该工程师记录的是n次测量的绝对误差z,=-μ,(i=1,2,,n），利用z,=2，,,估计o(I)求-的概率密度(II)利用一阶矩求的矩估计量(IⅢI)求。的最大似然估计量
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是 已知的，设 n 次测量结果 1 2 , , , n x x x 相互独立，且均服从正态分布 ( ) 2 N , ，该工程师 记录的是 n 次测量的绝对误差 z x i n i i = − = , 1, 2, , ( )，利用 1 2 , , , n z z z 估计 (I)求 1 z 的概率密度 (II)利用一阶矩求 的矩估计量 (III)求 的最大似然估计量