
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的1-cos/xx>0在x=0处连续,则(1)若函数f(x)=axb,x≤01(A) ab= !(B) ab =(C)ab=0(D)ab= 222(2)设函数f(x)可导,且f(x)f(x)>0则(A) f(I)> (-1)(B) f(1)(-1)(D)[ (1)25(A) t。 = 10 (B)15<t <20(C) to = 25(m/s)1020T5101520251(s)030
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的 (1)若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续,则 (A) 1 2 ab = (B) 1 2 ab = − (C) ab = 0 (D) ab = 2 (2)设函数 f x( ) 可导,且 f x f x ( ) ( ) 0 则 (A) f f (1 1 ) −( ) (B) f f (1 1 ) −( ) (C) f f (1 1 ) −( ) (D) f f (1 1 ) −( ) (3)函数 ( ) 2 2 f x y z x y z , , = + 在点 (1, 2,0) 处沿向量 n(1, 2, 2) 的方向导数为() (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,如下图中,实线表示甲的 速度曲线 v v t = 1 ( ) (单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线 v v t = 2 ( ),三块阴影部分面积的数 值依次为 10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t (单位:s),则 (A) 0 t =10 (B) 0 15 20 t (C) 0 t = 25 (D) 0 t 25 0 5 10 15 20 25 30 t s( ) v m s ( / ) 10 20

(5)设α为n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则(A)E-ααT不可逆(B)E+αα不可逆(C)E+2αα不可逆(D)E-2αα不可逆[2 0 0][2 1 000021B=0200则02(6)已知矩阵A=60012[00 1]00(A)A与 C 相似,B 与 C相似(B)A与C相似,B与C不相似(C) A与 C 不相似,B 与 C 相似(D)A与C不相似,B与C不相似(7)设 A,B为随机事件,若0 P(AB)的充分必要条件是()A. P(B[4) > P(B|)BP(B|A)P(B|4)D. P(B[4)<P(B|A)11(8)设X,X...X,(n≥2)来自总体N(u,1)的简单随机样本,记X=Xni=l则下列结论中不正确的是:(A)Z(X,-)服从x分布(B)2(X-X)"服从分布(C)(X,-X)服从分布(D) n(-μ)? 服从分布二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。1f(x)=则 F(3)(0)=1+x2(9)已知函数
(5)设 为 n 维单位列向量,E 为 n 阶单位矩阵,则 (A) T E − 不可逆 (B) T E + 不可逆 (C) 2 T E + 不可逆 (D) 2 T E − 不可逆 (6)已知矩阵 200 0 2 1 0 0 1 A = 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B = 100 0 2 0 0 0 2 C = ,则 (A) A 与 C 相似,B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似,B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似,B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似,B 与 C 不相似 (7)设 A B, 为随机事件,若 0 ( ) 1, 0 ( ) 1 P A P B ,则 P A B P A B ( ) ( ) 的充分必要 条件是() A. P B A P B A ( ) ( ) B P B A P B A ( ) ( ) C. P P (B A B A ) ( ) D. P P (B A B A ) ( ) (8)设 1 2 , . ( 2) X X X n n 来自总体 N( ,1) 的简单随机样本,记 1 1 n i i X X n = = 则下列结论中不正确的是: (A) 2 ( ) − Xi 服从 2 分布 (B) 2 1 2( ) X X n − 服从 2 分布 (C) 2 1 ( ) n i i X X = − 服从 2 分布 (D) 2 n X( ) − 服从 2 分布 二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分。 (9) 已知函数 2 1 ( ) 1 f x x = + ,则 (3) f (0) = _

(10)微分方程y"+2y+3y=0的通解为y=(11)若曲线积分[李二在区域D=(,)+nl1+nn(17)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x+y-3x+3y-2=0确定,求y(x)得极值(18)(本题满分10分)
(10)微分方程 y y y + + = 2 3 0 的通解为 y = _ (11)若曲线积分 2 2 dy 1 L xdx ay x y − + − 在区域 ( ) 2 2 D , 1 = + x y x y 内与路径无关,则 a = (12)幂级数 ( ) 1 1 1 1 n n n nx − − = − 在区间(-1,1)内的和函数 S x( ) = (13)设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A = , 1 2 3 , , 为线性无关的 3 维列向量组,则向量组 1 2 3 A A A , , 的秩为 (14)设随机变量 X 的分布函数为 ( ) ( ) 4 0.5 0.5 2 x F x x − = + ,其中 ( x) 为标准正 态分布函数,则 EX= 三、解答题:15~23 小题,共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)(本题满分 10 分) 设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续偏导数, ( , ) x y f e cosx = ,求 0 dy d x x = , 2 2 0 d d x y x = (16)(本题满分 10 分) 求 2 1 lim ln 1 n n k k k k → = n n + (17)(本题满分 10 分) 已知函数 y x( ) 由方程 3 3 x y x y + − + − = 3 3 2 0 确定,求 y x( ) 得极值 (18)(本题满分 10 分)

F(x)在[01]上具有 2 阶导数, ()>0. im (<00+x证(1)方程f(x)=0在区间(0,1)至少存在一个根(2)方程f(x)+F"(x)+[f(x)}"=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根(19)(本题满分10分)设薄片型物体S是圆锥面Z=+y被柱面Z=2x割下的有限部分,其上任一点弧度为u(x,J,2)=9/x+y2+2。记圆锥与柱面的交线为C(1)求C在xOy平面上的投影曲线的方程(2)求 S的质量M(20)(本题满分11分)三阶行列式A=(α,α2,α)有3个不同的特征值,且α=α,+2α(1)证明r(A)=2(2)如果β=α,+α,+α,求方程组Ax=b的通解(21)(本题满分11分)设f(2)=2x-+ax+2x-8x+2x在正交变换x=Qy下的标准型为+求a的值及一个正交矩阵(22)(本题满分11分)设随机变量XY互独立,且X的概率分布为P(X=0)=P(X=2)=,Y概率密度为[2y,0<y<1f(y):0,其他(1)求P(Y≤EY)(2)求Z=X+Y的概率密度-(23)(本题满分11分)
f x( ) 在 0,1 上具有 2 阶导数, 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → + 证(1) 方程 f x( ) 0 = 在区间 (0,1) 至少存在一个根 (2) 方程 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) 0 + + = 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同的实根 (19)(本题满分 10 分) 设薄片型物体 S 是圆锥面 2 2 Z x y = + 被柱面 2 Z x = 2 割下的有限部分,其上任一点 弧度为 2 2 2 u x y z x y z ( , , ) 9 = + + 。记圆锥与柱面的交线为 C (1)求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程 (2)求 S 的质量 M (20)(本题满分 11 分) 三阶行列式 1 2 3 A = ( , , ) 有 3 个不同的特征值,且 3 1 2 = + 2 (1)证明 r A( ) 2 = (2)如果 = + + 1 2 3 求方程组 Ax b = 的通解 (21)(本题满分 11 分) 设 1 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 x Qy = 下的标准型为 2 2 1 1 2 2 y y + 求 a 的值及一个正交矩阵 Q . (22)(本题满分 11 分) 设随机变量 XY 互独立,且𝑋的概率分布为 1 P 0 P 2 2 X X = = = = ,Y 概率密度为 ( ) 2 , 0 1 0, y y f y = 其他 (1)求 PY EY (2)求 Z X Y = + 的概率密度 (23)(本题满分 11 分)

某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量μ是已知的,设n次测量结果x,x2,,x,相互独立,且均服从正态分布N(u,α),该工程师记录的是n次测量的绝对误差z,=-μ,(i=1,2,,n),利用z,=2,,,估计o(I)求-的概率密度(II)利用一阶矩求的矩估计量(IⅢI)求。的最大似然估计量
某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做 n 次测量,该物体的质量 是 已知的,设 n 次测量结果 1 2 , , , n x x x 相互独立,且均服从正态分布 ( ) 2 N , ,该工程师 记录的是 n 次测量的绝对误差 z x i n i i = − = , 1, 2, , ( ),利用 1 2 , , , n z z z 估计 (I)求 1 z 的概率密度 (II)利用一阶矩求 的矩估计量 (III)求 的最大似然估计量